03：绝对值 讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义以绝对值为核心，系统梳理其概念（数轴上点与原点距离）、几何意义（距离）、代数意义（正数本身、负数相反数、0的绝对值是0）及非负性，通过思维导图与知识点梳理构建从基础概念到易混易错点（如|a|=a时a≥0需分类讨论）的学习支架。 资料特色在于思维导图可视化知识脉络，即学即练结合足球质量检测等实例培养应用意识，题型专练通过字母化简、绝对值方程等分类讨论发展推理意识，数轴结合题型强化几何直观，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题03 绝对值 思维导图 知识点梳理 绝对值 知识点一 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离． 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是． 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或 4、 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即： 即学即练 1．有理数的绝对值为（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴最接近标准的是选项C足球． 3．已知，，则x的值为______，y的值为______． 【答案】 【分析】若一个数的绝对值为正数，则这个数为． 【详解】解：已知，可得． 已知，可得． 4．绝对值大于2且小于的所有整数的和为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的定义、有理数的加法法则，解题关键是掌握互为相反数的两个数的绝对值相等．大于2小于5.5的整数绝对值是3或4或5，因为互为相反数的两个数的绝对值相等，所以绝对值大于2且小于5.5的所有整数有，，，再把它们相加即可求解． 【详解】解：绝对值大于2小于5.5的所有整数是，，． ． 故答案为：0． 5．若，则______________． 【答案】 【分析】先根据已知等式结合绝对值的性质求出的取值范围，再根据的范围化简所求绝对值即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ， ∴. 6．小红在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的计算，有理数的加减，绝对值，理解新定义下的计算是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易混易错 注 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 即学即练 7．若，则x一定是（　　） A．负数 B．负数或零 C．零 D．正数 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义即可判断x的取值范围，需注意0也满足条件． 【详解】解：若x为负数，，满足条件； 若x为0，，满足条件； 若x为正数，，不满足； ∴x一定是负数或零． 8．若，则 ____． 【答案】 【详解】解：， ． 9．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 10．已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 11．数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足． (1) ________，________；A，B间的距离为________； (2)数轴上一点C距点A 7个单位长度，其表示的数c满足．求点B，C之间的距离． 【答案】(1)6， ，10 (2)3 【分析】本题考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，注意距离与数轴上的点的区别是解题的关键． （1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a，b，再求两点的距离即可； （2）根据题意判断c的符号，结合与点A距离7个单位长度即可解答． 【详解】（1）解： ∵，， ∴，解得， ，解得， ∴； （2）解：由（1）可知． 因为，所以或，所以或． 因为点C距点A 7个单位长度， 所以或， 又因为，所以点C在数轴上表示的数为 所以点B，C之间的距离为． 题型专练 【题型1 求一个数的绝对值】 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是． 2．设是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，则的值为（） A． B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值和正整数的概念，以及有理数的加法，掌握基本定义是关键． 根据绝对值和正整数的定义，确定a和b的值，然后计算的值． 【详解】解：∵a是绝对值最小的有理数，b是最小的正整数， ∴，， ∴． 故选：D． 3．若，则a的值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质，可得，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．_______ 【答案】10 【分析】先根据负负得正化简多重符号，再利用绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 【题型2 绝对值的非负性】 1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，理解“几个非负数的和为，则每个非负数均为”是解题关键． 两个非负数的和为零，则每个非负数都为零，据此算出、，进而求出． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴且， ∴，， ∴． 故选：． 2．已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，根据平方项和绝对值项均非负，且它们的和为零，则每一项必须为零，由此计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， 故选：C． 3．式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可知，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大值是2026． 故选：B． 4．若，则______，______． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 5．若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了非负数的性质．根据绝对值的和为零，可得每个绝对值同时为零，可得答案． 【详解】解：由，得 ，． 解得，． 【题型3 带有字母的绝对值化简问题】 1．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的特点、绝对值的化简．根据数轴上点的位置，可知，，，，从而可得，，，根据绝对值的定义化简后再合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，，，， ，，， ． 故选：D． 2．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】根据数轴得到，进而根据绝对值的非负性计算即可． 【详解】解：由题意得， 则 ． 3．已知，则的所有可能值为______． 【答案】3或7或 【分析】根据绝对值的性质，对a，b，c的正负性按负数个数分类讨论，分别计算代数式的值，即可得到所有可能结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知，对于非零数， 当时，，当时，， 按中负数的个数分类讨论如下. 1. 当a，b，c全为正数时，，则，，，， ∴原式； 2. 当a，b，c中有1个负数，2个正数时，， 则无论哪个数为负，， ， ∴原式； 3. 当a，b，c中有2个负数，1个正数时，， 则无论哪两个数为负，，， ∴原式； 4. 当a，b，c全为负数时，， 则，，，， ∴原式， 综上，所有可能值为3或7或． 4．a，b在数轴上的位置如图所示，化简_____． 【答案】 【分析】根据数轴可得，，得出，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ 5．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求和的值； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据表示、的数在数轴上的位置可知，，又因为，可知，根据、的关系求出结果； （2）根据表示、、的数在数轴上的位置可知，，，，，，根据绝对值的性质去掉绝对值再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ， ， ，； （2）解：由数轴可知，，，， ， ，，， ． 6．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： a 0，b 0，c 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由数轴得出，进一步得出； （2）根据绝对值的性质结合（1）中的结论解答即可． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：由（1）知，； ∴， ∴ ． 【题型4 绝对值方程】 1．如果，那么_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握“绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数”是解题的关键．先计算等式右边绝对值的值，再根据绝对值的定义求解的取值． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 2．方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 3．若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值方程，若，则是解题的关键． 根据题意得，，再求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故答案为：． 4．若，则x的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题考查了解含有绝对值的方程；将等式化为，再根据绝对值的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为0或2． 5．在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 【答案】4或0 【分析】先根据点表示的数与点和点的距离求出点表示的数，再根据相反数的定义求出点表示的数． 【详解】解：设点表示的数是，点B表示的数是， 点表示的数是，点与点之间的距离为， ， 解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，．当时，． 点B表示的数是4或0． 【题型5 绝对值的应用】 1．某食品生产厂家随机检测了四包袋装小食品，每包以标准克数（200克）为基准，超过标准克数的部分记作正数，不足标准克数的部分记作负数，以下数据是检测记录结果，从轻重的角度看，最接近标准克数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的运用，比较各数据与标准克数偏差的绝对值，绝对值最小的最接近标准克数． 【详解】解：∵ ， ∴最小， 故选：B． 2．市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义． 比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量． 【详解】解：计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥． ∵， ∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤． 故答案为⑤． 3．写出一个绝对值小于的负整数：_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的概念，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，找出绝对值小于的负整数即可． 【详解】解：，绝对值小于的负整数，即其绝对值为正整数且小于， 因此绝对值可以是，，，，，，， ∴负整数为，，，，，，． 故答案为：（答案不唯一）． 4．若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值定义、数轴上两点之间距离等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，求出的值，再由数轴上两点之间距离表示分类计算所有组合的距离，比较大小即可得最大距离． 【详解】解：，， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点和点两点间的最大距离为， 故答案为：． 5．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 【题型6 绝对值与数轴结合】 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．若，求b的值． 【答案】 【详解】解：因为，且a，c分别在原点的两侧，所以a，c互为相反数，即． 因为， 所以， 所以． 因为b在原点左侧，所以． 2．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 4．已知数m，n表示的点在数轴上的位置如图所示，括号内分别表示m，n的相反数，的位置． (1)在括号内填空； (2)若数m与其相反数相距24个单位长度， ①求m的值； ②若数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，求n的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，相反数，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，结合数轴，即可作答； （2）根据数m与其相反数相距24个单位长度，且，得出， ②由得，因为数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，且结合数轴得在点的左边，列式计算得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： ； （2）解：①数m与其相反数相距24个单位长度， ∴， 又， ∴． ②由得， ∵数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，且结合数轴得在点的左边， ∴， 【题型7 绝对值的代数意义】 1．若，，则下列结论正确的是（    ） A．是负数，是正数 B．是正数，是负数 C．是负数或，是正数或 D．是正数或，是负数或 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质得到，，然后判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是负数或，是正数或． 2．下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题的关键． 根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可． 【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确； 对于②：0既不是正数也不是负数，∴②正确； 对于③：0的相反数是0，∴③正确； 对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0和正数），不一定是正数，∴④不正确； ∴不正确的有①和④，共2个， 故选：B． 3．若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴，即x为非正数． 4．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 【题型8 绝对值的几何意义】 1．点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 2．数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点距离公式，点与点的距离表示为，且该距离为． 【详解】解：∵ 点与点的距离为， ∴可以表示为． 故选：． 3．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 4．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 巩固练习 1．的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 3．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 4．在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是（    ） A．3 B．或3 C． D．0.3 【答案】B 【分析】利用“数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值”，分情况得到结果. 【详解】解：设所求点表示的数为， ∵该点与原点的距离为3个单位， ∴， ∵绝对值为3的数是和， ∴这个点表示的数是或. 5．标准乒乓球的质量为2.7克．现随机抽取4个样本进行检测，其中超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，从质量的角度来看，最接近标准质量的是（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】D 【分析】最接近标准质量的乒乓球，是与标准质量偏差的绝对值最小的那个，只需计算各选项数的绝对值，比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵ 最接近标准质量等价于与标准质量的偏差的绝对值最小，分别计算各选项偏差的绝对值：，，，， 又∵， ∴最小，即克最接近标准质量. 6．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的应用， 绝对值化简，解题的关键是熟记绝对值化简的规律：正数和0的绝对值等于它本身， 负数的绝对值等于它的相反数． 由数轴可得， 即可判断，再根据绝对值的规律化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， 则， 故选：D． 7．若互为相反数，，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的性质，绝对值的性质，代数式求值，解题的关键是掌握互为相反数的两数之和等于0． 先根据相反数的性质，绝对值的性质得到，再代入求值即可． 【详解】解：∵互为相反数，， ∴， ∴或， ∴的值是2或， 故选：C． 8．的绝对值是___． 【答案】/ 【详解】解：． 9．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 10．如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 11．若，则______． 【答案】2 【分析】该题考查了绝对值的非负性，代数式求值，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 13．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 14．求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】9；；；； 【分析】本题主要考查绝对值，正确应用绝对值的定义是解题关键． 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 15．已知，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的代数意义，理解绝对值的定义是解题关键． 依据“绝对值的定义：若（），则或”，分析绝对值等于3的数的两种可能情况． 【详解】解：根据绝对值的定义， 若，说明对应的点到原点的距离为， 在数轴上，到原点距离为的点对应的数有两个：和， 故的值为或． 答：或． 16．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可得，，，从而求出、、的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 17．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 18．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)，3， (2)沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，绝对值的含义． （1）根据绝对值的含义，数轴上两点之间的距离可得答案． （2）结合数轴上两点之间的距离可得答案． 【详解】（1）解：∵，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度，，， ∴，，． 故答案为：，3， （2）解：沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度，能爬行到距离原点2个单位长度的位置． 19．同学们，我们都知道：表示7与3的差的绝对值，实际上也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示7与的差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请尝试着完成下面的问题： (1) ______； ______； ______； (2)写出使得成立的所有整数． 【答案】(1)3；5；4 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，有理数的加减运算，数轴上两点间的距离，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义和有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据绝对值的几何意义和数轴上两点间的距离公式可得当时，才成立，据此可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离和到表示数的点的距离之和， ∵数轴上表示数2的点与表示数的点的距离为， ∴当时，才成立， ∴使得成立的所有整数为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值 思维导图 知识点梳理 绝对值 知识点一 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离． 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是． 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或 4、 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即： 即学即练 1．有理数的绝对值为（    ） A．2026 B． C． D． 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则x的值为______，y的值为______． 4．绝对值大于2且小于的所有整数的和为________． 5．若，则______________． 6．小红在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 易混易错 注 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 即学即练 7．若，则x一定是（　　） A．负数 B．负数或零 C．零 D．正数 8．若，则 ____． 9．如果，那么______． 10．已知，且，求___________． 11．数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足． (1) ________，________；A，B间的距离为________； (2)数轴上一点C距点A 7个单位长度，其表示的数c满足．求点B，C之间的距离． 题型专练 【题型1 求一个数的绝对值】 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．设是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，则的值为（） A． B．0 C．2 D．1 3．若，则a的值是（   ） A． B．5 C． D． 4．_______ 【题型2 绝对值的非负性】 1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 3．式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 4．若，则______，______． 5．若，求、的值． 【题型3 带有字母的绝对值化简问题】 1．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 3．已知，则的所有可能值为______． 4．a，b在数轴上的位置如图所示，化简_____． 5．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求和的值； (2)化简：． 6．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： a 0，b 0，c 0， 0． (2)化简：． 【题型4 绝对值方程】 1．如果，那么_____． 2．方程的解是______． 3．若，则_________． 4．若，则x的值为______． 5．在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 【题型5 绝对值的应用】 1．某食品生产厂家随机检测了四包袋装小食品，每包以标准克数（200克）为基准，超过标准克数的部分记作正数，不足标准克数的部分记作负数，以下数据是检测记录结果，从轻重的角度看，最接近标准克数的是（   ） A． B． C． D． 2．市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 3．写出一个绝对值小于的负整数：_____．（写出一个即可） 4．若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 5．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【题型6 绝对值与数轴结合】 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．若，求b的值． 2．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 4．已知数m，n表示的点在数轴上的位置如图所示，括号内分别表示m，n的相反数，的位置． (1)在括号内填空； (2)若数m与其相反数相距24个单位长度， ①求m的值； ②若数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，求n的值． 【题型7 绝对值的代数意义】 1．若，，则下列结论正确的是（    ） A．是负数，是正数 B．是正数，是负数 C．是负数或，是正数或 D．是正数或，是负数或 2．下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 4．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【题型8 绝对值的几何意义】 1．点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 2．数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（    ）． A． B． C． D． 3．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 4．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 巩固练习 1．的绝对值是(     ) A． B． C． D． ． 2．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 3．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 4．在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是（    ） A．3 B．或3 C． D．0.3 5．标准乒乓球的质量为2.7克．现随机抽取4个样本进行检测，其中超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，从质量的角度来看，最接近标准质量的是（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 6．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 7．若互为相反数，，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 8．的绝对值是___． 9．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 10．如果，则______，如果，则______．化简：______． 11．若，则______． 12．已知a为有理数，则的最小值为__________． 13．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 14．求下列各数的绝对值： ，，，，． 15．已知，求的值． 16．已知，求的值． 17．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 18．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 19．同学们，我们都知道：表示7与3的差的绝对值，实际上也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示7与的差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请尝试着完成下面的问题： (1) ______； ______； ______； (2)写出使得成立的所有整数． 2 1 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