湖南省株洲市第五中学2025--2026学年上学期九年级第二次阶段数学试卷

**基本信息** 株洲市五中初三数学月考试卷，以“双减”政策、农业销售等现实情境为载体，通过解直角三角形应用、新定义“星联函数”及数表探究等题，考查抽象能力、模型意识与创新意识，实现基础巩固与思维提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数运算、坐标几何、统计量、圆的性质|第3题结合“五育并举”评价数据，考查众数、中位数计算，体现数据意识| |填空题|8/24|函数性质、数表规律、新定义运算|第16题定义中位数运算，融合函数交点问题，发展抽象能力| |解答题|8/66|解直角三角形、函数应用、几何证明、代数探究|第20题测角仪测量树高，第21题农业销售利润分析，用数学语言解决实际问题；第24题数表“代表数”探究，培养创新意识|

株洲市第五中学2026年上学期初三第二次月考数学 一、单选题:每小题3分，共30分。 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，长方形中，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，某学校积极推进学生综合素质评价改革，小明在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为，，，，，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（      A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（ ） A．45° B．40° C．25° D．20° 5．下列运算正确的是 A． B． C． D． 6．如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为◆，， ，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（   ）   A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 9．如图，在等腰中，，D是上一动点，以为底，在的右侧作等腰，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上总存在一点，使，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题:每小题3分，共24分。 11．如图，直线∥，，若，则 度． 12．抛物线y=2（x+1）2-5的顶点坐标是 . 13．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第 行第 列． 14．已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 ． 15．有2022个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2022个数的和是 ． 16．定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为 ． 17．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D是垂足，CG∥AB，BG分别交AD，AC于点E，F，若，则 ．    18．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…，如此进行下去，直至得． （1）请写出抛物线的解析式： ； （2）若在第10段抛物线上，则 ． 三、解答题:满分66分。 19．计算：． 20．某数学兴趣小组用高为1.2米的测角仪测量小树AB的高度，如图，在距AB一定距离的F处测得小树顶部A的仰角为50°，沿BF方向行走3.5米到G处时，又测得小树顶部A的仰角为27°，求小树AB的高度．（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.5，sin50°=0.77，cos50°=0.64，tan50°=1.2） 21．如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． (1)当销售量为 千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是 元； (3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 22．已知，我们不妨约定：当自变量x满足：时，函数值y恰好满足：，此时我们就说该函数是“星联函数”，“”的值叫做该“星联函数”的“星联距离”，根据约定，解答下列问题： (1)当时，试判断下列函数哪些是“星联函数”？是“星联函数”的在括号内划“√”，不是“星联函数”的在括号内划“×”； ①（    ）；②（    ）；③（    ）． (2)若当时，一次函数（）是“星联函数”，试求出该一次函数的解析式，并求出该函数的“星联距离”； (3)当时，“星联函数”解析式为，求该函数的“星联距离”． 23．如图，在菱形中，M为的中点，与的交点为E，点F在边上，交于点G，且． (1)求证：； (2)若，连接，求证：． 24．对于给定的自然数，用1和作为元素填满行列的数表，数表中第行第列的元素记作，记为数表的第行的各数之和，为数表的第列的各数之和，其中． 记为数表的“代表数”．若数满足且，则称元素是“好的”，记是数表中“好的”元素的个数． (1)对以下数表，，则_______； (2)当自然数是偶数时，数表的“代表数”的最大值是______．（用含的代数式表示） (3)在数表中，若中恰有个正数，中恰有个正数，其中，，，则的最大值是_____．（用含，和的代数式表示） 25．若抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且恰好是直角三角形并满足，则称抛物线是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”． (1)若“五有四化抛物线”的“五有线”为，求抛物线解析式； (2)已知“五有四化抛物线”与x轴的一个交点为，其“四化线”与反比例函数仅有一个交点，求反比例函数解析式； (3)已知“五有四化抛物线”的“五有线”、“四化线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是，令，且P有最大值t，求t的值． 26．如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知. （1）求证：是的切线； （2）若，，求劣弧与弦所围阴影图形的面积； （3）若，，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $