专题07 工程问题（导学案）新六年级数学暑假自学课（苏教版·新教材）

编者的话 随着暑假来临，我们特别整理了这份新学期的衔接预习指南，希望能帮助大家提前迈出扎实的一步。 在开始本阶段前，我们已通过前期复习与专项训练，帮助大家巩固了上学期知识体系，加深了对核心内容的理解，也在实际应用中提升了综合解题能力。 进入预习衔接环节，我们围绕新学期1-2个重点单元进行了内容提炼与导读。通过系统预习，你不仅可以提前感受新知识的脉络与趣味，也能初步锻炼自主学习的能力，为开学后的课堂吸收与拓展做好充分铺垫。 新学期即将启程，愿你们继续保持积极的学习热情，敢于发问、勤于思考，在探索中不断成长。期待每一位同学在新学期展现出更好的状态，收获知识、自信与进步。 最后，祝大家拥有一个充实、愉快的暑假，迎接更好的自己！ 六年级数学暑假自学课 专题07 工程问题（导学案） 一、工程问题的意义。 1、工程问题是分数应用题的一种,它研究的是工作总量、工作效率与工作时间三者之间的关系。 2、当工程问题和分数应用题结合在一起时,通常工作总量不是具体的数量,而是用“1”来表示;相应的工作效率也不是具体数量,而是工作时间的倒数。理解与掌握这个要点，是用分数乘除法解决工程问题的关键。 二、工程问题的基本数量关系。 1、基本数量关系 工作时间×工作效率=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 一、选择题 1．某工厂接到一批订单，甲队单独加工需要6天完成，乙队单独加工需要10天完成，为了提高加工效率，由甲、乙两队合作完成这批订单，（    ）天可以完成这批订单的。 A． B．3 C． D．8 【答案】B 【分析】把这批订单的工作量看作单位“1”。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别算出甲队和乙队的工作效率。再根据工作时间＝工作量÷工作效率之和解决。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝（天） 3天可以完成这批订单的。 2．修一条20千米长的公路，甲队单独修要6天完成，乙队单独修要8天完成。现在甲、乙两队合修需要多少天可以完成？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】（1）把这条公路的工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队的工作效率；再用加法求出甲队工作效率与乙队工作效率之和，最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，工作总量是单位“1”，即单位“1”÷工作效率和，求出合修需要的时间； （2）也可以把工作总量看作20千米，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，先分别求出甲队、乙队的工作效率，进而求出工作效率和，最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，工作总量是20千米，求出甲、乙两队合修需要的时间。 【解答】根据分析（1）可得： 甲的工作效率：1÷6＝ 乙的工作效率：1÷8＝ 工作效率和为：＋ 工作时间：1÷（＋） 根据分析（2）可得： 甲的工作效率：20÷6＝（千米/天） 乙的工作效率：20÷8＝（千米/天） 工作效率和为：＋（千米/天） 工作时间：20÷（＋） 对比选项，正确的算式是：20÷（＋） 3．一个水池的水位高度要从1.6米降至1米。若单独打开甲排水管或乙排水管，要使水位降至1米，则分别要用30分钟和20分钟。若同时打开两管8分钟，则这时水池水位降至（    ）米。 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】A 【分析】水位高度要从1.6米降至1米，需要下降1.6－1＝0.6米。分别用需要下降的水的高度除以两个排水管需要的时间求出两个排水管各自每分钟使水位下降的高度，相加求出两个排水管同时打开每分钟水位下降的高度，再乘8求出8分钟水位下降的总高度，最后用原来的高度减去下降的高度即可求出此时的水位高度。 【解答】1.6－1＝0.6（米） （0.6÷30＋0.6÷20）×8 ＝（0.02＋0.03）×8 ＝0.05×8 ＝0.4（米） 1.6－0.4＝1.2（米） 4．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，（    ）天可以完成这批订单的。 A．15 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】合作时间＝合作总量÷效率和。把一批订单看作单位“1”，根据王阿姨和李阿姨单独完成所需的时间求出各自的效率，再用合作总量“这批订单的”除以两人的效率和解答。 【解答】王阿姨的效率： 李阿姨的效率： （天） 若二人合作，2天可以完成这批订单的。 5．四川青神竹编的非遗传承人李师傅和王师傅，分别需要3天和4天才能完成一件竹篓的制作，两人合作完成7件竹篓需要（    ）天。 A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】A 【分析】根据，分别求出李师傅和王师傅的工作效率，再根据，列式计算即可。 【解答】（件/天） （件/天） （天） 二、填空题 6．一块草坪，如果甲单独修剪，3小时能修剪完；如果乙单独修剪，5小时能修剪完。如果两人合作修剪，每小时能完成（ ），（ ）小时能修剪完。 【答案】 【分析】把修剪草坪看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲工作效率和乙工作效率，再把他们的工作效率相加即可；再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以甲乙的工作效率和即可。 【解答】1÷3＝ 1÷5＝ ＋ ＝＋ ＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 7．一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成只需要8天，甲、乙合作，需要（ ）天完成这项工程。 【答案】 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲的工作效率是，乙的工作效率为，再根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间，据此进行计算即可。 【解答】1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 即甲、乙合作天完成这项工程。 8．在北方，立冬有吃饺子的习惯。明明家在立冬这天也想要吃饺子。若让妈妈一个人包，则需要20分钟包完，若让爸爸一个人包，则需要30分钟包完。爸爸妈妈同时包，需要（ ）分钟包完；实际上，妈妈先包了10分钟，然后爸爸和妈妈同时包，直至包完，实际用了（ ）分钟。 【答案】12 16 【分析】把包饺子的总任务量看作单位“1”，妈妈单独包完需要20分钟，那么她每分钟能完成全部任务的；爸爸单独包完需要30分钟，他每分钟能完成全部任务的。 两人一起包时，每分钟能完成的任务量，就是妈妈和爸爸的效率之和，用总任务量1除以效率之和，就能算出合作完成的时间。 用妈妈的效率乘10，求出妈妈10分钟完成的任务量，用总任务量减去已经完成的任务量求出剩下的任务量；用剩下的任务量除以两人的效率之和算出合作时间，再将合作时间与妈妈最先单独包的时间相加即可求出实际用的总时间。 【解答】1÷20＝ 1÷30＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝12（分钟） 爸爸妈妈同时包，需要12分钟。 （1－×10）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（分钟） 10＋6＝16（分钟） 直至包完，实际用了16分钟。 9．风筝是中国古人的一项重要发明，有着两千多年的历史。为了宣传风筝文化，某市举办风筝节活动，现在需要制作一批风筝，甲单独做需要20天可以完成，乙单独做15天可以完成，现在甲先做了6天，余下的工作由甲乙合作完成。还需要（ ）天，才能完成全部工作。 【答案】6 【分析】把一批风筝看作单位“1”，甲单独做需要20天完成，则甲的效率为；乙单独做需要15天完成，则乙的效率为。根据总量＝效率×时间，用甲的效率乘6求出甲完成的量，余下的量＝单位“1”－甲完成的量。再根据合作时间＝合作总量÷效率和，用余下的量除以甲乙两人的效率和求出合作时间。 【解答】甲的效率： 乙的效率： （天） 还需要6天，才能完成全部工作。 10．分拣机器人是一种具备了传感器、物镜和电子光学系统的机器人，可以快速进行货物分拣。现有3600件快递需要分拣，A品牌分拣机器人单独分拣完要20分钟，B品牌分拣机器人单独分拣完要15分钟。如果两个分拣机器人合作，（ ）分钟能分拣完这批快递的，还剩下（ ）件没有分拣。 【答案】6 1080 【分析】将这批快递的总量看作单位“1”。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出 A、B 两个品牌分拣机器人的工作效率，再求出合作效率。最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，求出分拣完这批快递的所需的时间。 已知快递总数为3600件，已完成 ，则剩下占总数的 （1−）。根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，计算剩下的件数。 【解答】÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（分钟） 3600× （1−） ＝3600× ＝1080（件） 如果两个分拣机器人合作，6分钟能分拣完这批快递的，还剩下1080件没有分拣。 三、解答题 11．一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 【答案】4天 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作效率＝1÷单独完成需要的天数，首先计算小张先工作4天完成的工作量，进而求出剩余工作量；最后根据“合作时间＝剩余工作总量÷工作效率和”，求出合作所需的天数。 【解答】 （天） 答：他们还需要4天才能完成这个项目。 12．东湖景区计划清理淤泥。有甲乙两艘清淤船，如果甲船单独工作，10天可以完成全部清淤任务；如果乙船单独工作，需要15天完成。两船合作3天后，乙船因故障离开，剩下的由甲船单独完成。从开始到完工一共用了多少天？ 【答案】8天 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”分别求出甲和乙的工作效率，再根据“工作量＝工作效率之和×工作时间”求出甲乙合作3天的工作量，用工作总量减去甲乙合作3天的工作量即为剩余工作量，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”求出剩余工作量甲单独清淤的工作天数，最后加上甲乙合作的3天即是所求。 【解答】[1－（）×3]3 ＝[13]3 ＝[1]3 3 ＝5＋3 ＝8（天） 答：从开始到完工一共用了8天。 13．班级要布置文化墙，文艺委员小佳单独做2小时，能完成整个布置任务的。宣传委员小宇单独完成全部任务需要10小时。现在两人合作，多少小时可以完成布置任务？ 【答案】小时 【分析】把整个布置任务看作单位“1”，按照工作效率＝工作量÷工作时间；工作时间＝工作总量÷合作工作效率计算。 【解答】小佳效率：÷2＝×＝； 小宇效率：1÷10＝； 合作时间：1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 答：现在两人合作，小时可以完成布置任务 14．玩具店订购一批玩具，甲厂单独生产要18天完成，乙厂单独生产要12天完成。两厂合作3天后，剩下的玩具由乙厂独立完成，还要几天才能完成？ 【答案】7 天 【分析】把这批玩具的工作量看作单位“1”。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别算出甲厂和乙厂的工作效率。先求出两厂合作 3 天完成的工作量，再用单位“1”减去已完成的工作量，求出剩下的工作量，再根据工作时间＝工作量÷工作效率解决。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 答：还要 7 天才能完成。 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 随着暑假来临，我们特别整理了这份新学期的衔接预习指南，希望能帮助大家提前迈出扎实的一步。 在开始本阶段前，我们已通过前期复习与专项训练，帮助大家巩固了上学期知识体系，加深了对核心内容的理解，也在实际应用中提升了综合解题能力。 进入预习衔接环节，我们围绕新学期1-2个重点单元进行了内容提炼与导读。通过系统预习，你不仅可以提前感受新知识的脉络与趣味，也能初步锻炼自主学习的能力，为开学后的课堂吸收与拓展做好充分铺垫。 新学期即将启程，愿你们继续保持积极的学习热情，敢于发问、勤于思考，在探索中不断成长。期待每一位同学在新学期展现出更好的状态，收获知识、自信与进步。 最后，祝大家拥有一个充实、愉快的暑假，迎接更好的自己！ 六年级数学暑假自学课 专题07 工程问题（导学案） 一、工程问题的意义。 1、工程问题是分数应用题的一种,它研究的是工作总量、工作效率与工作时间三者之间的关系。 2、当工程问题和分数应用题结合在一起时,通常工作总量不是具体的数量,而是用“1”来表示;相应的工作效率也不是具体数量,而是工作时间的倒数。理解与掌握这个要点，是用分数乘除法解决工程问题的关键。 二、工程问题的基本数量关系。 1、基本数量关系 工作时间×工作效率=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 一、选择题 1．某工厂接到一批订单，甲队单独加工需要6天完成，乙队单独加工需要10天完成，为了提高加工效率，由甲、乙两队合作完成这批订单，（    ）天可以完成这批订单的。 A． B．3 C． D．8 2．修一条20千米长的公路，甲队单独修要6天完成，乙队单独修要8天完成。现在甲、乙两队合修需要多少天可以完成？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个水池的水位高度要从1.6米降至1米。若单独打开甲排水管或乙排水管，要使水位降至1米，则分别要用30分钟和20分钟。若同时打开两管8分钟，则这时水池水位降至（    ）米。 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 4．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，（    ）天可以完成这批订单的。 A．15 B．3 C．2 D．1 5．四川青神竹编的非遗传承人李师傅和王师傅，分别需要3天和4天才能完成一件竹篓的制作，两人合作完成7件竹篓需要（    ）天。 A．12 B．18 C．20 D．24 二、填空题 6．一块草坪，如果甲单独修剪，3小时能修剪完；如果乙单独修剪，5小时能修剪完。如果两人合作修剪，每小时能完成（ ），（ ）小时能修剪完。 7．一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成只需要8天，甲、乙合作，需要（ ）天完成这项工程。 8．在北方，立冬有吃饺子的习惯。明明家在立冬这天也想要吃饺子。若让妈妈一个人包，则需要20分钟包完，若让爸爸一个人包，则需要30分钟包完。爸爸妈妈同时包，需要（ ）分钟包完；实际上，妈妈先包了10分钟，然后爸爸和妈妈同时包，直至包完，实际用了（ ）分钟。 9．风筝是中国古人的一项重要发明，有着两千多年的历史。为了宣传风筝文化，某市举办风筝节活动，现在需要制作一批风筝，甲单独做需要20天可以完成，乙单独做15天可以完成，现在甲先做了6天，余下的工作由甲乙合作完成。还需要（ ）天，才能完成全部工作。 10．分拣机器人是一种具备了传感器、物镜和电子光学系统的机器人，可以快速进行货物分拣。现有3600件快递需要分拣，A品牌分拣机器人单独分拣完要20分钟，B品牌分拣机器人单独分拣完要15分钟。如果两个分拣机器人合作，（ ）分钟能分拣完这批快递的，还剩下（ ）件没有分拣。 三、解答题 11．一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 12．东湖景区计划清理淤泥。有甲乙两艘清淤船，如果甲船单独工作，10天可以完成全部清淤任务；如果乙船单独工作，需要15天完成。两船合作3天后，乙船因故障离开，剩下的由甲船单独完成。从开始到完工一共用了多少天？ 13．班级要布置文化墙，文艺委员小佳单独做2小时，能完成整个布置任务的。宣传委员小宇单独完成全部任务需要10小时。现在两人合作，多少小时可以完成布置任务？ 14．玩具店订购一批玩具，甲厂单独生产要18天完成，乙厂单独生产要12天完成。两厂合作3天后，剩下的玩具由乙厂独立完成，还要几天才能完成？ 学科网（北京）股份有限公司 $