（预习篇）第六讲 三角形全等的判定 讲练 -2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假学习衔接

2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第六讲 三角形全等的判定「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+十九大考点讲练+优选题难度分层练 共58题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 “边边角”判定方法 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”） 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点二 “边角边”判定方法 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：角必须是两边“夹角” 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点三 “角边角”判定方法 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（ASA） 知识点四 “角角边”判定方法 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（AAS） 知识点五 “斜边、直角边”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 考点一 用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 考点二 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是延长线上一点，且，过点作，使，连接并延长，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点三 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式训练】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 考点四 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知相交于点O，，，求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 考点五 用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 考点六 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 ________． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 考点七 用HL证全等(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 考点八 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，点在边上，连接并延长至点，使 ，过点作，垂足为．若，求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是的中点，若点D在x轴上，且，求点D的坐标． 考点九 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 考点十 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 考点十一 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 考点十二 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建福州·期中） 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 考点十三 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【变式训练】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 考点十四 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 考点十五 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中DE与BE，AD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，得到，，从而可以得出结论． (1)请你根据小王得到的结论填空：已知，，则________； (2)如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D． ①猜想DE与BE，AD之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形ADBE的面积； (3)如图3，在等腰中，，，则B点坐标为________，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为________． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 考点十六 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在△中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)连接，若，，求． 考点十七 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（    ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 【变式训练】（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图所示，点C在射线上．请用尺规作图法，在外找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 考点十八 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，已知P是直线外一点，用两种不同的方法过点P作与直线平行的直线．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不需要写作法．） 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点在的边上．请用尺规作图法，作直线．（不写作法，保留作图痕迹） 考点十九 尺规作图——作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 3．（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 4．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 5．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； ．其中正确的是 ________ ． 6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 7．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为___________． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 10．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 5．（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为_______；若，且，则_______． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是边的中点，过点作交的延长线于点，连接，则的度数为______． 7．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，平分于点P．已知阴影部分的面积为，求点A到所在直线的最短距离________． 8．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，是等腰三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）【问题探究】 在中，、边上的高、交于点，． （1）如图1，试说明：； （2）如图1，试说明：； 【问题解决】 （3）农业观光园是集科技示范、旅游观光、科普教育以及休闲娱乐功能于一体的综合型园区，越来越受到人们的喜爱．某农业观光园中有一块三角形的蔬菜种植基地，，是两条观光小路，且，，为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划将该蔬菜基地按如下方式扩建：如图2所示，延长至点，延长至点，连接，使得，，并在线段上找一点修建休息亭，满足，请你判断和的位置关系，并说明理由． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，我们放置了一个，其三个顶点的坐标为，，．以此为基础，我们展开如下探究： 【初步感知】（1）直接写出的面积：______； 【深入探究】（2）如图1，在y轴上存在一点，请判断与的位置关系，并证明； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若点为直线上的一个动点（不与，重合），连接，． ①如图2，当点在线段上运动时，请写出与，的数量关系，并证明； ②当点在射线或射线上运动时，①中的结论是否还成立？若成立，请选择一种情况说明理由；若不成立，请直接写出结论． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第六讲 三角形全等的判定「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+十九大考点讲练+优选题难度分层练 共58题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 “边边角”判定方法 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”） 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点二 “边角边”判定方法 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：角必须是两边“夹角” 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点三 “角边角”判定方法 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（ASA） 知识点四 “角角边”判定方法 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（AAS） 知识点五 “斜边、直角边”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 考点一 用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可得证； （2）根据三角形外角的定义及性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据角的和差可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 考点二 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据，推出，证明即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； ∴； （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是延长线上一点，且，过点作，使，连接并延长，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； ∴； （2）解：，，， ， ， ． 考点三 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 考点四 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知相交于点O，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】证明即可． 【变式训练】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 考点五 用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 考点六 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】根据证明，可得再根据三角形内角和即可求出结果． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据条件，通过证明，得到，，之间的关系，再利用已知角度关系求解即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 考点七 用HL证全等(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，，可得，然后通过“”即可证明，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴用到的判定方法为， 故选：． 考点八 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，点在边上，连接并延长至点，使 ，过点作，垂足为．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．根据直接证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：， ． 和都是直角三角形 在Rt和Rt中， ． ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是的中点，若点D在x轴上，且，求点D的坐标． 【答案】或 【分析】分点在轴负半轴上；点在轴正半轴上，再构建全等三角形求解即可． 【详解】解：如图， ∵点是的中点，点， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵， 在和中，， ∴ ， ∴，点在轴负半轴上时，坐标为； 同理可得：点在轴正半轴上时，坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 考点九 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、等）是解题的关键． 根据图中露出的部分，确定直角三角形的两个角及其夹边，再依据全等三角形的判定定理逐一判断选项． 【详解】解：已知该三角形为直角三角形，且露出了一个锐角、直角以及这两个角所夹的一条边． 选项（）： ∵图中露出了直角、一个锐角，以及这两个角所夹的一条边，满足两角及其夹边对应相等的条件 ∴可以依据判定全等，故项正确，符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两角及其中一角的对边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两条边及其夹角的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供三条边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 故选：． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【答案】B 【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法． 【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（）， 当，，时，三边长度确定， 能画出唯一的， 故小杭的说法正确； 三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同， 即存在多个大小不同的三角形满足，，， 不能画出唯一的， 故小州的说法错误； 综上，小杭对，小州错． 故选：B． 考点十 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 考点十一 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点十二 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建福州·期中） 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）先根据，得是等腰直角三角形，，过C作轴于E，则，，证明，得到，，最后根据代入计算即可； （2）先过C作轴于E，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，，据此即可得出点C的坐标； （3）作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置，再根据平分得到落在射线上，且，，即可证明，得到，过C作轴于F，当时，C的坐标为，则，，根据，得到，最后求出的最小值是． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 又∵点，点， ∴，， ∴， ∴C的坐标为； （3）解： 如备用图，作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置， ∵平分， ∴射线与射线关于对称. ∵点C与关于对称， ∴落在射线上，且，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 过C作轴于F， 当时，C的坐标为，则，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴的最小值是． 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 考点十三 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【变式训练】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 考点十四 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：过作于， ． ，， ． ． （2）解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 【变式训练】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 考点十五 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中DE与BE，AD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，得到，，从而可以得出结论． (1)请你根据小王得到的结论填空：已知，，则________； (2)如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D． ①猜想DE与BE，AD之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形ADBE的面积； (3)如图3，在等腰中，，，则B点坐标为________，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为________． 【答案】(1)16 (2)①，理由见解析；②64 (3)；或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、线段和差： （1）根据线段之间的关系得到即可； （2）①通过证明得出线段关系，进而得出三者之间的关系； ②先求四个三角形的面积，则就是； （3）利用等腰三角形的性质得出，进而证明，求出点的坐标，再分三种情况讨论：当公共边为时，与全等；当为公共边时，且；当为公共边时，且． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：． （2）解：①． 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ． ②，， ，， ． （3）解：如图所示，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图所示， 当公共边为时， 与全等，则是等腰直角三角形， ， 同理， ， ； 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ； 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ， ； 综上所述，的坐标为：或或． 故答案为：；或或． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 考点十六 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键． 画出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，满足条件的点有三个，分别为 故选：C 【变式训练】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在△中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)连接，若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据已知易得：，是的垂直平分线，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用全等三角形的性质可得，即可解答； （3）设，利用全等三角形的性质可得，然后利用三角形的面积可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ； （3）解：设， ， ， ，， ， ， ， ， ． 考点十七 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（    ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 【答案】C 【详解】解：要作，需要构造同位角相等，即， 如图，点在的边上， 首先以为圆心，任意长为半径画弧，交于，交于， 然后以为圆心，长为半径画弧，交于 ， 接下来需要以为圆心，长为半径画弧，交之前的弧于，连接即可得到， ∴图中弧是以点为圆心，长为半径的弧． 【变式训练】（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图所示，点C在射线上．请用尺规作图法，在外找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作一个角等于已知角，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 在的左侧作即可． 【详解】解：如图，点D即为所求． 考点十八 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，已知P是直线外一点，用两种不同的方法过点P作与直线平行的直线．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不需要写作法．） 【答案】见解析． 【分析】此题主要考查了尺规作图，解答此题的关键是熟练掌握基本尺规作图，应用两种方法，过直线外一点作已知直线的平行线． 【详解】解：方法1：（1）过点P作直线与直线相交得， （2）以点P为顶点作，得直线； 方法2：过点P作直线，过点P作直线，得直线； 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点在的边上．请用尺规作图法，作直线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：如图，（作法不唯一） 则直线即为所求． 考点十九 尺规作图——作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】解：如图：即为所作． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握作图技能． （1）画射线，截取，利用画一个角等于已知角的方法作即可； （2）如图所示，过点B作，证明出，即可得到． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示，过点B作 ∴ ∵， ∴ ∴． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①利用直角三角形两锐角和为，结合角平分线定义，得，由三角形外角或内角和定理，推出．②由折叠性质得，故，，计算得，即．③在的基础上，利用同角的余角相等得，结合、，由证得．④延长交于，先由证得，再证得，最终得． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； ∵沿着折叠与重合，交于点H， ∴，， ∴， ∴， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故④正确． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【详解】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④． 3．（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】B 【分析】根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 【答案】70 【分析】根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解： ， ， ，， ， ， ． 5．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； ．其中正确的是 ________ ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，根据角平分线的定义可判定；根据角平分线的定义及垂直的定义求得，，再由即可判定；根据三角形中线的性质即可判定；根据已知条件判定不出，由此即可解答；熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴，故正确； ∵为的中点， ∴，故 正确； ∵为斜三角形，为直角三角形， ∴与不全等， ∴不能够判定正确； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】/62度 【分析】在上截取，连接，证明，得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作图在的外部作，使得即可； （2）①根据（1）的作图即可解答；②由作图可知：，，再利用角的和差即可证明结论；③先说明，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：（1）如图：即为所求． （2）解：①由（1）作图可知： ②证明：由作图可知：，， ∴， ． ③与的和等于，理由如下：， ∴． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，即， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）添加一个条件为，再证明出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：添加一个条件为， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、大角对大边等知识点，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键．根据是的高，得到，结合是的角平分线，平分，得到，判断①正确；利用全等三角形判定推出，得到，再利用全等三角形判定推出，判断②正确；利用全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；延长交于点，通过证明得到，得到，再说明得出，判断④错误，即可得出结论． 【详解】解： 是的高， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， ∴，故①正确； 是的高，， ， 又， ， 又， ， 又，， ， ， 又，， ，故②正确； ，， ， ，故③正确； 延长交于点， 在和中，， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③． 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作，交延长线于点，先证明，再证明，利用列出等式求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为_______；若，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大，证明三角形全等是解题关键．根据角平分线定义得到，，再求出，即可求出；延长交于点M，先求出，证明，得到，，求出．设点A到线段距离为h，根据得到，，进而得到，即可求出． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，延长交于点M． ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 设点A到线段距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是边的中点，过点作交的延长线于点，连接，则的度数为______． 【答案】/38度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质得到，证明，得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，平分于点P．已知阴影部分的面积为，求点A到所在直线的最短距离________． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质，遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，过作，证明，利用三角形的中线的性质可得，再利用面积公式求得即可求解． 【详解】解：延长交于，过作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积， 解得， 又，解得， 点A到所在直线的最短距离． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，是等腰三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)4， (2)画图见解析，或，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）先过点作轴于，再结合（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， . （2）解：如图，即为所求作的直线； 当点在轴下方时， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ， ∴． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）【问题探究】 在中，、边上的高、交于点，． （1）如图1，试说明：； （2）如图1，试说明：； 【问题解决】 （3）农业观光园是集科技示范、旅游观光、科普教育以及休闲娱乐功能于一体的综合型园区，越来越受到人们的喜爱．某农业观光园中有一块三角形的蔬菜种植基地，，是两条观光小路，且，，为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划将该蔬菜基地按如下方式扩建：如图2所示，延长至点，延长至点，连接，使得，，并在线段上找一点修建休息亭，满足，请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；（3），理由见详解 【分析】（1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质即可求证； （2）根据（1）的结论，运用“角角边”证明即可求证； （3）根据题意，运用“边角边”可证，可得，根据可得，则，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）证明：由（1）可得， 在中， ， ∴， ∴； （3），理由如下， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，我们放置了一个，其三个顶点的坐标为，，．以此为基础，我们展开如下探究： 【初步感知】（1）直接写出的面积：______； 【深入探究】（2）如图1，在y轴上存在一点，请判断与的位置关系，并证明； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若点为直线上的一个动点（不与，重合），连接，． ①如图2，当点在线段上运动时，请写出与，的数量关系，并证明； ②当点在射线或射线上运动时，①中的结论是否还成立？若成立，请选择一种情况说明理由；若不成立，请直接写出结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）①，证明见解析；②①中的结论不成立，结论应该为或 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式计算即可； （2）如图所示，过点B作于点F，证明出，得到，即可证明； （3）①当点在线段上运动时，过点作，利用平行传递性得到，再根据平行线的性质即可解答；②分类讨论：当点在射线上运动或点在射线上运动，过点作，利用平行线的性质探究即可得到对应的角度关系． 【详解】解：（1） ，，， ，点到的距离为， ； （2）； 证明：如图所示，过点B作于点F ∵，，， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ； （3）①当点在线段上运动时，与，的数量关系为，证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； ②当点在射线或射线上运动时，①中的结论不成立，结论应该为或，理由如下： I．如下图，当点在射线上运动时，过点作， ， ， ，， ； II．如下图，当点在射线上运动时，过点作， ， ， ，， ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null