（预习篇）第三讲 三角形的内角与外角【思维导图+知识卡片+新知学习+八大考点讲练+优选题难度分层练 共44题】-2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假学习衔接讲义

2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 暑假衔接 第三讲三角形的内角与外角 思维导图+新知学习+八大考点讲练+优选题难度分层练 (共44题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 新知学习 教材点拨技巧分析 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题通关查漏补缺 初中数学 八年级/上册（新教材） 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课 知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四 大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整 体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教 师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 人教版八年级数学上册第13章三角形第3节 1.三角形的内角和 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角， 定理)三角形三个内角的和等于180 图示 B C 3三角形的外角 性质】①三角形的一个外角等于租它不相邻的 定理证明思路 两个内角的和： 将三个内角“转移”到三角形的一个顶点处 ②三角形的一个外角大于任意一个和它 合并成一个平角(180)，即可说明 不相邻的内角 求证]如图，∠ACD是△ABC的一个外角 三角形的 求证：∠ACD=∠A+∠B. 内角与外角 证明： :∠A+∠B+∠ACB=180 .∠A+∠B=180°-∠ACB=∠4CD 推论 三角形内角最多有三个锐角 最多有一个直角，最多有一个纯角 外角和)三角形的外角和等于360 E 性质 直角三角形的两个锐角互金， 2.直角三角形的 图示 A61 性质及判定 如图.∠1.∠2.∠3 2 3 是△ABC的三个外角 D∠1+∠2+∠3=360° 表示 直角三角形可用符号“R△”表示 外角的应用 直角三角形ABC可以写成R:△ABC 常见结论 在解决角度计算 ·外角=不相邻的两个内角的和 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 线段关系、几何证明中 常用到外角性质 ·外角>不相邻的任意一个内角 知识梳理小结 口三角形内角和是180°，用于角度计算和证明 温馨提示 多画图，多总结、多应用 口直角三角形的两个锐角互余，互余三角形可判定为直角三角形： 常提性质，灵活运用 口三角形外角具有“和、差、和为360°”等重要性质，是解题的重要工具 教材学习新知引导 知识点一三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 第2页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级署假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 如图，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个 直角 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成 一个角，再说明这个角是平角即可 知识点二直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点三三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠AGD是△ABC的一个外 角 0 2.性质：①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠AGD=∠A+∠B; 证明：.'∠A+∠B+∠AGB=180°；.∴.∠A+∠B=180°-∠AGB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：.'∠AGD=∠A+∠B;.∴.∠AGD>∠A;∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°. 第3页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) B 公 求证：∠BAE+∠CBF+∠AGD-360°； 证明：.∠BAE=∠2+∠3；∠CBF∠1+∠3；∠ACD∠1+∠2； ∴.∠BAE+∠CBF+∠AGD2（∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°. 优选题型考点讲练 1第■。Ime tmi mi m8ng8 考点一三角形内角和定理的证明 【典例精讲】(25-26八年级下·辽宁沈阳·期中)课堂上，为了证明“三角形的内角和是180”，四名 同学给出了如图所示四种作辅助线的方法， E ①过点C作 ②延长AC到点F, EFI∥AB 过点C作CE∥AB B ③过AB上一点D作 ④过点C作CD⊥ E DE I BC,DF∥AC AB于点D B 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是 (请填写序号)； (2)在(1)的方法中，请任选其中一种方法进行证明. 第4页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练1】(25-26八年级下·河南郑州·阶段检测)在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作 了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是180°”的是() E-..C A.过点C作EF II AB A B.延长AC到F,过点C作CE II ABA R C.过AB上一点D作DE II BC,DF II AC D.过AB上一点D作DE II BCB 【变式训练2】(25-26八年级上·广西南宁·阶段检测)在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据 拼合过程得到启发，如图1，过△ABC的顶点A作直线1平行于△ABC的边BC,由平行线的性质与平角的定 义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论. 图1 图2 图3 (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边AB上的任意一点P”,过点P分别作△ABC另外两边的平行 线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.请你先作出辅助 线，再完成这个证明过程. 己知，如图2，在△ABC中，点P是边AB上的任意一点.求证：∠A+∠B+∠C=180°. (2)如图3，是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛 在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB 呢？ 第5页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 考点二与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】(25-26八年级上·河南许昌·期中)在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论. 如图，已知∠A,∠B,∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°. 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明. 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程. 图1 图② 图③ 【变式训练1】如图，AB1BC,EM平分∠AEC交AB于M,EM1MC,∠1+∠2=90°，F,D分别是AE,BC 延长线上的点，∠MEF和∠MCD的平分线交于点N下列结论：①∠1=90°-∠BCE;②AF∥BD;③CM 平分∠ECB;④∠N=135°，其中正确的有() A E F 1 B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式训练2】(23-24七年级下·辽宁大连·期末)如图，在平面直角坐标系中，A(-2,1),B(-1,3), E(3,4④，将线段AB平移得到线段CD(点AB的对应点分别是C),若点C(m,2)(m≠2，且m≠-， 连接EB、ED, E B (1)点D的坐标为（用含m的式子表示） 第6页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） (2)探究∠CDE,∠ABE,∠DEB之间的数量关系 (3)若三角形ABE的面积是三角形ECD的面积的2倍，求m的值. 考点三与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】(25-26八年级上·河北邢台·期末)如图，AE,CD分别是∠BAC,∠ACB的平分线，且AE, CD相交于点F. B (1)若∠BAC=80°，若∠ACB=40°，求∠AFC的度数； (2)若∠B=80°，求∠AFC的度数 【变式训练1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PE 1 AD交直线BC于点E. B D (1)∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数： (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明. 第7页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级署假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 【变式训练2】(25-26八年级上·全国·期末)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处， 且BA′平分∠ABC,CA'平分∠ACB,若∠BA′C=115,∠1=45°，则∠2的度数为 H 考点四三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】(24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测)如图，△ABC中，∠A=20°，沿BE将此三角形 折叠，又沿BA'再一次折叠，点C落在BE上的C'处，此时∠C'DB=74°，则原三角形的∠C的度数为 【变式训练1】(24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=70°， D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A'处，则∠A'的度数为_一一一： 当A'E∥BC时，则∠ADE的度数为 ---2…A 【变式训练2】(25-26八年级上·河南新乡·期末)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°.第一步，在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A 处，如图2；第二步，将纸片沿CA折叠，点D落在D处，如图3.当点D恰好落在原直角三角形纸片的边上 时，∠ACD的度数为 第8页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 图1 图2 图3 考点五三角形内角和定理的应用 【典例精讲】(2026八年级下·山东青岛·专题练习)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交 于点O,过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD1BC于D,下列四个结论其中正确的是( ①∠A0B=90°+2∠C: ②AE+BF=EF: ③当∠C=90时，E,F分别是AC,BC的中点： ④若OD=a,CE+CF=2b,则S△cBF=ab. A.①② B.①②④ C.③④ D.①③④ 【变式训练1】(25-26八年级上·安徽阜阳·期末)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB 于点E,在AE上取点F,连接DF,使∠ACD=∠D. E B (1)求证：DF II BC; (2)当∠A=38°，∠DFE=36时，求∠ACE的度数. 第9页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式川练2】已知AM∥CN,点B为平面内一点，AB1BC于B. D M 图1 图2 图3 (1)如图1，判断∠A和∠C之间的数量关系并说明理由： (2)如图2，过点B作BD 1 AM于点D,求证：∠ABD=∠C; (3)如图3，在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF,且BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, 若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE,直接写出∠EBC的度数. 考点六直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】(25-26八年级下·江西九江·期中)《周礼考工记》中记载有：“半矩谓之宣(xuan),一 宜有半谓之橘(h0”意思是：“直角的一半的角叫做宜，一宜半的角叫做欘”·即：1宜=矩，1橘=1 宣（其中，1矩=90），问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意 图，若∠A=1矩，∠C=宜，则∠B的度数为( 图(1) 图(2) A.22.5° B.67.5° C.30° D.45° 第10页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练1】(25-26八年级上·安徽安庆·期中)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角 的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B= 40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”· D D 图1 图2 (1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B),∠ACB=90°. ①求∠A、∠B的度数. ②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A,B重合），连接CD,若△ACD 是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数. 第11页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 【变式训练2】(2025七年级下·全国·专题练习)定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另 一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A=70°， ∠B=35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”. D B 图① 图② (1)如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D是线段AB上一点（不与点A,B重合），连接CD. ①△ABC一一（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若CD1AB,请判断△BCD是否为“和谐三角形”，并说明理由. (2)如图②，△ABC中，∠ACB=60°，∠A=80°，D是线段AB上一点（不与点A,B重合），连接CD.若 △ACD是“和谐三角形”，则∠ACD的度数为」 第12页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 考点七锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】(25-26八年级上广西崇左阶段检测)(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB, 垂足为D,∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ D B 6 图① 图② 图③ (2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC,AB上，且∠ADE=∠B,判断△ADE的形状 是什么？为什么？ (3)如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，AB1BD,点C,B,E在同一直线上， ∠A与∠D有什么关系？为什么？ 【变式训川练1】(24-25八年级上·浙江金华·期中)同一平面内有A,B,C三点，A,B两点之间的距离 为5cm,点C到直线AB的距离为2cm,且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有() A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 【变式训川练2】(25-26八年级上·云南昆明·期末)下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( ) A.A+∠B=90 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A+∠B=∠C 第13页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 考点八三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】(24-25七年级下·山西临汾·期末)综合与探究 【感知】如图1，在△ABC中，BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， 【应用】 图1 图2 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC=_;若∠BAC=70°，则∠BPC=-: (2)求∠BPC与∠A之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形ABCD中，BP,CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A十∠D的数量关系. 【变式训练1】(25-26八年级下·河北保定·期中)如图，在△ABC中，∠A=80°. B 图1 图2 (1)如图1，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠P的度数： (2)如图2，BQ平分∠ABC,CQ平分外角∠ACD,求∠Q的度数. 第14页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练2】(24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测)我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和 法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角.如图1，A0为入射光线， 入射点为O.ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射 角∠AON. A B 77777777777777777717 M 图1 图2 图3 根据以上材料完成下面问题： (1)如图2，一束光线沿CD方向射入，先后经过平面镜AB反射后，沿DE方向射出，AO1MN,法线DF交MN 于点F.交AO的延长线于点H,试探究∠DFC与∠DAH之间的数量关系并加以证明： (2)如图3，入射光线CD经过平面镜AB和MO处的平面镜两次反射后，得到反射光线EG.入射光线CD和反射 光线EG的反向延长线交于点P ①若∠BA0=64°，反射光线EG与AB平行，此时∠BDC为多少度. ②若∠DCE>∠DEC,平面镜AB绕点D旋转，是否存在一个定值k,使得∠DCE-∠DEC=k∠OHF总是成 立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由 第15页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 真题汇编能力强化 【基础通关能力提升】 1.(25-26八年级下·陕西咸阳·期中)如图，在△ABC中，延长BC至点D,若∠ACD=120°，∠B=20°， 则∠A的度数是( B D A.100° B.90° C.80° D.30 2.(25-26八年级下·福建三明·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=10°，则∠A的度数为 ) A.40° B.50° C.60° D.80 3.(25-26八年级下·广东河源·阶段检测)如图，∠DAC是△ABC的一个外角，∠B=48°，∠C=27°， 则∠DAC的度数是( D A 48° 27° B A.27° B.48° C.75 D.105° 4.(25-26八年级下·陕西西安·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD1BC于点D,BE平分∠ABC, 交AC于点E.若∠BAD=40°，则∠AEB的度数为() B D A.50° B.55 C.60° D.65 5.(25-26八年级下·河南郑州·阶段检测)如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD.则∠1，∠2， ∠3的大小关系是一一 第16页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) A人3 D 6.(25-26八年级下·福建厦门·期中)五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设 计中.如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠A,∠B,∠C,∠D, ∠E)的度数必须相等.设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为 D 7.(2O26·山东济南·一模)如图，AB‖CD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,∠EFD的平分线与AB 交于点G,过点G作GH1EF于点H,∠1=20°，则∠2=_度. H G D 8.(25-26八年级下·陕西宝鸡·期中)如图，在△ABC中，∠B=40°，AE是∠BAC的平分线，外角∠ACD= 110°，求∠AEC的度数. E CD 9.(25-26八年级下·山西运城·阶段检测)如图，在△ABC中，∠A=90°，D,E分别是AB,AC上的点， 己知∠ADE+∠C=90°. D B 第17页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假街接金牌培优讲义（新课衔接） (1)试说明DE∥BC (2)若EF平分∠DEC,∠B=56°，求∠EFC的度数. 10.(25-26八年级下·甘肃兰州·期中)【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19 题部分内容。 D B 图1 图2 图3 图4 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在△ABC中，∠A=60°，BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB,∠BDC的度数是_。 (2)己知：如图2，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACE,试判断∠A和∠E的数量关系，并说明 理由 (3)如图3，BF平分外角∠CBP,CF平分外角∠BCQ,若设∠A=a,则∠F=_·(用含a的式子表示) 【拓展与应用】 (4)如图4，BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，则∠BIC=_· 第18页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 【思维拓展拔尖训练】 1.(25-26八年级下·辽宁抚顺·期中)下列条件能判定△ABC是直角三角形的是( A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.AB=1,BC=2,AC=3 C.AB=1,BC=2,AC=5 D.∠A+∠B=∠C 2.(25-26八年级下·辽宁锦州·期中)等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为() A.70° B.50或70° C.40° D.50°或80 3.（25-26八年级下·河北保定·期中)如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点 F在CA的延长线上，FH垂直于BE,交BD于点G,交BC于点H.下列结论： ①∠DBE=∠F: ②2∠BEF=∠BAF+∠C: ③∠FEG=∠ABE+∠C; 其中正确的有() /1 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(25-26八年级下·宁夏银川·期中)如图在△ABC中点DE分别在边AB和AC上DE II BC点F是BC延长 线上的一点若∠A=50°，∠ADE=72°，则∠ACF=°. B F 5.(25-26八年级下·甘肃白银·期中)如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点 A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,···;依此规律得∠A2o26,则∠A2026=-一一 第19页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) D 6.(24-25七年级下·山东泰安·期末)共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车 放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB,CD都与地面l平行，∠BCD=72°，∠BAC=38°，AM∥CB, 则∠MAC的度数为°. M 图① 图② 7.(25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE1AC,垂足 为E,∠BAC=50°，求∠ADE的度数. B D 第20页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 8.(25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测)著名哲学家泰勒斯(Th ales,公元前6世纪)最早从拼图实 践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明.之 后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明 (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理.请你根据欧几里得 的思想写出证明过程： E (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在△ABC的边BC上任取一点E,过点E作DEⅡAC 交AB于点D,作EF∥AB交AC于点F.求证：∠A+∠B+∠C=180°. D 了3 9.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED, AE与BC相交于点F. (1)填空：∠AFC= (2)求∠EDF的度数. 第21页共22页 2026-2027学年人教版数学七升八年级署假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 10.（25-26八年级下·山西晋中·期中)综合实践 在学习第一章《问题解决策略：反思》时，我们发现适当改变题目的条件，可以得到不同的结论.小 华受其启发，研究了三角形任意两个内角角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系，以下是他的“思考 与反思”，请你帮他完成. D D B B B ① ② ③ 【经典回顾】 (1)如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB ①若∠ABC=70°，∠ACB=60°，则∠BOC= ②用含有∠A的式子表示∠BOC= 【典例微拓】 (2)如图②，在△ABC中，在边AB、AC上任取点D、E,得到了四边形BDEC,思考四边形任意两个内角角平 分线的夹角与另两个角之间的数量关系，不妨设∠DEC=m°，∠C=n°，BO、DO分别平分四边形BDEC 的内角∠ABC、∠BDE, ①若m=120,n=80,求∠B0D的度数； ②用含m、n的式子直接表示∠B0D的度数为 【深入反思】 (3)如图③，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,射线CO与∠ADE的平分线所在的直线相交于点H(不与点D 重合)，直接写出点H在不同位置时，∠DHC与∠B0C之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）· 第22页共22页2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 八年级/上册（新教材） 初中数学 第三讲 三角形的内角与外角 思维导图+新知学习+八大考点讲练+优选题难度分层练 （共44题） 【解析版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 分层训练 思维导图 新知学习 真题通关 查漏补缺 重点难点 优选题型 教材点拨 技巧分析 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点一 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【思路引导】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【规范解答】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【答案】D 【思路引导】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【规范解答】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】(1)见解析 (2)从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度 【思路引导】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以及三角形内角和是是正确解答的关键． （1）过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； （2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：过点P作，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∵C岛在B岛的北偏西方向， ∴， ∴， ∵B岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ； 答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度． 考点二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【答案】各方法证明见解析 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键． 对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出． 【规范解答】证明： 对于①，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于②，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于③：作， 则， ， ， ， 【变式训练1】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义，可得，由，得到，结合，推出，即可判断①②③，过点N作，由可得，根据，，推出，再根据角平分线的定义，得到，即可判断④． 【规范解答】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 【变式训练2】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将线段平移得到线段（点A、B的对应点分别是C、D），若点（，且），连接、， (1)点D的坐标为 （用含m的式子表示） (2)探究，，之间的数量关系 (3)若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求m的值． 【答案】(1) (2)， (3)或 【思路引导】（1）根据题意可得将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点D，即可求解； （2）由题意可得点C、D分别在直线、的直线上，分类讨论：当线段在的左侧时，如图，延长交直线于点F；当线段在的右侧，且在点E左侧，如图；延长交的延长线于点G；当线段在的右侧，且在点E右侧时，如图，过点E作交直线于点M，根据平行线的性质和等量代换即可求解； （3）过点A作的延长线于点N，连接，求得，进而求得，即，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点D， ∴，即， 故答案为：； （2）解：∵，，可得点C、D分别在直线、的直线上， 当线段在的左侧时，如图，延长交直线于点F， 由题意得，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； 当线段在的右侧，且在点E左侧，如图；延长交的延长线于点G， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当线段在的右侧，且在点E右侧时，如图，过点E作交直线于点M， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴， 即； 综上所述，，； （3）解：如图，过点A作的延长线于点N，连接， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴或， ∴或． 【考点剖析】本题考查坐标与图形−平移变化、平行线的性质、绝对值的性质、三角形内角和定理、解一元一次方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点． (1)若，若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查三角形内角和、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答； （1）根据，，可以得到和的度数，然后根据三角形内角和，即可求得的度数； （2）根据的度数，可以求得的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出的度数． 【规范解答】（1）解：，，，分别是，的平分线， ，， ； （2）解：， ， ，分别是，的平分线， ， ． 【变式训练1】如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． (1)，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【规范解答】（1）解 ，， ， 平分， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为________． 【答案】/50度 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 先求出，在中可求得，由翻折的性质可得，接下来根据两个平角和为及的度数即可求出． 【规范解答】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 由翻折可得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 考点四 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【规范解答】解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为______；当时，则的度数为_________． 【答案】 /度 或 【思路引导】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 当时，，分两种情况考虑，根据翻折可得或，再根据三角形内角和定理，即可解决问题． 【规范解答】解：由折叠可知，， 当点在上方时，如图所示，    ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴． 当点在下方时，如图所示， ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴．   故答案为：；或． 【变式训练2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【思路引导】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【规范解答】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 考点五 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（    ） ①；        ②； ③当时，分别是的中点；    ④若，，则． A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④． 【规范解答】解：和的平分线相交于点， ， ，①正确； ， ， 又， ， ， 同理，， ，②正确； 当时，， 不是的中点，③错误； 连接，作于，如图所示： 和的平分线相交于点， 平分， ， ， ，④正确． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线定义可得，从而有，然后通过平行线的判定方法即可求证； （）由平行线的性质可得，再通过三角形内角和定理求出，最后由角平分线定义即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 【变式训练2】已知，点为平面内一点，于． (1)如图1，判断和之间的数量关系并说明理由； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，且平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据平行线的性质可得，根据直角三角形的性质可得，等量代换可得答案； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可证得； （3）过点B作，根据角平分线的定义证明，设，，根据三角形内角和定理求出，再根据，得到，求出，继而根据进行计算． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图1，与的交点为O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由得， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点六 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级下·江西九江·期中）《周礼考工记》中记载有：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘”意思是：“直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘”．即：宣矩，1欘宣（其中，矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，宣，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意求出宣的度数，进而得到和的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【规范解答】解：矩，1宣矩， 宣， 矩，宣， ，， 在中，， ． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【规范解答】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【思路引导】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【规范解答】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 考点七 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【思路引导】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【规范解答】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了直角三角形的定义、分类讨论思想等知识点，根据题意画出图形是解题的关键． 分为斜边和直角边两种情况分别画出所有可能的直角三角形即可解答． 【规范解答】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有4个， 如图： ②为直角边，或者，满足上述条件的点C有4个， 如图： 综上，满足上述条件的点C有8个． 故选C． 【变式训练2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【规范解答】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 考点八 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【规范解答】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 【变式训练1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为入射光线，入射点为．为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． 根据以上材料完成下面问题： (1)如图2，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜反射后，沿方向射出，，法线交于点．交的延长线于点，试探究与之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，入射光线经过平面镜和处的平面镜两次反射后，得到反射光线．入射光线和反射光线的反向延长线交于点． ①若，反射光线与平行，此时为多少度． ②若，平面镜绕点旋转，是否存在一个定值，使得总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②2，理由见解析 【思路引导】（1）根据同角的余角相等以及对顶角相等证明； （2）①根据直角三角形的性质，平行线的性质，得出角的关系，利用角的和差以及三角形的外角定理进行求解； ②根据三角形的外角定理以及内角和定理，直角三角形的性质进行求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 根据题意得，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得， ∴； ②，理由如下： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【考点剖析】注意角的和差，三角形内角和定理，三角形外角定理，直角三角形的性质，平行线的性质的灵活应用． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，延长至点D，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：， ， ，， ， 故选：A． 2．（25-26八年级下·福建三明·期中）在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 3．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：∵是的一个外角，，， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 5．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 【答案】（或） 【思路引导】根据三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：在中，是外角， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （或）． 6．（25-26八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 【答案】 /36度 【思路引导】设，利用三角形外角的性质将转化到与所在的三角形中，构建关于的一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设， 设与的交点为F，与的交点为G，如图所示， 则，， 在中，由三角形内角和定理得， 即，解得， 那么这个角的度数应为． 7．（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【答案】50 【思路引导】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 【规范解答】解：平分， ． ， ． ， ． 8．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【答案】 【思路引导】先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，，D，E分别是上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：在中，， ， ， ， ； (2) 【思路引导】（1）根据直角三角形性质得，再根据得，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先求出，再根据（1）的结论得，然后根据角平分线的定义即可得出的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：，， 由（1）可知：， ，， ， 平分， ． ∴． 10．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【思路引导】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）下列条件能判定是直角三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D． 【答案】D 【思路引导】先判断能否构成三角形，再判定是否为直角三角形即可． 【规范解答】解：对于A选项，∵ ，， ∴ 最大角， ∴ 不是直角三角形，此选项不符合题意． 对于B选项，∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，此选项不符合题意． 对于C选项，∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，此选项不符合题意． 对于D选项，∵ ，， ∴ ，得， ∴ 是直角三角形，此选项符合题意． 2．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路引导】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 【规范解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ①当为顶角时， 其他两角都为； ②当为底角时， 其他两角为， 所以等腰三角形的底角可以是，也可以是． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【规范解答】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 4．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图在中点DE分别在边AB和AC上点是BC延长线上的一点若，则_______°． 【答案】 【思路引导】根据平行线的性质求出 的度数再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【规范解答】解：， ， 是 的外角， ， ， ． 5．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 【答案】 【思路引导】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【规范解答】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ∴. ∴． 6．（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 【答案】 【思路引导】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【答案】 【思路引导】根据角平分线的定义求出的度数，垂直得到的度数，进而求出的度数即可． 【规范解答】解：∵是的平分线，，， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 9．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，再根据沿折叠得到，得出，最后根据，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：沿折叠得到， ， ， ； （2）解：，， ∴． 沿折叠得到， ， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合实践 在学习第一章《问题解决策略：反思》时，我们发现适当改变题目的条件，可以得到不同的结论．小华受其启发，研究了三角形任意两个内角角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系，以下是他的“思考与反思”，请你帮他完成． 【经典回顾】 (1)如图①，在中，、分别平分和． ①若，，则__________； ②用含有的式子表示__________． 【典例微拓】 (2)如图②，在中，在边、上任取点D、E，得到了四边形，思考四边形任意两个内角角平分线的夹角与另两个角之间的数量关系，不妨设，，、分别平分四边形的内角． ①若，，求的度数； ②用含m、n的式子直接表示的度数为__________． 【深入反思】 (3)如图③，、分别平分，射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合），直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)当点H在内时，．当点H在外时， 【思路引导】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （2）根据（1）的模型代入计算即可求解； （3）根据题意分类讨论，当点H在内时，当点H在外时，分别根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵，，、分别平分和， ∴，， ∴； ②∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①如图，延长，交于点F， 由（1）可知，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵，， ， ∴． （3）解：当点H在内时，， 如图，设，交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点H在外时，， 如图，设交于点G， ∴ ， ∵， ∴． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 八年级/上册（新教材） 初中数学 第三讲 三角形的内角与外角 思维导图+新知学习+八大考点讲练+优选题难度分层练 （共44题） 【原卷版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 分层训练 思维导图 新知学习 真题通关 查漏补缺 重点难点 优选题型 教材点拨 技巧分析 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点一 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【变式训练2】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 考点二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【变式训练1】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将线段平移得到线段（点A、B的对应点分别是C、D），若点（，且），连接、， (1)点D的坐标为 （用含m的式子表示） (2)探究，，之间的数量关系 (3)若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求m的值． 考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点． (1)若，若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练1】如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． (1)，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为________． 考点四 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为______；当时，则的度数为_________． 【变式训练2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 考点五 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（    ） ①；        ②； ③当时，分别是的中点；    ④若，，则． A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【变式训练2】已知，点为平面内一点，于． (1)如图1，判断和之间的数量关系并说明理由； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，且平分，平分，若，，直接写出的度数． 考点六 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级下·江西九江·期中）《周礼考工记》中记载有：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘”意思是：“直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘”．即：宣矩，1欘宣（其中，矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，宣，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 考点七 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式训练2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 考点八 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【变式训练1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为入射光线，入射点为．为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． 根据以上材料完成下面问题： (1)如图2，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜反射后，沿方向射出，，法线交于点．交的延长线于点，试探究与之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，入射光线经过平面镜和处的平面镜两次反射后，得到反射光线．入射光线和反射光线的反向延长线交于点． ①若，反射光线与平行，此时为多少度． ②若，平面镜绕点旋转，是否存在一个定值，使得总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，延长至点D，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建三明·期中）在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 6．（25-26八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 7．（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 8．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 9．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，，D，E分别是上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 10．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）下列条件能判定是直角三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D． 2．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（   ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图在中点DE分别在边AB和AC上点是BC延长线上的一点若，则_______°． 5．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 6．（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 9．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 10．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合实践 在学习第一章《问题解决策略：反思》时，我们发现适当改变题目的条件，可以得到不同的结论．小华受其启发，研究了三角形任意两个内角角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系，以下是他的“思考与反思”，请你帮他完成． 【经典回顾】 (1)如图①，在中，、分别平分和． ①若，，则__________； ②用含有的式子表示__________． 【典例微拓】 (2)如图②，在中，在边、上任取点D、E，得到了四边形，思考四边形任意两个内角角平分线的夹角与另两个角之间的数量关系，不妨设，，、分别平分四边形的内角． ①若，，求的度数； ②用含m、n的式子直接表示的度数为__________． 【深入反思】 (3)如图③，、分别平分，射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合），直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull