14.3角的平分线7题型4重难（培优讲义）新八年级数学新教材人教版

14.3 角的平分线（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 3 题型1 角的平分线尺规作图 3 题型2 利用角平分线的性质解决求线段长 5 题型3 利用角平分线的性质解决最值问题 6 题型4 利用角平分线的性质解求周长问题 8 题型5利用角平分线的性质解决面积问题 9 题型6角的平分线的判定的应用 10 题型7角的平分线的性质的实际应用 11 释疑惑·重难拓展 13 题型1 利用角平分线的性质证明 13 题型2 利用角平分线的判定证明 14 题型3 角的平分线的性质与判定的综合应用 16 题型4 与角的平分线有关的探究题 17 知中考·真题探源 20 练好题·提分培优 24 课标要点 ·1.能用尺规完成基本作图：作一个角的平分线，并能说明作图依据。 ·2.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.探索并证明角平分线的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ·4.能运用角平分线的性质定理和判定定理进行几何证明与简单计算，发展推理能力与几何直观素养。 析知识·讲要点 知识点01 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 知识点02 角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 知识点03 证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 知识点04 角的平分线的判定 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 剖题型·讲技巧 题型1 角的平分线尺规作图 方法技巧 用尺规作已知角的平分线的步骤： （1）以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点； （3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 1．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 2．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，   则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北石家庄·二模）如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 4．（2026·河南三门峡·三模）如图，在锐角中，为边上的高． (1)仅用无刻度的直尺与圆规，作的平分线交于点E，交于点F；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 题型2 利用角平分线的性质解决求线段长 方法技巧 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 2．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 5．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图中，，平分交于，点在的延长线上，满足，若，，则线段的长为___________． 题型3 利用角平分线的性质解决最值问题 方法技巧 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以得到角平分线上的点到角两边距离的最小值. 1．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，点为的平分线上的一点，于点，，，为射线上的一个动点，则线段长的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．不能确定 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，平分，于点A，点D是射线上的一个动点，若，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．无法确定 4．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 题型4 利用角平分线的性质解求周长问题 方法技巧 求三角形的周长中，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量代换． 1．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 3．如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 题型5利用角平分线的性质解决面积问题 方法技巧 解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决. 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，的周长是20，分别平分和于点，且3，则的面积是（   ） A．30 B．25 C．60 D．40 3．（24-25八年级下·安徽·期末）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 5．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 题型6角的平分线的判定的应用 方法技巧 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在和中，，，，．连接、交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分其中正确的有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 题型7角的平分线的性质的实际应用 方法技巧 角平分线的实际应用主要用到了到角平分线的性质和判定，同时要注意到三角形三边距离相等和到三角形三边所在直线的距离相等不同，到三角形三边距离相等的点只有1个，而到三角形三边所在直线距离相等的点有4个. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 2．（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 3．如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用角平分线的性质证明 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 2．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，是的平分线，．求证：． 3．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 题型2 利用角平分线的判定证明 1．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 4．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 题型3 角的平分线的性质与判定的综合应用 1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 题型4 与角的平分线有关的探究题 1．在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 2．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角． ①直接写出与的数量关系___________； ②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角． 3．在中，，线段、分别平分、交于点G．        (1)如图1，求的度数； (2)如图2，求证：； (3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长． 知中考·真题探源 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为_____． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 8．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 9．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 练好题·提分培优 1．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是的高，是的边上的中线，是的角平分线．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．30 C．36 D．42 4．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图所示，在中，，于点D，E是上一点，于点F．若，则的度数为______． 6．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，，点E为上一点，连接交于点F，若，且的面积比的面积大3，则四边形的面积为________． 7．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则______． 8．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 11．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 12．（25-26八年级上·江西宜春·期末）课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 13.（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H． 求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 3 题型1 角的平分线尺规作图 3 题型2 利用角平分线的性质解决求线段长 6 题型3 利用角平分线的性质解决最值问题 10 题型4 利用角平分线的性质解求周长问题 13 题型5利用角平分线的性质解决面积问题 16 题型6角的平分线的判定的应用 20 题型7角的平分线的性质的实际应用 23 释疑惑·重难拓展 27 题型1 利用角平分线的性质证明 27 题型2 利用角平分线的判定证明 30 题型3 角的平分线的性质与判定的综合应用 33 题型4 与角的平分线有关的探究题 38 知中考·真题探源 47 练好题·提分培优 56 课标要点 ·1.能用尺规完成基本作图：作一个角的平分线，并能说明作图依据。 ·2.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.探索并证明角平分线的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ·4.能运用角平分线的性质定理和判定定理进行几何证明与简单计算，发展推理能力与几何直观素养。 析知识·讲要点 知识点01 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 知识点02 角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 知识点03 证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 知识点04 角的平分线的判定 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 剖题型·讲技巧 题型1 角的平分线尺规作图 方法技巧 用尺规作已知角的平分线的步骤： （1）以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点； （3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 1．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 2．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，   则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 3．（2026·河北石家庄·二模）如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 【答案】 【详解】解：，， ， 由作图痕迹，可知平分， ， ． 4．（2026·河南三门峡·三模）如图，在锐角中，为边上的高． (1)仅用无刻度的直尺与圆规，作的平分线交于点E，交于点F；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 【答案】(1)如图即为所求； (2)证明：∵，为边上的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）使用直尺和圆规根据作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明得，再证明即可证明结论成立． 【详解】（1）略； （2）略． 题型2 利用角平分线的性质解决求线段长 方法技巧 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 【详解】解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 5．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图中，，平分交于，点在的延长线上，满足，若，，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】过点作，证明，根据全等三角形的性质可知，根据四边形内角和定理可知，又因为，根据等角的补角相等可证，证明，根据全等三角形的性质可证，可得，再根据可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分交于，， ， 在和中，， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 题型3 利用角平分线的性质解决最值问题 方法技巧 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以得到角平分线上的点到角两边距离的最小值. 1．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，点为的平分线上的一点，于点，，，为射线上的一个动点，则线段长的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质，找到点到的最短距离，进而确定的最小值． 【详解】解：过点作于， ∵点在的平分线上，过点作于，，， ∴．即当与重合时，线段长的最小值为． 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，平分，于点A，点D是射线上的一个动点，若，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 过P点作于B，先根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过P点作于B， ∵平分，，， ∴， ∴线段的最小值为3． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法可知，平分， 由垂线段最短可知，当时有最小值， ， ， 即的最小值为1， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解：过作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 题型4 利用角平分线的性质解求周长问题 方法技巧 求三角形的周长中，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量代换． 1．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用角平分线的性质证明，由全等三角形的性质得，最后由即可得解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 的周长． 【点睛】解题关键是利用角平分线的性质证明． 2．如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【答案】C 【分析】先根据角平分线的性质得到O到边AB、BC的距离都为4，再利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝36，然后整理求出AB+AC+BC的值即可． 【详解】解：∵O是△ABC三个内角平分线的交点， ∴点O到AB、BC、AC的距离相等， ∵O到边AC的距离为4， ∴O到边AB、BC的距离都为4， ∴S△ABCAB×4AC×4BC×4＝36， ∴AB+AC+BC＝18， 即△ABC的周长为18． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 3．如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 【答案】12. 【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题． 【详解】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12． 【点睛】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键． 题型5利用角平分线的性质解决面积问题 方法技巧 解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决. 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ，，， ， ． 2．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，的周长是20，分别平分和于点，且3，则的面积是（   ） A．30 B．25 C．60 D．40 【答案】A 【分析】过点O作于E，于F，连接，得出，根据求出结论即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于E，于F，连接， 分别平分和，， ， 的周长是20， ， ． 3．（24-25八年级下·安徽·期末）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积． 【详解】解：是的平分线，于， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，． ， ∴，， ， ， 在中，， 的面积为． 故选：B． 4．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 5．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 题型6角的平分线的判定的应用 方法技巧 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ， 平分，所以④正确； 而， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在和中，，，，．连接、交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分其中正确的有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①；过点分别作，，垂足分别为，，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ，即， ，， ， ，故②正确； ， 设和交于点， ， ， 即，故①正确； 过点分别作，，垂足分别为，， ， ， 平分，故③错误，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，与角平分线有关的计算，先理解题意，得出是的平分线，结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等， ∴是的平分线， ∴， 故选：B． 题型7角的平分线的性质的实际应用 方法技巧 角平分线的实际应用主要用到了到角平分线的性质和判定，同时要注意到三角形三边距离相等和到三角形三边所在直线的距离相等不同，到三角形三边距离相等的点只有1个，而到三角形三边所在直线距离相等的点有4个. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由： 两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 2．（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 3．如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    【答案】200 【分析】过作于点，根据角平分线的性质得出，再求出的长即可． 【详解】解：如图，过作于点，   ， ， ， 为的平分线，， ， ，， ， ， 此时这个人到的最短距离为， 故答案为：200． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用角平分线的性质证明 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 2．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，是的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【分析】作于点，于点，则，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，作于点，于点，则， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 3．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明： 平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可； （2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴． 题型2 利用角平分线的判定证明 1．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【详解】略 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 4．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 题型3 角的平分线的性质与判定的综合应用 1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接，根据已知得出平分，根据平行线的性质，以及等角对等边得出，同理得出，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和分别是的外角和的平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到的距离为4， ∴的面积为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴平分．即：， 同理可得：， 又∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选为：C． 3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 【答案】18 【分析】如图，延长到F，首先得到平分，然后证明出平分，可得，由三角形外角的性质，可得，，继而求得答案． 【详解】解：如图，延长到F， ∵在中，，， ∴，， ∴ ∴平分， 又∵的平分线交边于点E， ∴点E到边，，的距离相等， ∴点E在的平分线上，即平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴得： ∴ ． 故答案为：18． 【点睛】考查三角形外角的性质以及角平分线的性质和判定定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 题型4 与角的平分线有关的探究题 1．在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）1 【分析】（1）证明，可得结论． （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：如图2中，过点作于． ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角． ①直接写出与的数量关系___________； ②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，即、可得出；②过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，运用角平分线的性质及判定定理可证，由，可得； （2）过作交于点，过作交延长线于点，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可． 【详解】（1）解：①∵平分，即， ∴． ∵平分，即， ∴． 又∵， ∴． ②猜想：，理由如下： 如图2，过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴． （2）证明：如图3，过作交于点，过作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴，即平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴是中的遥望角． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，熟练掌握角平分线判定定理及相关性质是解题的关键． 3．在中，，线段、分别平分、交于点G．        (1)如图1，求的度数； (2)如图2，求证：； (3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果； （2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴． （2）解：作平分交于点，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，于点，于点， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 知中考·真题探源 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 3．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为_____． 【答案】7 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到点到的距离等于点O到的距离，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵的两个外角的平分线，相交于点O， ∴点到的距离等于点O到的距离，且点到的距离等于点O到的距离， ∴点到的距离等于点O到的距离， ∵点O到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴的面积为； 故答案为：7． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 8．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 9．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见解析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 练好题·提分培优 1．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是的高，是的边上的中线，是的角平分线．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高线的定义结合直角三角形的两锐角互余即可判断A选项；根据角平分线的定义可判断B选项；根据中线的定义可判断C选项；根据三角形的面积公式可判断D选项． 【详解】解：，是的高，即， ， ，故A选项结论正确，不符合题意； ，是的角平分线， ，故B选项结论正确，不符合题意； 是的边上的中线， ，故C选项结论正确，不符合题意； 和有相等的高，但底边、不一定相等， 不一定等于，故D选项结论错误，符合题意． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．30 C．36 D．42 【答案】B 【分析】过点作延长线交于点，根据角平分线的性质解题即可． 【详解】解：如图，过点作延长线交于点， ∵平分， ∴， ∴ ． 4．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】添加辅助线，作，，，根据角平分线的性质以及三角形外角的性质求解的度数，再结合角平分线的性质可得，可得平分，由此求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，交的延长线于点F，作于点E，如图， ∵外角的平分线与内角的平分线交于点P， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图所示，在中，，于点D，E是上一点，于点F．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理及三角形内角和定理，根据角平分线的判定定理确定是的平分线，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后利用角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴是的角平分线， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，，点E为上一点，连接交于点F，若，且的面积比的面积大3，则四边形的面积为________． 【答案】22 【分析】根据，设，，利用角平分线性质得到，，，表示出和的面积，由的面积比的面积大3列出方程并求解，即可得出最终结果． 【详解】解：∵， ∴设，则， 如图，连接， ∵平分，， 由角平分线的性质可知，点D到和到的距离相等，设距离为h， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵的面积比的面积大3， ∴， 解得：， ∴． 7．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则______． 【答案】6 【分析】过点F分别作的垂线，交延长线于点G，交延长线于点M，交于点N．证明，根据条件求出，进而求出结论． 【详解】解：如图，过点F分别作的垂线，交延长线于点G，交延长线于点M，交于点N． ∵的角平分线与的角平分线交于点， ， ， ，，， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 【答案】 50 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得； （2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， 故答案为：50． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解； （2）证得，结合可得即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 10．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)25 【分析】（1）因为，，且为公共边，所以可利用全等三角形判定定理证明和全等，那么和相等，即可判断是的平分线． （2）因为是角平分线，，所以可利用角平分线的性质得到点到的距离；由于的面积等于和的面积之和，所以可根据三角形面积公式列出关于的方程，进而求解的长． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 由题意得 ，，又 ， ， ， 即是的平分线． （2）解：过点作于， 是的平分线，， ∴． 设， ∵ ， ∴， ∴， 解得． 即的长为． 11．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查线段中点的定义，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）作交于点，根据线段中点的定义和角平分线的性质，易证，再根据角平分线的判定即可求证； （2）利用“”，易证，，从而，，进而根据，可证． 【详解】（1）证明：如图，作交于点， 点为的中点， ， 平分，，， ， ， 又 ，即， 点在的平分线上， 即平分； （2）解：猜想：， 证明如下， 由（1）可知，， 又 ， （）， ， 同理可得，，， ， ． 12．（25-26八年级上·江西宜春·期末）课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的补角相等，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，所以，从而得证； （）过点作，，垂足分别是点，，由同角的补角相等得出，然后证明，所以，最后由角平分线的判定即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上； （2）证明：过点作，，垂足分别是点，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 13.（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H． 求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （2）设的交点为，证明，结合，，可得； （3）作于于J．证明，，可得，结合角平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵两个等腰直角三角形与， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：作于于J，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $