（预习篇）第五讲 全等三角形及其性质讲义 -2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接

null2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第五讲 全等三角形及其性质「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+三大考点讲练+优选题难度分层练 共32题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【知识要点】全等图形具有以下两个性质特征 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 知识点二 全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【知识要点】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2）如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点三 全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【知识要点】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 考点一 图形的全等 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 考点二 全等三角形的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【变式训练1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【变式训练2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 考点三 全等三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知：，，，则______°． 【变式训练3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 4．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 7．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 8．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 9．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 10．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，连结并延长交于点．若，则的度数为_____． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当____时，与全等． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知，是锐角，，，延长交于点，交于点． （1）的度数为________； （2）若，则的度数为________． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时，______（用含秒代数式表示）； ②当______秒时，与全等． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 10．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，，点B的对应点D在边上． (1)求证：平分； (2)若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第五讲 全等三角形及其性质「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+三大考点讲练+优选题难度分层练 共32题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【知识要点】全等图形具有以下两个性质特征 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 知识点二 全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【知识要点】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2）如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点三 全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【知识要点】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 考点一 图形的全等 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键． 根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 【变式训练3】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点二 全等三角形的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握其概念是做题的关键．根据全等图形的概念和图示即可得出答案． 【详解】解：图（1）中的对应边分别是：与，与，与， 对应角分别是：与，与，与； 图（2）中的对应边分别是：与，与，与，与， 对应角分别是：与，与，与，与． 【变式训练1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 考点三 全等三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 【答案】/30度 【分析】利用全等三角形对应角相等得到，再根据和三角形内角和定理求出 ． 【详解】解： ， ， ， ． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【变式训练2】（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知：，，，则______°． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出中的度数，再根据全等三角形对应角相等的性质，得到的度数． 【详解】解：在中，根据三角形内角和定理，得， 将，代入得， 因为， 所以． 【变式训练3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵A、F、B、D四点在同一直线上，，， ∴． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到,进而求出，，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①，②，继而可解． 【详解】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 故选：C． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】解： ， ，， ， ， ． 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理分别求出、、，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：，， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．根据题意可得，分别表示出的代数式，列出方程求解，即可求得t值． 【详解】解：点N从B到C的时间：，点N出发4秒后，点M开始运动，则点M到点C的时间为：， 则时，两点停止运动， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等， ∴只存在， ∴， 根据题意，得，， ∴，， ∴， 解得（符合题意）． 则当秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 8．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用全等三角形的性质得出，再根据线段的和差关系得出，即可解答；（2）根据，利用全等三角形的性质得出，再利用外角的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解： ， ． ， 即， ． 答：的长为． （2）解： ， ． ， ． 答：的度数为． 9．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 10．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由互补的定义得，由三角形内角和定理得到，再根据全等三角形的性质得； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到． 【详解】（1）解：点在同一条直线上，与互为补角， ， 在中，得， 由，得； （2）解：， ． ， ， ． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当，时，；②当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当，时，， ∴，， ∴，， 此时，不符合； ②当，时，， ∴，， 解得，， 综上所述：当a的值为1时，能使与全等． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，连结并延长交于点．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、正方形的性质、三角形外角定理以及方程思想的综合运用．掌握赵爽弦图的几何结构特征，并能通过等量关系建立方程求解角度是解题的关键．识别中间四边形为正方形，得其对角线平分内角，即，利用外角定理表示，根据得等腰三角形，，在直角三角形中利用内角和建立方程：，通过全等三角形传递角度关系： ． 【详解】解：由题意，四边形是正方形， ∵连结并延长交于点， ∴， 设， 则 又∵， ， ∵为直角三角形， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当____时，与全等． 【答案】秒或5秒或6.5秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，分点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】解：由题意得，，， 则， 由轴对称的性质可知直线l垂直平分， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴当时，与全等， 当点N沿F→C路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点N沿C→B路径运动时，， 解得，， 当点N沿B→C路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点N沿C→F路径运动时，由题意得，， 解得，， 综上所述，当秒或5秒或6.5秒时，与全等． 故答案为：秒或5秒或6.5秒 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知，是锐角，，，延长交于点，交于点． （1）的度数为________； （2）若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，由，可得：，根据三角形内角和定理可得：； 根据全等三角形的性质可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解： ， ， ， ， ， 在中，， ， ； 解： ， ， ， ， ， 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时，______（用含秒代数式表示）； ②当______秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用．分四种情况讨论，由与全等，，①当点P在上，点Q第一次从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ， 当点在上，点第一次从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， 与全等， ， ， ； 综上所述：的值为1或或． 10．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，，点B的对应点D在边上． (1)求证：平分； (2)若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的定义及三角形内角和定理． （1）根据全等三角形的性质得到相关角的关系，再结合角平分线的定义进行证明即可； （2）设，则，先根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理列出方程解出x的值，最后再利用全等三角形的性质推出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴，即平分． （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null