（预习篇）第一讲 三角形的概念【思维导图+知识卡片+新知学习+四大考点讲练+优选题难度分层练 共36题】-2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假学习衔接讲义

2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 暑假衔接 第一讲三角形的概念 思维导图+新知学习+四大考点讲练+优选题难度分层练 (共36题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 新知学习 教材点拨技巧分析 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题通关查漏补缺 初中数学 八年级/上册（新教材） 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课 知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四 大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整 体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教 师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 人教版八年级数学上册第13章《三角形》第1节《三角形的概念》 0定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 组成三角形的线段叫作三角形的边 ·点A、B、C是三角形的顶点： 一、三角形的概念 ②基本元素 相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点， ·线段AB、BC、CA是三角形的边 相邻两边所组成的角叫作三角形的内角， ·∠A、∠B、∠C是三角形的角 简称三角形的角 ·顶点法：顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，,读作“三角形ABC” ③表示方法 ·边的表示：△ABC的三边有时也用a、b、c来表示： 例如：a=BC b=AC a表示边BC,b表示边AC,c表示边AB. c=AB 不等边三角形 三边都不相等的三角形 ①按边分 三角形 等腰三角形 有两边相等的三角形 (腰相等) 等腰 三边都 三角形 的概念 等边三角形 不相等 三边都相等的三角形 △ 的三角形 等边 三角形 二、三角形的分类 锐角三角形 三个内角都是锐角的三角形（都小于90°） ②按角分 直角三角形 有一个内角是直角的三角形（等于90”） 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形（大于90°） ①有两边相等的三角形叫作等腰三角形： 剖析 可以用画图的方式表示三角形，帮助理解和记忆 ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； 温馨提示 (如右图是一个直角三角形的示意图) ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形 教材学习新知引导 知识点一三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 第2页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) B 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边 所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB,BC,CA是三角形的边；点A, B,C是三角形的顶点；∠A,∠B,∠C是三角形的角 3.表示：顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”,△ABC的三边有时也用a, b,c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB 用c表示 知识点二三角形的分类 三边都不相等的三角形 等腰 1.按边分三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的三角形类： 三边都 三角形 等边三角形 不相等 的三角 等边 形 三角形 三边都不相等的三角形 三角形 [底边和腰不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图) 优选题型考点讲练 考点一三角形的识别与有关概念 【典例精讲】(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，过A、B、C八E五个点中的任意三点画三角 形 (1)以AB为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称： 第3页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优进义（新课衔接) (2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形. 【变式训练1】(24-25七年级上·全国·暑假作业)如图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7, BC=3,三个角的度数：角B和D是直角，角A是45°，求这个四边形的面积. 3 45 【变式训练2】已知：如图，试回答下列问题： D (1)图中有 个三角形，其中直角三角形是_一一 (2)以线段AC为公共边的三角形是 (3)线段CD所在的三角形是 ,BD边所对的角是 【变式训练3】图中以AE为边的三角形共有__个. B D 考点二三角形的个数问题 【典例精讲】(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图，已知点A,B在直线m上，点C,D,E在直线n 上.以点A,B,C,DE中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为( ). A B -m CDE一n A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 第4页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练1】(25-26八年级上·山西朔州·阶段检测)如图，已知点A,B,C在直线a上，点D,E, F,G在直线b上，以点A,B,C,D,E,F,G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个 数为( DEFGb A.9个 B.30个 C.20个 D.27个 【变式训练2】(25-26八年级上新疆和田阶段检测)请同学们认真观察，图中三角形的个数为( A.5 B.6 C.7 D.8 【变式训练3】(25-26八年级上·全国·课后作业)如图，点D1,D2,,Dn都在△ABC的BC边上. B D B D Dz C BD1D2D。C 图① 图② 图③ (1)如图①，当BC边上只有点D1时，共有 个三角形. (2)如图②，当BC边上有点D,D2时，共有个三角形. (3)如图③，当BC边上有点D1,D2,,Dn时，共_有个三角形. 考点三三角形的分类 【典例精讲】(23-24七年级下·河北秦皇岛·期末)如图，∠ABM是锐角，点C从点B出发沿BM方向 运动，连结AC.关于△ABC的形状变化情况，下列说法正确的是() M 第5页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) A.钝角三角形一锐角三角形一钝角三角形 B.钝角三角形→直角三角形一钝角三角形 C.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D.以上说法都不对 【变式训练1】(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，根据图形填空. D E (1)以BD为边的三角形是 (2)△AED的三个内角是 其中∠ADE的对边是 (3)以∠C为一个内角的三角形是 (4)图中共有 个三角形 【变式训练2】(24-25八年级上·四川达州·期中)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b,c, 满足√a-3+|b-4+c2-6c+9=0,试判断△ABC的形状. 【变式训练3】(24-25七年级上·山东聊城·开学考试)同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封 遮住的( 口口口口口口 A.只能是锐角三角形 B.只能是直角三角形 C.只能是钝角三角形 第6页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) D.可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 考点四等腰三角形的定义 【典例精讲】(25-26八年级上·广西南宁·期中)如图，在平面直角坐标系，点A的坐标为(1,1)，在x 轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数是() VA A.3 B.4 C.5 D.6 【变式训练1】(23-24八年级上·广东汕头·期中)如图，已知Rt△0AB,∠0AB=50°，∠A0B=90°， O点与坐标系原点重合，若点P在坐标轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有()个. B A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【变式训练2】(24-25八年级上·云南文山·阶段检测)已知a,b,c分别为△ABC的三边长，b,c满 足(b-2)2+|c-3引=0，且a为方程2a-1=5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由 【变式训练3】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,PQ是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B-C→A 方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒. P《 备用图 第7页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接)】 (1)BP= (用t的代数式表示). (2)当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形. (3)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底的等腰三角形？ 真题汇编能力强化 【基础通关能力提升】 1.在平面直角坐标系中，有点D(0,3)、E(0,-2)、F(6,-2),则△DEF是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2.(25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测)如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示() 等边三角形 不等边 三角形 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.(25-26八年级上·河北邯郸·期末)在△DEF中，DE边的对角是() A.DF B.∠D C.∠E D.∠F 4.已知a,c是△ABC的两边，且满足a2一c2=0,则△ABC的形状一定是 5.(25-26八年级上·浙江舟山·期末)三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是一一一· (锐角三角形 三角形 ? (钝角三角形 6.(25-26八年级上·北京·期中)定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的 “优美比”.例如一个等腰三角形的腰长为2cm,底边长为3cm,则这个等腰三角形的“优美比”k为若 等腰三角形△ABC的周长为13cm,AB=5cm,则它的“优美比”为. 7.(25-26八年级上·河南商丘·期中)如图，在△ABC中，AE1BC,点E是垂足，点D是边BC上的一点， 连接AD. 第8页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) D E (1)写出△ABE的三个内角： (2)在△ABD中，∠B的对边是 :在△ABC中，∠B的对边是 (3)图中共有 个三角形，∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 8.(25-26八年级上·云南曲靖·期中)如图，过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形. A。-+-E A-+-E -+-+-D -+-+-D BC' 备用图 (1)其中以BC为一边可以画一个三角形： (2)其中以A为顶点可以画个三角形， 9.(25-26八年级上·吉林长春·阶段检测)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3,AD=BC=4,点P 以每秒3个单位长度的速度从点A出发，沿A→B→C运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点D出发， 沿D→A运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒， B P ← 图1 图2 图3 (1)用含t的代数式表示BP的长： (2)点P在BC上运动，当PQ的中点落在AC上时，求t的值： (3)当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，求t的值（两个答案即可）； (④作点P关于点B的中心对称点P'，当56gP=S2QAB时，直接写出t的值. 第9页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优进义（新课衔接) 10.（25-26八年级上·福建三明·期中)如图，方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度，A,B均为 格点， B (1)在图中建立直角坐标系，使点A,B的坐标分别为(3,3)和(-1,0)： (2)在(1)中x轴正半轴上存在点C,使△ABC为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标. 【思维拓展拔尖训川练】 1.李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中∠B=90°，AB=BC=0.5m, 将储物柜△ABC沿着墙向右平移到△DEF的位置，己知BE=1m,则储物柜扫过的区域（四边形ABFD)的 面积是( B A D A.0.25m2 B.0.5m2 C.0.625m2 D.0.75m2 2.(25-26八年级下·辽宁沈阳·期中)己知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角 形顶角度数为( A.759 B.90° C.105°或75 D.120°或20° 3.(25-26八年级上·浙江湖州·期中)等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和 谐比”，若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为() A B.名 c.好 D.或 4.(25-26八年级上·吉林通化·期中)定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形 的“优美比”.若等腰三角形的周长为16cm,其中一边长为6cm,则它的“优美比”为 5.(25-26八年级上·广东江门·阶段检测)如果依次用a1,a2,a3,a4分别表示图3中(1)、(2)、(3)、(4) 内三角形的个数，那么a1=3,a2=8,a3=15,an= 第10页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接)】 (1) (2) (3) (4) 6.(25-26八年级上·安徽芜湖·期中)一个等腰三角形的周长是25cm,腰长是底边长的2倍，求等腰 三角形三边的长 7.(25-26八年级上·湖北咸宁·期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,动点P从A出 发沿AC以每秒2个单位向C运动，动点D从C出发沿CB以每秒1个单位向B运动，P、D同时出发，设运动时 间为t秒 (1)用含t的式子表示PC、CD: (2)当t为何值时，△PCD为等腰直角三角形？ 8.(25-26八年级上·广东广州·期中)如图，在AB为其中一边， E◆ A B (1)在图中过AB、CD、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是 (2)属于等腰三角形的是一一一 第11页共12页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 9.(23-24八年级上重庆万州阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm, 动点P从点C开始出发，沿CA一AB一BC的路径运动，且速度为每秒2cm,设运动的时间为t秒. B B C AZ 备用图 (1)填空：当0≤t<4时，AP=_cm(用含t的式子表示)； (2)经过几秒，△APB的面积等于15cm2? (3)直接写出当t为何值时，△BPC是以PC或BC为底边的等腰三角形？ 第12页共12页2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 八年级/上册（新教材） 初中数学 思维导图+新知学习+四大考点讲练+优选题难度分层练 （共36题） 【原卷版】 第一讲 三角形的概念 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 分层训练 思维导图 新知学习 真题通关 查漏补缺 重点难点 优选题型 教材点拨 技巧分析 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 考点一 三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·暑假作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【变式训练2】已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______． （2）以线段为公共边的三角形是___________． （3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________． 【变式训练3】图中以为边的三角形共有______个． 考点二 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式训练1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【变式训练2】（25-26八年级上·新疆和田·阶段检测）请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 考点三 三角形的分类 【典例精讲】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 【变式训练2】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【变式训练3】（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 考点四 等腰三角形的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，已知，，，点与坐标系原点重合，若点在坐标轴上，且是等腰三角形，则点的坐标可能有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练2】（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）已知a，b，c分别为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，请先判断的形状，再说明理由 【变式训练3】如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【基础通关能力提升】 1．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 4．已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 5．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 6．（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 7．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 8．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 9．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 10．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【思维拓展拔尖训练】 1．李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 4．（25-26八年级上·吉林通化·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 5．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 6．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的2倍，求等腰三角形三边的长． 7．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 9．（23-24八年级上·重庆万州·阶段检测）如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 八年级/上册（新教材） 初中数学 思维导图+新知学习+四大考点讲练+优选题难度分层练 （共36题） 【解析版】 第一讲 三角形的概念 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 分层训练 思维导图 新知学习 真题通关 查漏补缺 重点难点 优选题型 教材点拨 技巧分析 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 考点一 三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【思路引导】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【规范解答】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·暑假作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【答案】20 【思路引导】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键． 【规范解答】解：延长交于点E ∵A是，角D是， ∴角E是，如图所示： ， ∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形， 则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差， 即， 答：四边形的面积20． 【变式训练2】已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______． （2）以线段为公共边的三角形是___________． （3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________． 【答案】 6 ，， ，， 【思路引导】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【规范解答】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【考点剖析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 【变式训练3】图中以为边的三角形共有______个． 【答案】 【思路引导】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【规范解答】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 考点二 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【规范解答】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答． 【规范解答】解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·新疆和田·阶段检测）请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【规范解答】解：有，，，，，共5个三角形． 故答案为：A． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 (3) 【思路引导】本题主要考查了图形的规律探究，通过图形变化归纳总结规律是解决问题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可； （3）总结图形规律，由图形个数与三角形端点个数相关即可求解． 【规范解答】（1）解：根据图像中可得三角形有：，共有三个． 故答案为：3． （2）解：根据图像中可得三角形有：，共有六个． 故答案为：6． （3）解：由（1）得，当上有一个点时，三角形的个数为：； 由（2）得，当上有两个点时，三角形的个数为：； ∴当上有个点时，三角形的个数为：． 故答案为：． 考点三 三角形的分类 【典例精讲】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【规范解答】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 【答案】 6 【思路引导】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【规范解答】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 【变式训练2】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【思路引导】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式训练3】（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【规范解答】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 考点四 等腰三角形的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【规范解答】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 【变式训练1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，已知，，，点与坐标系原点重合，若点在坐标轴上，且是等腰三角形，则点的坐标可能有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形，根据题意画出图形即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，在轴上共有个这样的点，图中实心点，在​轴上共有​个这样的​点，图中实心点，    ∴共有个， 故选：． 【变式训练2】（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）已知a，b，c分别为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，请先判断的形状，再说明理由 【答案】等腰三角形，见解析 【思路引导】此题主要考查了等腰三角形的定义以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出，，的值是解题关键．利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而解方程得出的值，进而判断出其形状． 【规范解答】解：是等腰三角形，理由如下： ， ，， ，， 又， ， ∴是等腰三角形． 【变式训练3】如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【规范解答】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【基础通关能力提升】 1．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【思路引导】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【规范解答】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【思路引导】根据三角形的分类可直接得到答案． 【规范解答】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【规范解答】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 4．已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【思路引导】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【规范解答】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 5．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【思路引导】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【规范解答】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 6．（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【规范解答】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【思路引导】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【规范解答】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 8．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【思路引导】本题考查三角形的个数，熟练掌握三角形的定义，是解题的关键： （1）根据三角形的定义，进行判断即可； （2）根据三角形的定义，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：如图，以为一边的三角形有：，，，共3个， 故答案为：3； （2）如图，以A为顶点的三角形有：，，，，，，共6个； 故答案为：6． 9．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【思路引导】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 10．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为或或 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图的直角坐标系即为所求； （2） ，， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 【思维拓展拔尖训练】 1．李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先利用等腰直角三角形的性质，确定了两条直角边的长度．再根据平移的性质，得出了梯形的上底和下底长度．最后直接套用梯形面积公式，计算出最终结果． 【规范解答】解：，， 是等腰直角三角形， 平移得到，平移距离， ，， ∴四边形是直角梯形，上底，下底，高， ． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【规范解答】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【规范解答】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 4．（25-26八年级上·吉林通化·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【规范解答】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 5．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，三角形的个数问题，是分层有序计数，归纳规律是解题的关键． 根据图形结构灵活选择分层，通过已知数据验证规律的合理性，最终得出答案． 【规范解答】解：， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的2倍，求等腰三角形三边的长． 【答案】、、 【思路引导】此题考查了等腰三角形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意设等腰三角形的底边长为，则腰长为．利用三边之和等于列出方程求解即可； 【规范解答】解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为． 三角形的周长是， ，解得， 等腰三角形三边的长分别为、、． 7．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【思路引导】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【规范解答】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1)图形见解析，，，，，，，，，， (2)，， 【思路引导】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【规范解答】（1）解：所画三角形如图所示， 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 9．（23-24八年级上·重庆万州·阶段检测）如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或 【思路引导】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想考虑问题． （1）先得出点运动的距离为:, 由,判断点在上，问题随之得解； （2） 先求出 ，分当点在上，和当点在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点运动的距离为: , 即有, 解得: ； 当是以为底边的等腰三角形时，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有,进而可得方程, 解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：在中, ，, 根据运动的特点可知：点运动的距离为， ∵, ∴, 即点在上, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）解：∵在中， , ， 当点在上, 如图， 的面积等于15 ， ， ， 解得：(秒)； 当点在上, 如图, 此时：点P运动的距离为： 的面积等于15 ， ， ， ， ， ， 解得：(秒)； 综上：经过 秒或秒, 的面积等于； （3） 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有 ， ， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ， 解得： (秒)； 当 是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， ∵在等腰中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得：； 综上所述： 或． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $