（预习篇）第四讲 三角形（章节复习）讲义 -2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接

nullnull2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第四讲 三角形（章节复习）「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第13章）】 （思维导图+新知讲解+十六大考点讲练+优选题难度分层练 共52题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 第一部分 三角形的概念 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 第2部分 与三角形有关的线段 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2）. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点四 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 第三部分 三角形的内角与外角 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点一 等腰三角形的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【变式训练】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 考点二 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 考点三 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 考点四 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【变式训练】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 考点五 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在中，D、E分别是的中点，的面积为，则的面积为_____． 【变式训练】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 考点六 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 考点七 画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 考点八 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【变式训练】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 考点九 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 考点十 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 考点十一 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，平分平分，求的度数． 考点十二 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 考点十三 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）已知中，，，则__________． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求、的度数． 考点十四 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 考点十五 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 考点十六 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【变式训练】（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·山西大同·期末）请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 6．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，是上一点，过点作，．若，________． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 8．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 9．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 10．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【思维拓展拔尖训练】 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________． 5．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，是的一个外角，的平分线交于点F，交的平分线于点D．若，则 ________ ． 6．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 7．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，三角形中，，，，．若将三角形沿射线方向平移得到三角形，与相交于点G，连接．则与的位置关系是________；若三角形与三角形的面积相差，则________． 8．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，，为含有角的直角三角板，，，连接，，延长交直线于点N，直线交于点M． 特例探究： （1）如图1，当A，E，C在同一直线上时，_________°． （2）如图2，当点E在，之间，且与A，C不在同一直线上，点C在直线上时，，，求证：平分． 一般发现： （3）当直角三角板在平行线，之间绕点E转动，直线交，于点P，Q，（转动过程中，三角板的任意一个顶点都在平行线之间）可发现与之间有确定的数量关系，直接写出此数量关系． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 10．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第四讲 三角形（章节复习）「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第13章）】 （思维导图+新知讲解+十六大考点讲练+优选题难度分层练 共52题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 第一部分 三角形的概念 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 第2部分 与三角形有关的线段 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2）. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点四 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 第三部分 三角形的内角与外角 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点一 等腰三角形的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 【变式训练】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 考点二 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系，求出a的取值范围，再从选项中选取符合范围的值． 【详解】解：∵三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ∴， 即， ∵选项中只有6在的范围内， 故选：C． 考点三 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 【变式训练】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】20或22 【分析】本题考查了非负数之和为零，三角形三边关系，根据绝对值与偶次幂的非负性求出x、y的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：， ，， ， 解得，， 当6为腰长，8为底边长时，三角形的三边分别为6、6、8，满足三角形三边关系， 周长， 当8为腰长，6为底边长时，三角形的三边分别为8、8、6，满足三角形三边关系， 周长， 该等腰三角形的周长为20或22． 故答案为：20或22． 考点四 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 【变式训练】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 考点五 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在中，D、E分别是的中点，的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：，，依此即可求解． 【详解】解：∵D是的中点，的面积为， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，   、C、C、、、、的面积都相等， 所以，， 同理， 依此类推，的面积为， 的面积为， ∴的面积． 故选：C． 考点六 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形高、角平分线、中线的定义；根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【详解】解：A、是的高，即,所以，故A不符合题意； B、是的角平分线，即平分,所以，故B不符合题意； C、是的中线,即是中点，所以，故C不符合题意； D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 【答案】，，， ，，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵平分，平分（已知） ∴，， ∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，，，，，，，同位角相等，两直线平行． 考点七 画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 考点八 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 考点九 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 考点十 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 考点十一 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高；直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理； （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可； （2）根据，分别表示出，计算即可． 【详解】（1）解： ，是边上的高， ， ，， ， 是的平分线， ， ； （2）解：∵是边上的高，，是的平分线． ∴， ∴ 【变式训练】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，平分平分，求的度数． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义，用表示，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：∵平分平分， ∴ ， ∴ ． 考点十二 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 考点十三 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）已知中，，，则__________． 【答案】/29度 【分析】根据三角形内角和等于直接解答即可． 【详解】解：在中，，， ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求、的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形高的定义以及直角三角形的性质．解题的关键是利用三角形高的定义得到直角，结合三角形内角和定理进行角度推导． 先由三角形内角和求出的度数，再在中求出，最后利用直角三角形性质和邻补角关系求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵，分别是边，上的高， ． 在和中， ， ， ． 考点十四 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，直角三角形的两个锐角互余，三角形的角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而求得，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在直角中，， 【变式训练】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 考点十五 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 考点十六 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由平移的性质得到，则由平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由平移的性质得到，，证明与周长的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得，， 与周长的和 ． 【变式训练】（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中，设，，利用（1）中结论，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：．理由： 如图1中，连接并延长到， 因为，， 所以， 即； （2）解：①如图中， 由（1）知：， 因为，， 所以； ②如图中，设，， 由（1）可知，， ， ， ． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·山西大同·期末）请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据材料可知，三角形的高的垂足可能落在对边或对边的延长线上，分两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余的性质计算角度． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴， 如图， 当垂足在线段上时， ∴， 当垂足在的延长线上时：如图 ∴， ∴． 综上，的度数为或． 2．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 3．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向角的定义，即可求得，，的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：几何图形如下图所示： ∵，是正南正北方向， ∴， ∵处在处的南偏西方向， ∴， ∵处在处的南偏东方向， ∴， ∴， ∵处在处的北偏东方向， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：， ， ． 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，是上一点，过点作，．若，________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，因此，结合三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2） ，， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 8．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是通过角的关系证得，，利用平行线的性质推导角相等． 【详解】解：   理由如下：∵， ∴，   ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 【答案】 【分析】根据，得，根据为的角平分线得，根据为的高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 【思维拓展拔尖训练】 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角的计算，三角形外角的性质，根据题意，得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式计算出长方形和的重心坐标，再利用不规则图形的重心坐标计算公式即可求解． 【详解】解：如图， 、分别为长方形和的重心， ∵，，，，，，， ∴，，，，，， ∴长方形的面积，长方形的面积， ∴重心的坐标， ， ∴重心坐标为． 5．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，是的一个外角，的平分线交于点F，交的平分线于点D．若，则 ________ ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义， 先根据三角形外角的性质得，，再根据角平分线的定义得，然后将两个式子联立可得，最后代入数值可得答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 7．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，三角形中，，，，．若将三角形沿射线方向平移得到三角形，与相交于点G，连接．则与的位置关系是________；若三角形与三角形的面积相差，则________． 【答案】 且 【分析】本题考查了图形的平移性质，三角形面积计算及通过面积差建立方程．根据平移后对应线段平行且相等即可判定与的位置关系，再利用“等面积法”求出平行线间的距离，通过面积差建立方程求解平移距离x的值． 【详解】解：由题意知，三角形在向右平移的过程中，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F， 此时原来的点与其对应点平移的距离均相等， ∴， ∵和是对应点所连的线段，根据平移性质“对应点所连线段平行且相等”，可得， 由平移的性质知，设，则， ∵在平移过程中，点C到的距离与点F到的距离保持不变且相等， 即与间的距离相等， 又∵，，， ∴点C到的距离为， 设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为， ∴， 由三角形与四边形的面积之和为四边形的面积以及四边形与三角形的面积之和为三角形， 得，， ∴， 将代入，得， ∴，即， 解得， 故答案为：且，． 8．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，，为含有角的直角三角板，，，连接，，延长交直线于点N，直线交于点M． 特例探究： （1）如图1，当A，E，C在同一直线上时，_________°． （2）如图2，当点E在，之间，且与A，C不在同一直线上，点C在直线上时，，，求证：平分． 一般发现： （3）当直角三角板在平行线，之间绕点E转动，直线交，于点P，Q，（转动过程中，三角板的任意一个顶点都在平行线之间）可发现与之间有确定的数量关系，直接写出此数量关系． 【答案】（1）60；（2）见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等，计算即可得出结果； （2）过点作 ，交于点，由题意并结合平行线的性质求出，即可得证； （3）分两种情况，分别画出图形，结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作，交于点， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）如图，当点在点的左侧时， , ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 10．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $