（预习篇）第二讲 与三角形有关的线段 讲义-2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假学习衔接讲义

2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 八年级/上册（新教材） 初中数学 第二讲 与三角形有关的线段 思维导图+新知学习+十大考点讲练+优选题难度分层练 （共50题） 【解析版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 分层训练 思维导图 新知学习 真题通关 查漏补缺 重点难点 优选题型 教材点拨 技巧分析 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 考点一 构成三角形的条件 【典例精讲】已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】或． 【思路引导】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据“一腰上的中线将周长分成和两部分”，分两种情况列出方程组，再结合三角形三边关系验证，进而求出等腰三角形的腰长． 【规范解答】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， ①腰半腰，底半腰， ， 解得：， 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； ②腰半腰，底半腰， ， 解得：． 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； 答：这个等腰三角形的腰长是或． 【变式训练1】已知，则以、为边的等腰三角形周长为（    ） A．7 B．8 C．7或8 D．9 【答案】C 【思路引导】先利用非负数的性质求出边长的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系验证，即可计算得到周长． 【规范解答】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论： 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为，，，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），此时周长为； 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 综上所述，等腰三角形周长为或． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论第三根木棒的长度：①长度为；②长度为．再根据三角形三边关系定理，检验两种情况能否构成三角形，从而确定符合条件的长度． 【规范解答】解：情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、， 又∵， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、 又∵，，，， ∴满足三角形三边关系，能构成等腰三角形． 故答案为：． 考点二 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可． 【规范解答】解：根据三角形三边关系可得，，， ∴，即， ∴，间的距离不可能是． 【变式训练1】．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系得到，进而判断选项中哪个值不在该范围内． 【规范解答】解：三角形三边关系为任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ， ， 选项中只有不在的范围内， 的长不可能是． 故选：． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东江门·期中）已知一个三角形的两边长分别为和， (1)求这个三角形的第三边的取值范围． (2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)或． 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义， （1）根据“三角形的第三边大于任意两边之差，而小于任意两边之和”进行求解即可； （2）根据等腰三角形的定义得出第三边的长，再计算三角形的周长即可； 解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 【规范解答】（1）解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴这个三角形的第三边的取值范围是：， 即； （2）①当腰长为，底长为， 此时这个等腰三角形的三边长分别为，，，周长为：； ②当腰长为，底长为， 此时这个等腰三角形的三边长分别为，，，周长为：； 综上所述，这个三角形的周长为或． 考点三 三角形三边关系的应用 【典例精讲】已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 【答案】C 【思路引导】先根据非负数的性质求出和的值，再根据或为腰长进行分类讨论，结合三角形的基本性质判断结果即可． 【规范解答】解：∵， 又∵，， ∴，且， ∴，， 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为或． 【变式训练1】若实数a，b满足，则以a，b的值为边长的等腰三角形的周长为_________． 【答案】10 【思路引导】先根据非负数的性质求出a与b的值，再分情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算符合条件的周长即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论： 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ∵，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， ∴此情况不成立，舍去； 若为等腰三角形的底边长，则三角形三边长为，，，此情况满足三角形三边关系，此时周长为． 【变式训练2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 【答案】 【思路引导】根据等腰三角形的性质和三边关系进行分类讨论求解即可； 【规范解答】解：等腰三角形的一边等于，一边等于， 当腰为时，三边为，，，能构成三角形， 周长为； 当腰为时，三边为，，， ， 不能构成三角形； 三角形的周长为． 考点四 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【思路引导】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【规范解答】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【规范解答】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 【变式训练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【思路引导】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【规范解答】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【考点剖析】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 考点五 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【规范解答】解：由题意得， ， ， 又 为的中线， ， ， ， 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，方格纸中的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)画出边上的中线（保留作图痕迹）； (2)若，求边上的高线长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点、，连接交于点，连接，线段即为所作； （2）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：如图：取格点、，连接交于点， ， 由网格特点可得：为的中点，连接，线段即为所作； （2）解：设边上的高线长为， ∴， ∴， 即边上的高线长为． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【思路引导】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【规范解答】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 考点六 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【思路引导】本题考查了根据三角形中线求三角形的面积． 连接，可知，，，进而得到，，即，即可求出四边形的面积． 【规范解答】解：如图，连接， ∵、是的中线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，点分别是边上的中点，连接，点F在上，满足，连接，若的面积是12，则图中四边形的面积是（   ）    A．4 B． C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形的中线，弄清面积之间的关系是解题的关键． 由三角形的中线可得、，再说明，易得，最后根据求解即可． 【规范解答】解：∵在中，点是边上的中点，的面积是12， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的中线，，若，求的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了由三角形中线求三角形面积，根据三角形中线求出的面积，再利用已知可得，从而得到． 【规范解答】解：是的中线， ， ， ． ， ， ． 考点七 重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，经过的重心，连接，．如果的面积为2，那么的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形的重心的定义，三角形中线的性质，根据题意可得，，；设，，，进而得出，结合已知条件，即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交分别于点， ∵点是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵的面积为2， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点、在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可证明； （2）由（1）中的结论即可解答； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，即可求出的面积． 【规范解答】（1）证明：由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知， ∵与等高， ∴，即； （3）解：是的重心， ∴由（2）知，， ， ， ， ， ∴， 【变式训练2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3）． 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 【规范解答】解：（1）， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 考点八 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【规范解答】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 考点九 画三角形的高 【典例精讲】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如图，在中： (1)作中线，高，角平分线，延长交于点O； (2)若，，则 °， °． 【答案】(1)见解析 (2)60；75 【思路引导】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的中线、高和角平分线． （1）根据三角形的中线、高和角平分线的定义画出图形； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再根据高的定义得，则利用互余计算出，接着根据角平分线的定义得到，然后利用互余可计算出的度数． 【规范解答】（1）解：如图，、、、点即为所作； （2）解：，， ， 是的高， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：60，． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)12 【思路引导】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【规范解答】（1）解：如图，高和中线即为所求； （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知． (1)请在图中画出的三条高、、； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【思路引导】本题考查了画三角形的高，三角形内角和定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据三角形的高线的画法画出、、即可； （2）根据三角形内角和定理以及等边对等角可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，、、即为所求； （2）解：∵，， ∴ 又∵是边上的高， ∴ ∴ 考点十 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式、命题的证明，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 若选择的条件是①，选择的结论是②，根据三角形中线的性质即可证明；若选择的条件是②，选择的结论是①，根据三角形面积公式即可证明． 【规范解答】解：选择的条件是①，选择的结论是②． 证明：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的面积与的面积相等； 选择的条件是②，选择的结论是①． 证明：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 设B到的距离为，C到的距离为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即是的中线． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】任务1：；任务2：2；【拓展应用】： 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，掌握三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算是解题的关键． 任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； 【拓展应用】点是△的重心，类比任务1，任务2可知，，求得，，，，再根据，，，即可求解． 【规范解答】解：任务1：点为△的重心， ，，分别是，，边上的中点， ，， ， ； 任务2：由题意可知，， ， ， 与同高， ， 即； 【拓展应用】点是△的重心，类比任务1，任务2可知： ， ，， ，，，， ， ， ， 则， ． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】 解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可． 【规范解答】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， ∴，选项中只有满足该范围． 3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点运动到点时，时，有最小值时，，即可． 【规范解答】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】25 【思路引导】题目未明确腰和底边的长度，因此需要分两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【规范解答】解：根据等腰三角形的定义，分以下两种情况讨论： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 因为，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为． 5．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【规范解答】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【答案】11或13 【思路引导】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【规范解答】解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是11或13． 7．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 【规范解答】（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 8．如图，在中，，，，，，求和的长． 【答案】； 【思路引导】根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 9．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点（点为边上一点）． (1)根据描述画出平移后的； (2)过点作的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了平移变换，画垂线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先确定平移的方式，再根据平移的方式确定平移后的点，，，再顺次连接即可； （）过点向画垂线，交延长线于点． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【答案】9 【思路引导】连接，根据中线的意义可得，，，再根据阴影部分的面积为求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级下·河南开封·期末）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【思路引导】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再用三角形三边关系验证，然后计算三角形的周长． 【规范解答】解：当腰为时，则三边为，，，此时，不满足三角形的三边关系，不满足题意； 当腰为时，则三边为，，，满足三角形的三边关系，周长为． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【思路引导】根据三角形的三边关系，得到，再根据等腰三角形的定义即可得出结果. 【规范解答】解：由题意，且， 故， 又∵图中三角形有一个是等腰三角形， 故. 3．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 【答案】D 【思路引导】需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【规范解答】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 满足三角形三边关系，此时周长为， 因此该等腰三角形的周长为． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为______． 【答案】8或10 【思路引导】设腰长为，底边长为，根据题意分两种情况列方程组求解，再检验结果是否符合三角形三边关系即可. 【规范解答】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意得或， 解得或， 经检验，两组解均满足三角形三边关系； 因此等腰三角形的腰长为或. 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）等腰三角形周长是26，其中一边长是6，则等腰三角形的腰长是__________． 【答案】10 【思路引导】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系． 等腰三角形的一边长为6，可能为底边或腰，需分类讨论并检验三角形三边关系 【规范解答】解：当6为底边时， 设腰长为x， 则， 解得， 此时三边为10、10、6，满足三角形三边关系； 当6为腰时， 底边为， 此时三边为6、6、14， 但，不满足三角形三边关系，故舍去； 因此腰长为10． 故答案为：10． 6．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键； 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分可得，，进而可得，由的面积为代入上式即可得解． 【规范解答】解：∵为的中线， ∴，为的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 【答案】6 【思路引导】本题考查等腰三角形的定义，与三角形的高有关的计算，连接，根据，进行求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边上任意一点，，， ∴，， ∵，的面积为12， ∴， ∴； 故答案为：6． 8．（25-26八年级下·广东佛山·期中）一次函数，． (1)方程的解为负数，求范围； (2)不等式组 ，解集，求； (3)（2）条件下，等腰三角形两边为，求面积． 【答案】(1) (2) (3)面积为或 【思路引导】（1）根据题意得到关于的不等式，解得即可； （2）根据题意得到关于，的不等式组，根据不等式组的解集求得的值； （3）根据等腰三角形的定义，分类讨论，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：关于的方程的解为负数， ∴的解为负数， 解得： ∴ 解得：； （2）解：∵关于x的不等式组的解集为， ∴的解集为， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴ ∴ 解得：； （3）∵， 当腰为时，底边长为，如图所示，作底边上的高， ∴， ∴ ∴， 当腰为6，底边长为时， ∴， ∴ ∴， 综上所述，该三角形的面积为或． 9．（25-26八年级上·青海果洛·阶段检测）已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 【答案】的三边长分别为，，． 【思路引导】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，设等腰的腰长为，底边长为，分，两种情况建立二元一次方程组求解，再根据三角形三边关系即可解答． 【规范解答】解：设等腰的腰长为，底边长为，则， ∵一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，设中线长为， ∴， 当时， 即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴能组成三角形； 当时，即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的三边长分别为，，． 10．（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【思路引导】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【规范解答】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 暑假衔接 第二讲与三角形有关的线段 思维导图+新知学习+十大考点讲练+优选题难度分层练 (共50题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 新知学习 教材点拨技巧分析 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题通关查漏补缺 初中数学 八年级/上册（新教材） 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课 知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四 大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整 体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教 师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 人教版八年级数学上册第13章三角形 1.三角形的边 第2节与三角形有关的线段 2,三角形的中线 ■定义 示意图 ■定义 示意图 三角形两边的和大于第三边， 两边的差小于第三边 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D, 所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线， ■判断方法 ①“两边的差”“两边的和”中的“两边 ■交点 是二边中的任意一边； 一个三角形有三条中线，这三条中线相 ②两条较短线段之和大于最长线段， 交于一点（三角形的重心），三条中线的 三条线段可组成三角形： 交点叫做三角形的重心，三角形的重心 反之，则不能组成三角形 在三角形内部。 ■性质 三角形的三条边确定后，形状和大小 (2 就确定不变，这个性质叫做三角形的稳定性 与三角形 ★要点：三角形三条中交于一点， 要点：三角形的形状和大小由三条边确定 有关的线段 该点到三个顶点的距高相对“平衡” 具有稳定性，广泛应用于生活与生产 4.三角形的高 3.三角形的角平分线 ■定义 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线 示意 ■定义 画垂线，垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的 在△ABC中，画∠A的平分线AD 边C上的高线，三角形的高线简称三角形的高 交BC于点D,所得线段AD叫作 ■交点 △ABC的角平分线。 ①锐角三角形：三条高所在直线相交于一点 (在三角形内部)： ■交点 知识小结 ②直角三角形：两条离恰好是它的两条直角边， 三角形的三条角平分线相交于一点 三角形有关的线段各有特点」 三条高的交点是直角顶点 √边一一决定三角形的存在和稳定性： 三角形三条角平分线的交点叫做 ③钝角三角形：两条高在三角形外部，两个垂足 √中线一交于重心，位置在内部： 落在边的延长线上，三条高所在直线的交点也 三角形的内心，内心在三角形内部， (2 √角平分线一交于内心，到三边等距 在三角形外部 √高一一交于一点，位置可能不同。 要点：三角形三条角平分线交于一点（内心）， 常握定义、交点和性质，解决问更轻松」 要点：三角形三条高所在直线交于一点 内心到三边的距离相等 (可能在内部，边上或外部】 教材学习新知引导 知识点一三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 2剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组 第2页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用 知识点二三角形的中线 1.定义：如图(1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫作△ABC的边BC 上的中线 (1) (2) 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2)）·三角形三条中线的交点叫做 三角形的重心，三角形的重心在三角形内部 知识点三三角形的角平分线 1.定义：如图(1)，画△ABC的∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC 的角平分线 (1) (2) 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心 知识点4三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD 叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高. D D (1 (2)》 (3 图13.2-7 图13.2-8 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心 ①锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8(1)），三条高的交点也在三角形的内部； 第3页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) ②直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8(2))，三条高的交点是三角形的直角 顶点； ③钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高 所在直线的交点也在三角形的外部 优选题型考点讲练 考点一构成三角形的条件 【典例精讲】已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰 三角形的腰长， 【变式训练1】已知Va-2+b一3引=0，则以a、b为边的等腰三角形周长为( A.7 B.8 C.7或8 D.9 【变式训练2】(25-26八年级上·江苏宿迁·期末)现有两根长度分别为5cm和12cm的木棒，若第 三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为cm. 考点二确定第三边的取值范围 【典例精讲】(25-26八年级上·山东滨州·期末)如图，为了估计池塘岸边A,B两点间的距离，小明同 学在池塘一侧选取一点0，测得0A=20m,0B=12m,则A,B间的距离不可能是() B A.10m B.7.5m C.20m D.17.6m 【变式训练1】，(25-26八年级上·湖南娄底·期末)m、2、5是某三角形三边的长，则m的长不可能 是() A.7 B.6 C.5 D.4 【变式训练2】(25-26八年级上·广东江门·期中)已知一个三角形的两边长分别为6和9， (1)求这个三角形的第三边x的取值范围 (2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长。 第4页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点三三角形三边关系的应用 【典例精讲】已知实数x,y满足(x一5)2+√y-8=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ( A.18 B.21 C.18或21 D.以上答案均不对 【变式训练1】若实数a,b满足|a-2+√b-4=0,则以a,b的值为边长的等腰三角形的周长为 【变式训练2】(25-26八年级上·浙江杭州阶段检测)已知等腰三角形的一边等于5cm,一边等于11cm, 则它的周长为 考点四三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测)如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要 钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木 条？要使边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动， 多边形木架的边数 4 5 6 2 至少要钉木条的根数 根据以上信息，解答下列问题。 (1)要使十二边形的木架不变形，应至少要钉 根木条. (2)表格中的“▲”处填.（用含n的代数式表示） (3)有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形.则这个多边形的边数是 【变式训练1】(23-24八年级上·全国·单元测试)(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变 形，至少要再钉上 根木条： (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条： (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条： (4)n(n≥4)边形不具有稳定性，要使n边形木架不变形，至少要再钉上 根木条。 第5页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练2】(23-24八年级上·全国·课堂例题)[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形， 至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根 木条？要使边形木架不变形，至少要钉多少根木条？ (1)请完成下表： 多边形木架的边数 5 6 至少钉木条的根数 (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉 根木条： (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数. 考点五根据三角形中线求长度 【典例精讲】(25-26八年级上·安徽合肥·期末)如图，在△ABC中，AD,AE分别是边BC上的中线和 高，点D在点E的左侧，己知AE=3,DE=1,S△ABC=9,则CE=() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练1】(25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测)如图，5×5方格纸中△ABC的3个顶点分别 在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形 B (1)画出BC边上的中线（保留作图痕迹）； 第6页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） (2)若AC=5,求AC边上的高线长. 【变式训练2】(25-26八年级上·安徽准南·期中)如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上（不与 点A,C重合)，连接BE,交AD于点Q. 4 E D D 5 D B 图1 图2 图3 (1)如图1，若BE是△ABC的中线，AB=8,BC=5,则△ABE与△BCE的周长差为 (2)如图2，若BE是△ABC的高，∠BAC=28°，则∠B0D的度数为 (3)如图3，若BE是△ABC的角平分线，∠C=62°，求∠AOB的度数 考点六根据三角形中线求面积 【典例精讲】(25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测)如图，△ABC的两条中线BE、CD相交于点O,若 △ABC的面积为48，则四边形ADOE的面积为() A B A.12 B.14 C.16 D.24 【变式训练1】(25-26八年级上·重庆南川·期末)如图，在△ABC中，点D,E分别是BC,AB边上的中 点，连接AD,DE,点F在AD上，满足DF=2AF,连接EF,CF,若△ABC的面积是12，则图中四边形CDEF 的面积是() 第7页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) D A.4 B.9 C.6 D.8 【变式训练2】(25-26八年级上·广西崇左·阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，DE=2AE,若S△4BC= 24cm2,求△ABE的面积. D 考点七重心的概念 【典例精讲】(25-26八年级上·山西忻州·期中)如图，AE经过△ABC的重心P,连接BP,CP.如果△BPE 的面积为2，那么△ABC的面积为( A.6 B.12 C.8 D.16 【变式训练1】(25-26八年级上·广东江门·期中)综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看，我 们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图1中，如果取一块质地均匀的三 角形纸板，用一根细绳从重心0处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态， 【相关素材】 在图2中，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD等底等高，面积相等，记作：SACD=SABD·在图3中，若 △ABC三条中线AD、BE、CF交于点G,则GD是△GBC的中线，利用上述结论可得：S△GCD=S△GBD,同理 S△GBF=S△GAF,S△GAE=S△GCE, 第8页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） DE 图1 图2 图3 图4 【解决问题】 (1)在图3中，若设S△GCD=x,S△GBF=y,S△GAE=Z,证明：x=y=z. (2)利用(1)中的结论，证明：BG:GE=2:1. (3)图4中，G是△ABC的重心，点D、E在△ABC的边AB、AC上，BE与CD交于点G,BE=10,CD=9,BE1CD, 求△BGD的面积 【变式训川练2】(25-26八年级上·山西忻州·期中)综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心 O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案. 探究过程：如图2，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD等底等高，面积相等，记作S△ACD=S△ABD·若△ABC 的三条中线AD,BE,CF交于点G,则GD是△GBC的中线，利用上述结论，可得S△GCD=S△GBD,同理，可 得S△GBF=S△GAF,S△GAE=S△GCE· 图1 图2 猜想证明： (1)如图2，若设S△GcD=x,S△GBF=y,S△6AB=z,猜想x,y,z之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： (2)如图2，在△ABC中，若S△GAB=12,则△ABC的面积S为 (3)在图2中，求BG:GE的值. 第9页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 考点八三角形角平分线的定义 【典例精讲】(24-25九年级下·广东茂名·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE是角平分线， AD是高，BE、AD相交于点F,求证：AF=AE. 【变式训练1】(24-25七年级下山东德州期末)如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC>AC.若 ∠BAC=&,∠B=B,则∠DCE=_一一·（用含有a,B的式子表示） 【变式训练2】(24-25七年级上·福建泉州·期末)如图，AC与BD相交于点E,∠1=65°，∠D=65°. (1)若∠A=30°，求∠ACD的度数： (2)取线段AB的中点R,连结EF.若∠AFE+∠BCD=180°，∠A=∠AEF.求证：CA平分∠BCD. 第10页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 考点九画三角形的高 【典例精讲】(25-26八年级上·北京顺义·期中)如图，在△ABC中： B (1)作中线AD,高AH,角平分线BE,延长BE交AH于点O: (2)若∠C=110°，∠BAC=40°，则∠BAH=_°，∠B0H=_°· 【变式训练1】(25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测)如图，已知在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=8,AC=6,BC=10. (1)作出△ABC的高AD和中线AE: (2)求△ABE的面积； 【变式训练2】(25-26八年级上·贵州黔东南·期中)如图，已知△ABC. (1)请在图中画出△ABC的三条高AD、BE、CF: (2)若AB=BC=10cm,∠ABC=120°，求BE的长. 第11页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级署假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 考点十与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】(25-26八年级上·江苏泰州·期末)通过课本P8的例2的学习，我们已经知道三角形的 中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是△ABC 边BC上的一点，连接AD,在线段AD上任取一点E(不与A、D重合)，分别连接BE、CE.①AD是△ABC 的中线；②△ABE的面积与△ACE的面积相等，从中选择，个作为条件，剩余的，个作为结论，构成一个真 命题，并证明 B D 解：你选择的条件是 一，选择的结论是 一·（只填序号） 【变式训川练1】(25-26八年级上·安徽阜阳·期中)如图，在△ABC中，AD,AF分别为△ABC的中线和 高，BE为△ABD的角平分线， (1)若∠BED=44,∠BAD=28°，求∠BAF的大小： (2)若△ABC的面积为48，BD=6,求AF的长. 【变式训练2】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测)取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一 条细线从重心0处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态.探究图①中的值是多少.吴老师为了让 DO 同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题. 【解决问题】 任务1：若△BOC的面积为m,求△A0B的面积； 任务2：在任务1的条件下，求8的值. 第12页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【拓展应用】如图②，在△ABC中，点O是△ABC的重心.连接BO,CO并延长，分别交AC,AB于点D,E.若 B01CO,BD=6,CE=9,直接利用上面的结论，求四边形AEOD的面积. 真题汇编能力强化 【基础通关能力提升】 1.(25-26八年级下·辽宁铁岭·期中)下列图形中，具有稳定性的是( 2.(24-25八年级上·浙江金华·期末)一个三角形的三边长度分别为2,5和x,则x的值可以是() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(25-26八年级下·福建宁德·期中)如图，B0为△ABC的角平分线，OD1AB于点D,点E为BC边上 的动点，2≤0E≤5，则0D的长度是() D A.2 B.3 C.4 D.5 4.(25-26八年级下·山东青岛·期中)若等腰三角形的两边长分别是10cm和5cm,则这个等腰三角形 的周长是 cm 第13页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 5.(25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末)如图，CD是△ABC的中线，点P在AC上，且CP:AP=3:4, 若S△4BC=24,则△PCD的面积为一—-· 6.(25-26八年级下四川达州期中)已知等腰三角形的两边长分别是m,n,若m,n满足引m-3引+(n-5)2=0, 那么它的周长是 7.(25-26八年级下北京期中)己知△ABC的三边长a、b、c均为整数，且a和b满足Va-2+b2-6b+9= 0. (1)求a、b的值， (2)求满足条件的c的值. 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求S△ABc和CD的长. D 9.(24-25九年级下·江西鹰潭·期中)如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A'B'C',，图中标出了点D的对应点D'(点D为AB边上一点)· 第14页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) (1)根据描述画出平移后的△A'B'C′； (2)过点C作AB的垂线，垂足为点M. 10.(25-26八年级上·安徽安庆·期中)如图△ABC中，AD是BC边的中线，G是AD上的一点，E、F分别 是CG,BG的中点，若△ABC的面积等于36，求阴影部分的面积. 【思维拓展拔尖训练】 1.(25-26八年级下·河南开封·期末)如果一个等腰三角形的两边长分别是2和6，那么此三角形的周 长是( A.8 B.10 C.14 D.10或14 2.(25-26八年级下·广东佛山·期中)如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则a的值是( 8 Q 14 A.5 B.7 C.8 D.14 第15页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 3.己知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm,则该等腰三角形的周长是( A.9cm B.12cm C.12cm或者15cmD.15cm 4.(25-26八年级下·甘肃兰州·期中)等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是 12与15，则腰长为一一· 5.(25-26八年级上·江苏扬州·期末)等腰三角形周长是26，其中一边长是6，则等腰三角形的腰长是 6.(25-26八年级上·重庆潼南·期末)如图，BP为△ABD的中线，若△ABC的面积为S,则△BPC的面 积为 D 7.(25-26八年级上·湖北武汉·期末)如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作0E1AB 于E,作0F1AC于F,若0E+OF=4,△ABC的面积为12，则AB=_一一· E 8.(25-26八年级下·广东佛山·期中)一次函数y1=2x-a,y2=x-2b. (1)方程y1+2a=3的解为负数，求a范围； ②不等式组≤3，解集3<x<15,求ab:一 (3)(2)条件下，等腰三角形两边为ab,求面积. 第16页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 9.(25-26八年级上·青海果洛·阶段检测)己知等腰△ABC的周长为19cm,一腰上的中线把△ABC分成 周长差是5cm的两个三角形，试求△ABC三边的长. 10.(25-26八年级上·北京平谷·期末)综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看，我 们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图1中，如果取一块质地均匀的三 角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态 D B D B 图1 图2 【提出问题】 问题1：探究图1中，△AOE、△B0E、△AOF、△COF、△BOD、△C0D这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的A0:D0,B0:F0,C0:E0的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步 完成问题解决以上提出的问题。 【解决问题】 (1)AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：S△ABD-一S△4CD (填“>”、“<”或“=”)； (2)在△ABC中，由于点D是BC边中点，那么△ADC的面积是△ABC的面积的，同理△BCF的面积是△ABC 第17页共18页 2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接) 的面积的，这样△ACD的面积与△BCF的面积相等，减去公共部分可得△BOD的面积与_一一 的面积相等， 同样可得△COD的面积与△AOE的面积相等，从而可得△AOE、△B0E、△AOF、△COF、△BOD、△COD 这6个小三角形面积相等； (3)由△AOB的面积是△B0D的面积的2倍，可得AO:D0=一一一，同理可得：B0:F0=CO:E0=一一一： 【拓展应用】 (4)如图2，在△ABC中，点F是△ABC的重心，连接BF,CF并延长分别交AC,AB于点E,D,若BE1CD, CD=21,BE=9,直接利用上面的结论，求四边形ADFE的面积. 第18页共18页2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学七升八年级暑假学习衔接高效培优讲义【预习篇】 八年级/上册（新教材） 初中数学 第二讲 与三角形有关的线段 思维导图+新知学习+十大考点讲练+优选题难度分层练 （共50题） 【原卷版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 分层训练 思维导图 新知学习 真题通关 查漏补缺 重点难点 优选题型 教材点拨 技巧分析 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 考点一 构成三角形的条件 【典例精讲】已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【变式训练1】已知，则以、为边的等腰三角形周长为（    ） A．7 B．8 C．7或8 D．9 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 考点二 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东江门·期中）已知一个三角形的两边长分别为和， (1)求这个三角形的第三边的取值范围． (2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 考点三 三角形三边关系的应用 【典例精讲】已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 【变式训练1】若实数a，b满足，则以a，b的值为边长的等腰三角形的周长为_________． 【变式训练2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 考点四 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【变式训练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 考点五 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，方格纸中的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)画出边上的中线（保留作图痕迹）； (2)若，求边上的高线长． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 考点六 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点O，若的面积为48，则四边形的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【变式训练1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，点分别是边上的中点，连接，点F在上，满足，连接，若的面积是12，则图中四边形的面积是（   ）    A．4 B． C．6 D．8 【变式训练2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的中线，，若，求的面积． 考点七 重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，经过的重心，连接，．如果的面积为2，那么的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【变式训练1】（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点、在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【变式训练2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 考点八 三角形角平分线的定义 【典例精讲】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【变式训练2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 考点九 画三角形的高 【典例精讲】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如图，在中： (1)作中线，高，角平分线，延长交于点O； (2)若，，则 °， °． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知． (1)请在图中画出的三条高、、； (2)若，，求的长． 考点十 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 5．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 6．（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 7．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 8．如图，在中，，，，，，求和的长． 9．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点（点为边上一点）． (1)根据描述画出平移后的； (2)过点作的垂线，垂足为点． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级下·河南开封·期末）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（     ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 3．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为______． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）等腰三角形周长是26，其中一边长是6，则等腰三角形的腰长是__________． 6．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为_____． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 8．（25-26八年级下·广东佛山·期中）一次函数，． (1)方程的解为负数，求范围； (2)不等式组 ，解集，求； (3)（2）条件下，等腰三角形两边为，求面积． 9．（25-26八年级上·青海果洛·阶段检测）已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 10．（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull