精品解析：2026年江苏省扬州市高邮市二模数学试题

2025~2026学年度网上阅卷第二次适应性练习试题 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：实数的倒数为． 2. “盂城驿”是全国规模最大、保存最完好的古代驿站．驿站中部分窗棂图案如下，其中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：：是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意； ：是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意； ：是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意； ：是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意． 3. 下列运算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 5. 下列整数中与最接近的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，，且， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴更接近整数． 6. 用若干个全等的正五边形按如图方式拼接一圈后，中间形成的正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角度数，进而求出中间形成的正多边形的内角度数，再根据多边形内角和公式列出方程解答即可求解． 【详解】解：正五边形的内角度数为， ∴中间形成的正多边形的内角度数为， 设中间形成的正多边形的边数为， 则， 解得， ∴中间形成的这个正多边形的边数为． 7. 在探究“弹簧伸长与所挂物体质量关系”的实验中，在弹性限度内，弹簧没有挂物体时长度为，若每挂物体弹簧伸长，则挂物体时的弹簧长度与的函数图像与坐标轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意写出弹簧长度与物体质量的函数关系式，结合实际问题确定的取值范围，再分别求函数与坐标轴的交点，统计有效交点个数即可． 【详解】解：根据题意，弹簧总长度等于原长加伸长长度， ， 由实际意义可知，所挂物体质量， 令，得，交点为，符合实际意义，是有效交点； 令，得，解得， ，不符合实际意义，该点不在函数图像上，故舍去， 综上，函数图像与坐标轴只有1个有效交点． 8. 若关于的不等式组的解满足，且、为正整数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解不等式组得到的范围，再根据不等式组的解满足得到的取值范围，结合是正整数，根据分数性质，分子越大分母越小，分数值越大，即可求出的最大值． 【详解】解：解得， 解得， ∴， ∵关于的不等式组的解满足， ∴且， 解得：且， ∵、为正整数，要使最大，需取b的最大值和a的最小值， ∴的最大值为． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 科学家测得肥皂泡的厚度约为0.0000007米，0.0000007用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 移项得： 即的取值范围是． 11. 如图是某一个几何体的平面展开图，则这个几何体是_____. 【答案】圆柱 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的展开图，对圆柱有充分的理解是解题关键．根据侧面是长方形，上下底面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：由几何体展开图可知，这个几何体是圆柱， 故答案为：圆柱． 12. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：= ． 13. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一根为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由于是一元二次方程的根， 则根据根与系数的关系得： 解得：， 即方程的另一个根为． 14. 一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的解是一次函数中，函数值时对应的自变量的值，已知一次函数图像经过点，即可得到方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为． 15. 用圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先利用扇形弧长公式求得圆锥底面周长，再根据圆的周长公式计算底面圆半径． 【详解】解：圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，扇形弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 根据圆的周长公式可得． 解得． 16. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等积法求出边的高，结合勾股定理及正弦定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查三角函数，勾股定理，解题的关键是根据等积法求出边的高． 17. 如图，在平面直角坐标系中，等腰中，、的坐标分别为，，反比例函数的图像经过的中点．点是线段上一点，将点绕点顺时针旋转后，其对应点恰好落在该反比例函数图像上，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设点绕点顺时针旋转后，其对应点为Q，连接，，，则，，根据等腰三角形的性质可求出，根据中点坐标公式得出，根据待定系数法求出反比例函数解析式为，证明，可得出，，则，设，可求出，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：设点绕点顺时针旋转后，其对应点为Q，连接，， 则，， ∵等腰中，、的坐标分别为，， ∴，轴，， ∵为的中点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵，为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴，即， ∵Q在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为直角边，在线段的上方作等腰和等腰，连接，取的中点，连接．若，则在点的运动过程中，的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，构建直角坐标系，设，则，求出的坐标，进而得到，求最值即可. 【详解】解：以点为坐标原点，所在直线为轴，构建直角坐标系，如图： 则， 设，则，， ∵等腰和等腰， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值为，此时最小为. 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算、化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 若二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先解方程组得，再代入即可求解． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把代入得，， 解得． 21. 2026年2月，《教育部关于全面推进健康学校建设的指导意见》明确提出：开齐开足开好艺术课程，推进学科美育教学改革，丰富艺术社团活动．某中学利用艺术社团活动时间，举办了绘画比赛，每位选手提交5幅作品，评委分别打分（满分10分）．王老师对参加比赛的甲、乙两位同学的得分进行了收集、整理和分析，信息如下： 统计量 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）甲、乙选手5幅作品得分的方差分别记为，，则 （填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析，哪个参赛选手的成绩较好？ 【答案】（1）； （2） （3）甲 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义进行解答即可； （2）根据方差的定义进行计算并比较即可； （3）利用平均数、中位数判断哪个参赛选手的成绩较好即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图得到：甲作品成绩从小到大排列为： 、、、、 则中位数； 乙作品成绩为：、、、、 其中出现两次， 则众数； 【小问2详解】 解：， ， 由于， 则； 【小问3详解】 解：甲、乙两人的平均数相同，甲的中位数大于乙的中位数， 则甲参赛选手的成绩较好． 22. 一个不透明的箱子中装有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出两个球，请用树状图或列表法求摸出的两个球是一红一白的概率； （2）往箱子中再放入若干个红球并搅匀后，随机摸出一个球是红球的概率为，则此时箱中红球共有 个． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图或列出表格，即得出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可； （2）设后来放入箱子中的红球个数为个，则此时箱子里有个红球，共有 个球．根据概率公式可列出关于的分式方程，解出的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可画树状图如图，   由树状图可知共有6种等可能的结果，其中两次摸到一红一白的结果有4种， ∴两次摸到一红一白的概率； 【小问2详解】 解：设后来放入箱子中的红球个数为x个，则此时箱子中有个红球，共有 个球． ∵从箱子中摸出一个红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴放入箱子中的红球个数为个．此时箱中红球共有个． 23. “2026苏超”赛事热度持续攀升，扬州赛区文旅打造了文创产品“包赢”系列，“包赢”取“包你赢”的美好谐音．某店销售“包赢”主题玩偶，为了惠民，实际销售时进行打折销售，打折后的售价比原价少8元/个，打折后用1200元购买的玩偶数量与按原价用1360元购买的数量相同．求打折后玩偶的销售单价． 【答案】打折后玩偶的销售单价为60元/个 【解析】 【详解】解：设打折后玩偶的销售单价为元个，则原价为元/个，由题意得： 解得：，经检验是原方程的根 答：打折后玩偶的销售单价为60元/个． 24. 如图，中，，将沿射线方向平移，得到，连接，． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，得到，证明四边形为矩形，得到，即可得证； （2）同角的余角相等，得到，解直角三角形求出的长，解直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：四边形为矩形，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 25. 如图，中，，点是上一点，以为直径作交于点，过点作交于点，连接，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）解直角三角形，得到，进而推出为等边三角形，，三线合一，得到，再利用弧长公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵交于点， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长. 26. 抛物线（、为常数）交轴于、两点，交轴于点，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线上一点，且点的横坐标为，连接，求证：； （3）如图2，点，点是抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，根据勾股定理及其逆定理，即可得证； （3）求出点坐标，进而求出直线的解析式，作轴，交于点，设，证明，列出比例式进行求解即可. 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：当时，解得， ∴， ∵，， ∴，设直线的解析式为，把，代入，得， ∴， 作轴，交于点， 设，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得（舍去）或， 当时，， ∴． 27. 【问题提出】 已知线段与直线（线段与直线不相交），如何在直线上求作点，使得最大． 【问题感知】 （1）如图，已知是的弦，直线与相切于点，连接、，点是直线上异于点的任一点，连接、，分别交于点、．求证：； 【问题解决】 （2）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 已知线段和直线（线段与直线不相交）． ①如图2，当时，在直线上求作一点，使得最大； ②如图3，当与不平行时，在直线上求作一点，使得最大． 【答案】（1）证明见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，利用外角性质得出，即可得出； （2）由（1）可知，当点是过点、，且与直线相切的切点时，最大， ①作线段的垂直平分线，交直线于，根据得出，可得点为过点、，且与直线相切的切点，故点即为所求； ②延长，交直线于，以为直径画，过点作，交于，以为圆心，为圆心画弧，交直线于点，由为的直径，可证明，，进而证明，得出，根据圆周角定理及是的直径，得出，可得直线是的切线，点为切点，故点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵和都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，当点是过点、，且与直线相切的切点时，最大， ①如图，作线段的垂直平分线，交直线于，点即为所求， ∵， ∴， ∴点为过点、，且与直线相切的切点， ∴最大． ②如图，延长，交直线于，以为直径画，过点作，交于，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，点即为所求． 如图，设过点、，的圆的圆心为，连接并延长，交于，连接，，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∵， ， ∴，即， ∴直线是的切线，切点为， ∴最大． 28. 如图，已知正方形的边长为2，点是延长线上的一个动点，连接、，点是上一点，连接，且，连接． （1）若，求的长； （2）点在延长线上运动的过程中： ①求的值； ②的大小是否为定值？如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由； ③的最小值为 ． 【答案】（1） （2）①4；②是定值，值为；③ 【解析】 【分析】（1）首先利用求出，然后在中即可求出； （2）①结合已知条件以及所在的图形，证明即可； ②通过观察可以猜想，结合图形和第①问的结论证明即可； ③由条件可知的长度都是变化的，因此首先利用，把转化为，只要确定的最小值即可，然后结合点Q的运动轨迹即可求解． 【小问1详解】 解：如图1所示， 正方形的边长为2， ． 在 中，，， 则 ． 在 中，，， 则 ； 【小问2详解】 解：①在和中， ， ． ， ； ②是定值，值为，理由： 由①已知，， ． 在和中， ， ； ③ 的最小值为 ． 理由： 由①已知 ， ，即 ． ，为定值， 当取得最小值时，也取得最小值． 由②已知， 点的运动轨迹是以=2为直径的圆上的一段弧（如图2）． 如图3，设的中点为，连接，交圆弧于，此时取得最小值． 在中，，， 则 ． ． ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似、圆、勾股定理等知识．充分挖掘前后问题之间的内在联系，能够把问题有效地进行转化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度网上阅卷第二次适应性练习试题 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（ ） A. B. 3 C. D. 2. “盂城驿”是全国规模最大、保存最完好的古代驿站．驿站中部分窗棂图案如下，其中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列整数中与最接近的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 用若干个全等的正五边形按如图方式拼接一圈后，中间形成的正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 在探究“弹簧伸长与所挂物体质量关系”的实验中，在弹性限度内，弹簧没有挂物体时长度为，若每挂物体弹簧伸长，则挂物体时的弹簧长度与的函数图像与坐标轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若关于的不等式组的解满足，且、为正整数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 科学家测得肥皂泡的厚度约为0.0000007米，0.0000007用科学记数法表示为______． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 11. 如图是某一个几何体的平面展开图，则这个几何体是_____. 12. 分解因式：___________ 13. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一根为____________． 14. 一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________． 15. 用圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为____________． 16. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，等腰中，、的坐标分别为，，反比例函数的图像经过的中点．点是线段上一点，将点绕点顺时针旋转后，其对应点恰好落在该反比例函数图像上，则点的坐标为____________． 18. 如图，点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为直角边，在线段的上方作等腰和等腰，连接，取的中点，连接．若，则在点的运动过程中，的最小值为____________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算、化简 （1）； （2）． 20. 若二元一次方程组的解满足，求的值． 21. 2026年2月，《教育部关于全面推进健康学校建设的指导意见》明确提出：开齐开足开好艺术课程，推进学科美育教学改革，丰富艺术社团活动．某中学利用艺术社团活动时间，举办了绘画比赛，每位选手提交5幅作品，评委分别打分（满分10分）．王老师对参加比赛的甲、乙两位同学的得分进行了收集、整理和分析，信息如下： 统计量 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）甲、乙选手5幅作品得分的方差分别记为，，则 （填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析，哪个参赛选手的成绩较好？ 22. 一个不透明的箱子中装有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出两个球，请用树状图或列表法求摸出的两个球是一红一白的概率； （2）往箱子中再放入若干个红球并搅匀后，随机摸出一个球是红球的概率为，则此时箱中红球共有 个． 23. “2026苏超”赛事热度持续攀升，扬州赛区文旅打造了文创产品“包赢”系列，“包赢”取“包你赢”的美好谐音．某店销售“包赢”主题玩偶，为了惠民，实际销售时进行打折销售，打折后的售价比原价少8元/个，打折后用1200元购买的玩偶数量与按原价用1360元购买的数量相同．求打折后玩偶的销售单价． 24. 如图，中，，将沿射线方向平移，得到，连接，． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． 25. 如图，中，，点是上一点，以为直径作交于点，过点作交于点，连接，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 26. 抛物线（、为常数）交轴于、两点，交轴于点，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线上一点，且点的横坐标为，连接，求证：； （3）如图2，点，点是抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标． 27. 【问题提出】 已知线段与直线（线段与直线不相交），如何在直线上求作点，使得最大． 【问题感知】 （1）如图，已知是的弦，直线与相切于点，连接、，点是直线上异于点的任一点，连接、，分别交于点、．求证：； 【问题解决】 （2）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 已知线段和直线（线段与直线不相交）． ①如图2，当时，在直线上求作一点，使得最大； ②如图3，当与不平行时，在直线上求作一点，使得最大． 28. 如图，已知正方形的边长为2，点是延长线上的一个动点，连接、，点是上一点，连接，且，连接． （1）若，求的长； （2）点在延长线上运动的过程中： ①求的值； ②的大小是否为定值？如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由； ③的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $