精品解析：2025年江苏省扬州市高邮市中考数学二模试卷

2024~2025学年度网上阅卷第二次适应性练习试题九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若，则“”内应填的实数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 早在明朝，我国民间就有用了陀螺这种运动器材，如图所示陀螺的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次校园演讲比赛中，9位评委老师给小慧同学分别打了分．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么这两组数据的下列统计量不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. “北斗系统”是我国自主建设运行全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过亿次，数据用科学记数法表示为______． 10. 在函数中，自变量的取值范围是________． 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 12. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 13. 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是______． 14. 如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为_____． 15. 如图所示，综合实践课上，聪聪用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是_____． 16. 如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 17. 将如图所示正方体展开图放在平面直角坐标系中，点、、分别落在坐标轴上，且，双曲线恰好经过点．则的值为_____． 18. 如图，在中，，⊙与的三边分别相切于点、、．若，则的面积为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解不等式组：，并求出不等式组最小整数解． 21. 某校九年级体育活动课共开设了篮球、羽毛球、乒乓球、排球、足球五项球类体育活动．为了解学生对这五项球类体育活动的喜爱情况（每人只选一项），学校从九年级全体学生中随机抽查部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成以下统计表和扇形统计图： 调查结果统计表 项目 篮球 羽毛球 乒乓球 排球 足球 人数 12 20 9 请你根据以上信息回答问题： （1）本次调查的样本容量为________，________； （2）在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为________°； （3）若该校九年级学生人数为500人，试估算该校九年级学生喜欢“羽毛球”的人数． 22. “好事成双在高邮”，“五一”期间，我市文游台、盂城驿、汪曾祺纪念馆、龙虬庄遗址4个景点迎来旅游小高峰，游客甲与游客乙只选择其中一个景点游玩． （1）游客甲选择去汪曾祺纪念馆的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，求游客甲和游客乙选择相同景点游玩的概率． 23. 现代科技的发展日新月异，机器人正在从实验室走向生产生活．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间是B型机器人搬运1600千克所用时间的一半．A、B两种机器人每小时各搬运多少千克化工原料？ 24. 如图，在矩形中，、交于点，将沿直线翻折得到． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求点、之间的距离． 25. 如图，已知直线与相离，于点，交于点，切于点，连接并延长交于． （1）判断线段、的数量关系，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 26. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）点，该抛物线上． ①若，时，求的值； ②若，求的最大值． 27. 定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． （1）如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 28. 在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度网上阅卷第二次适应性练习试题九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若，则“”内应填的实数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，用2除以进行计算即可，熟练掌握有理数的乘除运算法则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，“”内应填的实数是； 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂乘除法计算法则，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据计算法则计算判断即可 【详解】解：A.，原计算错误，故不符合题意； B.，原计算错误，故不符合题意； C.与不是同类项，不能合并，故不符合题意； D.，计算正确，故符合题意； 故选：D 3. 早在明朝，我国民间就有用了陀螺这种运动器材，如图所示的陀螺的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图．根据从正面看所得到的图形是主视图即可得到答案． 【详解】解：如图所示的陀螺的主视图是： ． 故选：A． 4. 在一次校园演讲比赛中，9位评委老师给小慧同学分别打了分．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么这两组数据的下列统计量不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分，平均数、众数、方差都可能会改变，只有中位数一定不会变， 故选：C． 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行同位角相等可得，再根据角的和差计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 7. 如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．连接、，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图∶连接、，则， 是内接正十边形的一条边， ． ∶． 由切线的性质可得， ． 故选∶B． 8. 如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，证明为等腰直角三角形，可得，点到距离的最小时，最小，所以垂直时，取最小值，再计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ，，点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 过点作的垂线段，交于点， ， 点到距离为值， ， ， 当点到距离的最小时，最小， 如图，时，最小， ， 此时， ，即点到距离的最小值为， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过亿次，数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 12. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 14. 如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，先证明，，再代入数据可得答案． 【详解】解∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，m ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：12． 15. 如图所示，综合实践课上，聪聪用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥与扇形的计算，掌握相关计算公式是解题的关键．设圆锥的底面半径为，扇形的半径为，扇形的弧长为，根据扇形的弧长=圆锥底面圆周长构建方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，扇形的半径为，扇形的弧长为， 圆锥的底面半径是， 扇形的弧长， 扇形纸板的圆心角为，， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 连接交于点，由正方形的性质可知，，根据，可判定，然后利用相似三角形的性质得到，进而求得，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可． 【详解】解：如图，取格点F，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 17. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点、、分别落在坐标轴上，且，双曲线恰好经过点．则的值为_____． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，得到点D坐标是解答的关键．过D作轴于H，设小正方形的边长为a，先证明求得，再证明求得，，进而可得，再待定系数法求解k值即可． 【详解】解：过D作轴于H，设小正方形的边长为a， 由题意，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵双曲线恰好经过点， ∴， 故答案为：36． 18. 如图，在中，，⊙与的三边分别相切于点、、．若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握切线长定理是关键．设，则，设⊙的半径为r，则证明四边形是正方形，求出，在中，，由勾股定理得到，则的面积为． 【详解】解：设，则，设⊙的半径为r，则 ∵⊙与的三边分别相切于点、、． ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ 整理得，， ∴的面积为 故答案为： 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、分式的化简，涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先进行零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值运算，再加减计算即可； （2）根据分式加减乘除运算法则和运算步骤求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组：，并求出不等式组的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握求不等式组解的步骤． 利用求一元一次不等式组的解的步骤进行计算得出解集，并在解集里面找出符合题意的解． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 所以，该不等式组的解集为， 最小整数解为． 21. 某校九年级体育活动课共开设了篮球、羽毛球、乒乓球、排球、足球五项球类体育活动．为了解学生对这五项球类体育活动的喜爱情况（每人只选一项），学校从九年级全体学生中随机抽查部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成以下统计表和扇形统计图： 调查结果统计表 项目 篮球 羽毛球 乒乓球 排球 足球 人数 12 20 9 请你根据以上信息回答问题： （1）本次调查的样本容量为________，________； （2）在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为________°； （3）若该校九年级学生人数为500人，试估算该校九年级学生喜欢“羽毛球”的人数． 【答案】（1）50，4 （2）36 （3）200人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图结合统计表，涉及用样本估计总体，从不同的统计图（表）中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由足球人数及其所占百分比可得问卷调查的学生人数；用问卷调查的学生人数乘可得的值； （2）用乘喜欢“乒乓球”人数所占百分比可得； （3）利用样本估计总体即可，即用500乘以样本中喜欢“羽毛球”的学生所占比例可得答案． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为：（人）， 故（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，喜欢“乒乓球”的人数为（人）， ∴“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生大约有200名． 22. “好事成双在高邮”，“五一”期间，我市文游台、盂城驿、汪曾祺纪念馆、龙虬庄遗址4个景点迎来旅游小高峰，游客甲与游客乙只选择其中一个景点游玩． （1）游客甲选择去汪曾祺纪念馆的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，求游客甲和游客乙选择相同景点游玩的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，利用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟练掌握简单概率计算的公式． （1）利用简单概率计算公式进行求解即可； （2）利用树状图即可求出符合条件的概率． 【小问1详解】 解：根据题意可得，等可能的结果一共有4个，符合要求的结果有1个， 所以，游客甲选择去汪曾祺纪念馆的概率是； 【小问2详解】 解：文游台、盂城驿、汪曾祺纪念馆、龙虬庄遗址4个景点分别用字母来表示，画树状图如下： 等可能出现的结果共有16种，符合条件的有4种， 所以，游客甲和游客乙选择相同景点游玩的概率为． 23. 现代科技发展日新月异，机器人正在从实验室走向生产生活．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间是B型机器人搬运1600千克所用时间的一半．A、B两种机器人每小时各搬运多少千克化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运千克化工原料，则B型机器人每小时搬运千克化工原料． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据“A型机器人搬运1000千克所用时间是B型机器人搬运1600千克所用时间的一半”列分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运千克化工原料，则B型机器人每小时搬运千克化工原料， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型机器人每小时搬运千克化工原料，则B型机器人每小时搬运千克化工原料． 24. 如图，在矩形中，、交于点，将沿直线翻折得到． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求点、之间的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）8 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据矩形的性质得，再根据翻折性质得到，根据菱形的判定即可得出结论； （2）根据菱形的性质和平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而得，再利用勾股定理求出即可解题． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形，对角线，相交于点O， ∴，，， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，又，， ∴， ∴，即点、之间的距离为8． 25. 如图，已知直线与相离，于点，交于点，切于点，连接并延长交于． （1）判断线段、的数量关系，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，，求出，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）由已知得，求得，再由勾股定理求得，则，再由勾股定理求得，延长交于点D，连接，证明得，代入计算即可求出的长． 【小问1详解】 解：，理由如下： 连接，如图， ∵切于B，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的半径为3，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图，延长交于点D，连接， ∵是直径， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 26. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）点，在该抛物线上． ①若，时，求的值； ②若，求的最大值． 【答案】（1） （2）①或②3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据，，得到，，代入解析式进行求解即可； ②根据，得到，，代入解析式后，得到关于的函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①当，时，则：，，代入，得： ，整理，得：， 解得：或； ②时，则：，， ∴， 整理，得：， ∴当时，有最大值为3． 27. 定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． （1）如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）不是的“等积线”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接，则为过点的“等积线”； （2）作的垂直平分线交于点，连接，以点为顶点，为边，作，交于点，连接，则直线为过点的“等积线”； （3）连接，，由，推出，由为中点，推出，据此即可说明不是的“等积线”． 【小问1详解】 解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，， ∴， ∴为过点的“等积线”； 【小问2详解】 解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，， ∴，， ∵， ∴为过点的“等积线”； 【小问3详解】 解：不是的“等积线”，理由如下． 连接，， ∵， ∵， ∴， ∵为中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴不是的“等积线”． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形中线的性质，平行线的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 28. 在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得，由即可证明； （2）证明，得，由即可证明； （3）以B为原点，和所在的直线为坐标轴建立坐标系，可证得，，从而得出，设，进而得出点M在直线上运动，当直线时，最小，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：； 证明如下： ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 以B为原点，和所在的直线为坐标轴建立坐标系， 则， 作于H，交于I， 则， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M在直线上运动，当直线时，最小， 设直线交于V，交y轴于，作于， 由得， ， ∴， ∴， 由得， ， ∴最小=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用全等三角形的判定与性质、确定出点M的运动路径是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$