精品解析：宁夏吴忠市第六中学2025—2026学年第二学期期中检测九年级数学试卷

吴忠市第六中学2025-2026学年第二学期期中检测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵ 正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最大的数在和中， ∵，，且， ∴， ∴最大的数是， 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体． 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 如图：（其中一种情形） 故选：A． 6. 如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 7. 直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点：如此循环进行下去．按照上面的操作，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以写出点、、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ……， ∴四个点一个循环， ∴， ∴点的坐标与点的坐标相同，即． 8. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键； 根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：A. 二．填空（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：= ． 10. 利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象可得交点坐标． 【详解】解：将方程变形为，  观察函数图象可知，直线与直线的交点坐标为 ，  方程组的解为 ． 11. 数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出3张卡片所有等可能的排列结果数，再找出从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解: 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、， 把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种， 其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种， 故恰好排成“2026中考必胜”的概率是． 12. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为； 故答案：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 14. 定义新运算：，若，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 15. 如图，正边形纸片被撕掉一部分后，发现其中两边的夹角，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正边形的外角和与的关系，根据正多边形每个外角都相等的性质，可求得的度数，再利用多边形外角和除以外角的大小即可求． 【详解】如图：延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 正边形的每个外角相等， ， ， ， ，且， , , ， ． 16. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再利用乘方、绝对值、负整数指数幂的性质化简，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的（为整数）． 【答案】；当时，原式；时，原式 【解析】 【分析】本题考查了解分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 19. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，将补成中心对称图形； （2）在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得； （3）在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点．使得． 【答案】（1）解：如下图，四边形即为所求； （2）解：如下图，点D即为所求； （3）解：如下图，点M即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，使得且，连接，易得四边形为平行四边形，结合平行四边形为中心对称图形，即可获得答案； （2）取格点，使得且，连接，易得四边形为平行四边形；连接，交于点，结合平行四边形的性质“平行四边形的对角线相互平分”，可知，即可获得答案； （3）取格点F，在线段上取点G，使得，且，连接交于点，易得，故有． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 21. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，并购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用4000元购买型机器人模型和用2400元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共40台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的3倍，问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）型机器人模型的单价是500元，型机器人模型的单价是300元 （2）购买型机器人模型10台，型机器人模型30台时花费最少，最少花费是14000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答； （2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意列出不等式，求出的范围，设购买机器人模型的花费为元，列出与的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：型机器人模型的单价是500元，型机器人模型的单价是300元． 【小问2详解】 解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， 由题意得，， 解得：， 设购买机器人模型的花费为元， 则， ， 随着的增大而增大， ， 当时，有最小值，最小值为（元），此时． 答：购买型机器人模型10台，型机器人模型30台时花费最少，最少花费是14000元． 22. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 23. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析． 【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了50名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于40分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用表示成绩，A组：，B组：C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：82，84，84，84，84，85，85，86，87，87，88，88，89，89，89，89． 【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 a 81 81 175.52 乙校 81 79 154.16 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全甲校样本条形统计图： （2）乙校样本中组的频率是___________； （3）甲校共有500人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有___________人． （4）___________，___________；（计算平均数时，把各组的成绩用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （5）请从某一方面简要说明哪个学校综合素质较好． 【答案】（1）条形统计图如下： （2）； （3）； （4），； （5）解：从方差来看，乙学校方差更小，乙学校综合素质较好． 【解析】 【分析】（1）先求出甲校中组别C的人数，进而补全统计图即可； （2）求出乙校样本中组的频数，即可求出其频率； （3）用乘以甲校样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案； （4）根据平均数、中位数的概念计算即可； （5）任选一方面合理判断即可． 【小问1详解】 解：甲校中C组人数为（人）， 条形统计图略； 【小问2详解】 解：乙校样本中组的频数是16， ∴乙校样本中组的频率是； 【小问3详解】 解：（人）； 【小问4详解】 解：； 在乙校共抽取50名学生，其第名和第名学生成绩的平均数为中位数， ∵乙校的F组中有人，E组中有16人， ∴乙校的第名和第名学生成绩在E组中， 将E组成绩从小到大排列为82，84，84，84，84，85，85，86，87，87，88，88，89，89，89，89， ∴第名和第名学生成绩分别为和， ∴； 【小问5详解】 略 24. 如图，是的直径，是上的两点，延长至点，连接． （1）求证：是的切线； （2），求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由圆周角定理得，则等量代换，即可求证； （2）由圆周角定理可得，再证明，则，求得，，那么，即可求解半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴，即的半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，，再分当时，当当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （3）过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，由， 可得，，设，则，再建立关于t的二次函数即可； 【小问1详解】 解：解：∵抛物线过、，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则 ， 解得， ∴； 综上所述：或； 【小问3详解】 解：如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F， ∴， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值， ∴此时的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 26. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①为的中点，当点在线段上时，线段的延长线交线段于点，记与交于点，有如下两种情况，两种情况解法相同． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ②为的中点，当点在线段上时，线段交线段于点，延长交于，有如下两种情况，两种情况解法相同． 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题是一道以菱形与等边三角形为载体的几何综合题，解决这道题的第二小问核心在于通过旋转构造全等三角形，第三小问中，要区分射线带来的多解情况，需对点的不同位置分类讨论，不能遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第六中学2025-2026学年第二学期期中检测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 5 6. 如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（ ） A. B. C. D. 7. 直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点：如此循环进行下去．按照上面的操作，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 二．填空（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：___________ 10. 利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为________． 11. 数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是____________． 12. 不等式组的解集是___________． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 14. 定义新运算：，若，则的值是______． 15. 如图，正边形纸片被撕掉一部分后，发现其中两边的夹角，则的值为___________ 16. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的（为整数）． 19. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，将补成中心对称图形； （2）在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得； （3）在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点．使得． 20. 【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 21. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，并购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用4000元购买型机器人模型和用2400元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共40台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的3倍，问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 23. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析． 【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了50名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于40分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用表示成绩，A组：，B组：C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：82，84，84，84，84，85，85，86，87，87，88，88，89，89，89，89． 【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 a 81 81 175.52 乙校 81 79 154.16 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全甲校样本条形统计图： （2）乙校样本中组的频率是___________； （3）甲校共有500人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有___________人． （4）___________，___________；（计算平均数时，把各组的成绩用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （5）请从某一方面简要说明哪个学校综合素质较好． 24. 如图，是的直径，是上的两点，延长至点，连接． （1）求证：是的切线； （2），求的半径． 25. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 26. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $