解直角三角形 专题抢分训练—《中考导航》2026年广东中考数学高分特训专辑

**基本信息** 以实际测量为核心，融合项目式学习与跨学科应用，构建解直角三角形的情境化训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |测量长度类|13题|结合地标建筑（如嵩山银杏、港珠澳大桥）设计高度、距离测量问题，涉及仰角俯角、方位角|从三角函数定义出发，通过构造直角三角形，建立边角关系解决实际测量问题| |项目式学习|3题|以课题研究（如遮阳棚设计、塔高测量方案）为载体，包含方案设计与数据处理|整合相似三角形、圆弧知识，体现数学建模与问题优化的逻辑链条| |跨学科|4题|结合物理（光的折射）、历史（耧车）、化学（溶液体积测量）设计综合问题|运用数学抽象能力，将跨学科情境转化为解直角三角形模型，强化应用意识|

解直角三角形 考向1：测量长度类 1．（2026·河南·模拟预测）嵩山少林寺古银杏，相传为千年名木，是少林寺标志性景观之一．某数学兴趣小组准备用学过的数学知识测量这棵银杏树的高度．具体方法如下：如图，在处利用高为的测角仪（即）测得这棵银杏树顶端点的仰角的度数为，在距离点的处（即）竖立一根高为的标杆（即），使地面上的点、标杆顶端点和银杏树顶端点在同一直线上，测得．已知，，，点、、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内（参考数据：，，） (1)证明：； (2)求这棵银杏树的高度． 【答案】(1)证明：，， ， ， ； (2) 【分析】（1）由，，得；又为公共角，即可证； （2）先延长交于，构造矩形，得，．由，设，则，，．利用的比例关系，列方程，解得，故． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点，如图， 由题意得，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ， 设，则，，， ， ，即 解得， ， 这棵银杏树的高度为． 2．（2026·浙江杭州·二模）【研学实践】：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都是当地的地标，在古时主要承担报时之责．杭州鼓楼坐落于杭州市上城区清河坊，始建于隋代，五代吴越国时曾改建，现存的建筑是2002年依明代风格复建的．周末我校研学小组对杭州鼓楼的高度进行测量． 【方案设计】：如图，观察员在地面上的点A处观察点C的仰角为，观察员在点A处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点B处时，测得鼓楼顶端点D的俯角为． (1)【数据应用】：已知图中各点均在同一竖直平面内，C，D两点的水平距离，，．请根据上述数据．计算杭州鼓楼的顶端D到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） (2)【反思改进】：研学小组的测量结果与鼓楼实际高度存在约的误差，为了减少误差，小组同学想出了许多办法．请你帮研学小组提出一条合理的减少误差的建议．（字数不超过20个字） 【答案】(1) (2)多次改变无人机高度，进行测量，求平均值 【分析】（1）过点作于点，延长交于点，由矩形的判定与性质得到相关角度与线段长度，数形结合，由正切函数定义列式求解即可得到答案； （2）根据多次测量求平均值减小测量误差方法进行解答即可． 【详解】（1）解：过点作于点，延长交于点，如图所示： 则四边形、四边形都是矩形，， ∴，，， 设，则， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 答：杭州鼓楼的顶端到地面的距离约为． （2）略 3．（2026·湖南长沙·三模）小李同学准备外出参加活动，需网购一拉杆箱．图①、图②分别是她在网上看到的某型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度相等，点B、点F在上，点C在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列问题． (1)求的长度； (2)求拉杆端点A到水平滑杆的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，在中，解直角三角形可求出，的长，再根据是等腰直角三角形求出、，根据，求出的长，进而求出即可； （2）过点作交的延长线于， 在中，解直角三角形可求出的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ， ，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交的延长线于， ， ． 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）在历史的变迁中，武威南城门楼经历了一次次翻新与重建，武威南城门楼又称昭武门（如图），某校“综合与实践”小组计划测量“武威南城门楼”的高度．他们制定了测量方案并完成了 实地测量．如图2，该小组同学在城楼前点C 处用测角仪（高度不计）测得城楼顶端A的仰角，向城楼的另一侧前进到达点D处 （ ），再次测得城楼顶端A 的仰角．已知该同学的眼睛到地面的距离为，请根据上述测量数据，求武威南城门楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】武威南城门楼的高度约为 【分析】连接，过点A作，垂足为，可得四边形是矩形，从而得，然后设，在和中，分别表示出，的长，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：连接，过点A作，垂足为， 则四边形是矩形， ， 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得， ， ， 即武威南城门楼的高度约为． 5．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【分析】（1）根据速度及时间求出海里，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出x的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出海里，即可求出海里，得出从B到达码头A所用时间为2.375小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，从B处到C处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从B到达码头A所用时间为（小时）， ∵到是3小时，而， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）综合与实践 【课题背景】如图1，位于陇西县的威远楼是陇上著名古建筑，巍峨壮丽，气魄非凡．因其年代久远和构造精妙，成为陇西悠久历史和灿烂文化的象征．某校学生开展了“测量威远楼高度”的综合与实践活动．测量示意图如图2，点A为威远楼最顶端，点B为威远楼底部，位于水平地面． 【测量工具】皮尺，测角仪 【测量过程】①测量者在点C处，利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰角为； ②测量者在点D处（点B，C，D在同一条直线上，），利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰角为； ③测量者利用皮尺测得的距离为3.6米． 注：测角仪高度忽略不计． 【任务目标】根据上述测量数据，求威远楼的高度（结果保留整数，参考数据：，，；，，．） 【答案】威远楼的高度为米 【分析】据题意得：，设，利用正切函数得出，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 设， ， 解得：， 故威远楼的高度为米． 7．（2026·湖北襄阳·二模）某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图2所示，已知，，该地冬至正午太阳高度角为，求此时太阳照到住宅楼墙面的位置与地面之间的高度的长．（参考数据：，，．结果保留小数点后一位） 【答案】 【分析】如图，过A作于E，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：如图，过A作于E， 由题意得，四边形为矩形，， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． ∴太阳照到住宅楼墙面的位置与地面之间的高度的长为1.4米． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，某勘测队计划在、两座岛屿之间修建跨海大桥．为测量两岛之间的距离，勘测队在海岸线上选取了两个观测点和，其中在的正东方向，且米．在观测点处测得：岛屿在北偏西方向上，岛屿在北偏东方向上．在观测点处测得：岛屿在北偏东方向上，岛屿在北偏东方向上．、、、在同一水平面内． (1)求观测点到岛屿的距离（结果保留整数）； (2)求岛屿、之间的距离（结果保留整数）．参考数据：，，；，，； 【答案】(1)观测点到岛屿的距离为588米 (2)岛屿、之间的距离约为1075米 【分析】（1）过作于，设，求解，，再进一步求解即可； （2）连接， 证明，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过作于，设， 由题意可得：，， 在中， ∴,， 在中，， ， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）； 答：观测点到岛屿的距离为588米． （2）解：连接，由题意得：，， 在中：， ∴， ∴， ∴（米）． 答：岛屿、之间的距离约为1075米． 9．（2026·广东云浮·一模）综合与实践 【阅读材料】 港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，集桥梁、人工岛、海底隧道于一体．大桥极大地缩短了三地之间的距离，是粤港澳大湾区重要的交通枢纽，被誉为世界工程奇迹． 【问题提出】 某数学实践小组想用所学的知识测量港珠澳大桥中一座桥塔的高度． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪． 测量过程：如图2，是桥面与桥塔的交点，在桥面上点处测得桥塔顶部的仰角，桥塔底部的俯角，沿的方向走到点，测得桥塔顶部的仰角，经测量，得，． 【问题解决】 (1)求线段的长； (2)求桥塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在等腰直角三角形中得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：在中， ，，则， ， 在中，，，则， 解得； （2）解：在中，，，，则， 解得， ， ． 10．（2026·河北邯郸·模拟预测）防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面，门宽．（参考数据：，，） (1)如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求长； (2)在（1）的条件下，当左门绕点逆时针打开时（如图3），点落在点处，求此时点到墙面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，利用在中，求出； （2）过点作于点，于点F，在中利用三角函数求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，于点F， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意得， 在中，，，， 则， 根据解析（1）得：， ∴， ∴， 答：点到墙面的距离约为． 11．（2026·河南驻马店·三模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座4G信号基站（图1）进行测试． (1)测试人员在距离基站米的处测得基站的顶端的仰角为，基站与地面垂直，示意图如图2所示，则基站的高度为________米．（用含，的式子表示） (2)信号强度（单位：相对值）与手机到基站的距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足反比例函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数，测试人员在距离基站200米处测得信号强度为1个单位． ①求关于的函数表达式． ②工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 通过计算说明，手机距离基站多少米以外，上网容易掉线．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】(1) (2)①； ②上网容易掉线对应的信号强度为． 令，解得，即． ∴（米）． 由反比例函数图象，可知时，，即， ∴手机距离基站632米之外，上网容易掉线． 【分析】（1）利用正切的定义求得长即可； （2）①利用待定系数法求解析式即可； ②令，解出，进而解，然后根据图象写出不等式的解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①由题意，可知，则，此时． 把代入，得． ∴关于的函数表达式为． ②略 12．（2026·广西南宁·三模）综合与实践 课题：估算铜鼓高度 背景 河池环江毛南族自治县巨型传世铜鼓获评吉尼斯世界纪录，其鼓面上的太阳纹是岭南各民族文化的交融，某研学小组实地对其进行测量． 实践 【工具准备】卷尺、测角仪 【数据收集】如图所示，铜鼓鼓面可以看成，点，均为太阳纹点，被太阳纹点八等分．为测量直径，测角仪离地高度，，均垂直地面，先在处测得最高点的仰角，沿向铜鼓直行到达点，在处测得最高点的仰角，最低点距地面的垂直距离． 【数据处理】请你协助研学小组完成以下任务： (1)任务一：求； (2)任务二：计算的直径； (3)任务三：计算的长度．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据被太阳纹点八等分求解即可； （2）设，分别在和解直角三角形表示出，然后列方程求出，，进而求解即可； （3）首先求出的半径，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，均为太阳纹点，被太阳纹点八等分， ∴； （2）解：根据题意得，四边形，都是矩形， ∴，， ∴， 设， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴的直径为； （3）解：∵， ∴的半径， ∵， ∴的长度为． 13．（2026·广东佛山·三模）综合与实践 【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标．某数学学习小组开展了以下探究活动： 主题 测量新城之眼摩天轮的直径 抽象 如图2为简化示意图，直线表示水平地面，线段表示经过摩天轮最高点与最低点的直径． 工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器 过程 步骤：1．在空旷场地选取一点，测得点与的水平距离为； 2．无人机从点处竖直向上飞行到点，测得最低点的仰角为； 3．无人机继续竖直向上飞行到达点，测得最高点的俯角为；（注：图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上．） 【问题解决】 (1)计算摩天轮的直径（结果精确到，数据：，，，）； 【评价反思】 (2)设计其他方案计算摩天轮的直径． 要求：选用【工具】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】(1)佛山新城之眼的直径约为 (2)解法一： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在空旷平地找一点， 步骤2：无人机从点处竖直向上飞行到点，使得此时测得点的仰角为，即处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行米到达点，此时测得点的俯角为，即处于同一水平面上； 则米，所以的距离就是米． 解法二： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一点， 步骤2：无人机从点处竖直向上飞行到点，使得此时测得点的仰角为，与处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行米到达点，此时测得点的俯角为，与处于同一水平面上； ∴，， ∴四边形为平行四边形，所以米，所以的距离就是米． 解法三： 测量工具：无人机，测倾器 测量过程： 步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一个能够看到最高点的地方，设为点，架上测倾器 步骤2：利用测倾器，从处测得点的仰角为，测得点的仰角为 步骤3：利用无人机测得点与直径的水平距离为米， 延长交于，过点作于点， 则四边形是矩形． 米． 则，， ∴，， ∴． 【分析】（1）如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，过点作的垂线，在中，求解，可得， 结合，再进一步求解即可. （2）根据测量工具与的计算方法，结合矩形，平行四边形的性质，三角函数的应用，设置合理的测量方案即可； 【详解】（1）解：如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，过点作的垂线， 则四边形均为矩形，，，         ，，．         在中，， ．             在中，， 即． ．             ． 答：佛山新城之眼的直径约为． （2）略 考向2：项目式学习 14．（2026·河南平顶山·三模）河南省郑州市地处中国中部，地势西高东低、整体平缓，位于北纬，东经之间，这里四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷干燥，春季干旱多风，秋季天高气爽且温度适中．此地一年中冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小约为，夏至这一天正午时刻太阳光与地面的夹角最大约为．河南省郑州市某居民住户的窗户朝南，窗户高度为2米．现要求设计遮阳棚，能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，同时还希望有一定的观赏性．某数学课题研究小组针对“如何设计遮阳棚”这一课题进行了探究，如下表所示： 项目内容：设计遮阳棚 方案一：平面型 方案二：圆弧型   根据直角形遮阳棚样品图，抽象数学模型，画出如图1所示的示意图．代表窗户的高，，A，B，C三点共线，代表遮阳棚的宽，，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最小夹角时的光线．   设计成以点B为圆心，图中的长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚，如图2．在圆弧形遮阳棚点H处牵引绳子（其中点H是的中点)，绳子由图中和两部分组成，． （参考数据：，，，，，，，，） 根据以上数据 (1)计算方案一中的遮阳棚的宽的长；（结果精确到0.01米） (2)计算方案二中牵引绳子的总长度． 【答案】(1)遮阳棚的宽约为0.42米 (2)牵引绳子的总长度为2.68米 【分析】（1）在中，由得，设，则．求出．在中，由得，求出即可． （2）在中，先求出，连接，则，求出．由H为的中点可求出．求出、的长即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，知米，，． ， ， 在中，，， ． 设，则． ． 在中，，， ，即． 解得． 答：遮阳棚的宽约为0.42米． （2）解：由（1）得在中，， ， 如图2，连接． ． 由题意，得． ∵H为的中点． ． ． ， ， 在中，，， ，． ， ， 答：牵引绳子的总长度为2.68米． 15．（2026·河南周口·模拟预测）妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西7.5公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔．某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点D处用距离地面的测角仪CD测出妙乐寺塔顶端A的仰角． 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A，，，． 参考数据 ，，． ，，． 备注 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③均与地面垂直． (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为_______组的测量报告存在问题，并提出修改建议______； (2)请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到）． 【答案】(1)甲；应测量出的距离 (2)妙乐寺塔的高度约为 【分析】（1）甲的报告没有边长的数据，无法解直角三角形，建议加一个边长相关的数据即可； （2）先在直角中利用正切函数求出的长，然后求出的长，最后在直角中，利用正切函数求出的长即可． 【详解】（1）解：甲的测量报告存在问题： 建议：应测量出的距离，才能利用求出的长，进而求出的高； （2）解：由题意可知， 在直角中，， ∴（）， ∴， 在直角中，， ∴． 答：妙乐寺塔的高度约为． 16．（2026·广东东莞·一模）项目式学习 日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1，圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． 【数据探究】 (1)图3是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角为______． (2)图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿．已知为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） 【解决问题】 (3)该小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部．已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计，参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)夏至时测量时光线与地平面夹角为；冬至时测量时光线与地平面夹角为 (3)树的高度为14米 【分析】（1）根据晷面与地平面的夹角为当地纬度，计算即可得出结果； （2）分别求出，的值，结合题意分析即可得出结果； （3）过作于，由（1）可知春分光线与地平面夹角为，分别解直角三角形得出米，米，最后结合矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：晷面与地平面的夹角为； （2）解：据题意可知：在中，， 故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角， 在中，， 故冬至时测量时光线与地平面夹角； （3）解：过作于，如图所示： 由（1）可知春分光线与地平面夹角为， 在中，，且米， ， 故（米） 由（2）可知冬至光线与地平面夹角为， ， 米， 由条件可知，四边形为矩形， ， ∴（米） 故树的高度为14米． 考向3：跨学科 17．（2026·河北·三模）明轩在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题：她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离． 【答案】点到点的距离约为 【分析】根据，得到，根据，，得到，继而通过证明四边形是矩形，得到． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴点到点的距离约为． 18．（25-26九年级下·湖南湘西·期中）耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)当耧车不工作时，求的度数． (2)当耧车不工作时，求点A到地面的距离. (3)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求出的度数，再利用三角形的外角和定理即可得； （2）过点 作 ，由即可求得； （3）利用工作时的正弦值求出耧把工作时到地面的高度，用不工作时的高度减去工作时的高度即端点A下降的高度． 【详解】（1）解：， ， ； （2）如图 1，过点 作 ， 在 中，， ， 点A到地面的距离； （3）如图 2，过点 作 ， 在 中，， ， ， 答：耧把从不工作到工作时端点 A 下降的高度约为． 19．（2026·江苏泰州·二模）综合实践：测量强酸溶液的体积 如图，是一瓶盛装强酸溶液的容器，因容器壁厚无法直接测得液体的底面半径，实验小组通过建模与抽象，设计方案求强酸溶液的体积． 【数学建模】 图2为容器圆柱形主视图，是液面，为直径，作交于点E，底面圆半径为r． 【测量方案】 ①如图1，测量容器竖直放置时原液面高度h； ②如图2，把圆柱形容器倾斜一定角度，液面不超过圆柱形部分，记倾斜角； ③如图2，测量倾斜状态下液面与容器壁的接触长度，记为l． 【解决问题】 (1)如图2，倾斜部分液体（主视图为）的高度记为，若此部分液体竖直放置时高度记为，部分可以看成是矩形部分的一半．按照体积不变的关系，可知： ； (2)填空： （用r和表示），原液面高度 （用r、l、β表示）； (3)实验小组测得，，，结合（1）、（2）得到的结论，请你通过计算求出强酸溶液的体积．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）设底面积为，按照体积不变的关系，可得，即可求出的值， （2）易得，，解即可得的表达式，根据即可得的表达式，根据即可得的表达式； （3）将，，，代入的表达式中，即可求出的值，根据即可求出强酸溶液的体积． 【详解】（1）解：设底面积为， 依题意得：， ∴． （2）解：依题意得：， ∵，， ． 在中，， ，即． ∵， ． ∴． （3）解：，，，， ∴，解得． ∴． 20．（2026·吉林·模拟预测）材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 我们把入射角的正弦值和折射光线与法线夹角的正弦值之比称为折射率（），即 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，已知光线从空气进入水中时的折射率为．请依据相关材料解决下列问题： (1) ； (2)求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义可得，即可求解； （2）直接解即可． 【详解】（1）解：∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为，． ∴， ； （2）解：∵ ∴在中，， ∵ 答：的长约为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 解直角三角形 考向1：测量长度类 1．（2026·河南·模拟预测）嵩山少林寺古银杏，相传为千年名木，是少林寺标志性景观之一．某数学兴趣小组准备用学过的数学知识测量这棵银杏树的高度．具体方法如下：如图，在处利用高为的测角仪（即）测得这棵银杏树顶端点的仰角的度数为，在距离点的处（即）竖立一根高为的标杆（即），使地面上的点、标杆顶端点和银杏树顶端点在同一直线上，测得．已知，，，点、、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内（参考数据：，，） (1)证明：； (2)求这棵银杏树的高度． 2．（2026·浙江杭州·二模）【研学实践】：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都是当地的地标，在古时主要承担报时之责．杭州鼓楼坐落于杭州市上城区清河坊，始建于隋代，五代吴越国时曾改建，现存的建筑是2002年依明代风格复建的．周末我校研学小组对杭州鼓楼的高度进行测量． 【方案设计】：如图，观察员在地面上的点A处观察点C的仰角为，观察员在点A处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点B处时，测得鼓楼顶端点D的俯角为． (1)【数据应用】：已知图中各点均在同一竖直平面内，C，D两点的水平距离，，．请根据上述数据．计算杭州鼓楼的顶端D到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） (2)【反思改进】：研学小组的测量结果与鼓楼实际高度存在约的误差，为了减少误差，小组同学想出了许多办法．请你帮研学小组提出一条合理的减少误差的建议．（字数不超过20个字） 3．（2026·湖南长沙·三模）小李同学准备外出参加活动，需网购一拉杆箱．图①、图②分别是她在网上看到的某型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度相等，点B、点F在上，点C在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列问题． (1)求的长度； (2)求拉杆端点A到水平滑杆的距离．（结果保留根号） 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）在历史的变迁中，武威南城门楼经历了一次次翻新与重建，武威南城门楼又称昭武门（如图），某校“综合与实践”小组计划测量“武威南城门楼”的高度．他们制定了测量方案并完成了 实地测量．如图2，该小组同学在城楼前点C 处用测角仪（高度不计）测得城楼顶端A的仰角，向城楼的另一侧前进到达点D处 （ ），再次测得城楼顶端A 的仰角．已知该同学的眼睛到地面的距离为，请根据上述测量数据，求武威南城门楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 5．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）综合与实践 【课题背景】如图1，位于陇西县的威远楼是陇上著名古建筑，巍峨壮丽，气魄非凡．因其年代久远和构造精妙，成为陇西悠久历史和灿烂文化的象征．某校学生开展了“测量威远楼高度”的综合与实践活动．测量示意图如图2，点A为威远楼最顶端，点B为威远楼底部，位于水平地面． 【测量工具】皮尺，测角仪 【测量过程】①测量者在点C处，利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰角为； ②测量者在点D处（点B，C，D在同一条直线上，），利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰角为； ③测量者利用皮尺测得的距离为3.6米． 注：测角仪高度忽略不计． 【任务目标】根据上述测量数据，求威远楼的高度（结果保留整数，参考数据：，，；，，．） 7．（2026·湖北襄阳·二模）某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图2所示，已知，，该地冬至正午太阳高度角为，求此时太阳照到住宅楼墙面的位置与地面之间的高度的长．（参考数据：，，．结果保留小数点后一位） 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，某勘测队计划在、两座岛屿之间修建跨海大桥．为测量两岛之间的距离，勘测队在海岸线上选取了两个观测点和，其中在的正东方向，且米．在观测点处测得：岛屿在北偏西方向上，岛屿在北偏东方向上．在观测点处测得：岛屿在北偏东方向上，岛屿在北偏东方向上．、、、在同一水平面内． (1)求观测点到岛屿的距离（结果保留整数）； (2)求岛屿、之间的距离（结果保留整数）．参考数据：，，；，，； 9．（2026·广东云浮·一模）综合与实践 【阅读材料】 港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，集桥梁、人工岛、海底隧道于一体．大桥极大地缩短了三地之间的距离，是粤港澳大湾区重要的交通枢纽，被誉为世界工程奇迹． 【问题提出】 某数学实践小组想用所学的知识测量港珠澳大桥中一座桥塔的高度． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪． 测量过程：如图2，是桥面与桥塔的交点，在桥面上点处测得桥塔顶部的仰角，桥塔底部的俯角，沿的方向走到点，测得桥塔顶部的仰角，经测量，得，． 【问题解决】 (1)求线段的长； (2)求桥塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 10．（2026·河北邯郸·模拟预测）防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面，门宽．（参考数据：，，） (1)如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求长； (2)在（1）的条件下，当左门绕点逆时针打开时（如图3），点落在点处，求此时点到墙面的距离． 11．（2026·河南驻马店·三模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座4G信号基站（图1）进行测试． (1)测试人员在距离基站米的处测得基站的顶端的仰角为，基站与地面垂直，示意图如图2所示，则基站的高度为________米．（用含，的式子表示） (2)信号强度（单位：相对值）与手机到基站的距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足反比例函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数，测试人员在距离基站200米处测得信号强度为1个单位． ①求关于的函数表达式． ②工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 通过计算说明，手机距离基站多少米以外，上网容易掉线．（结果保留整数．参考数据：） 12．（2026·广西南宁·三模）综合与实践 课题：估算铜鼓高度 背景 河池环江毛南族自治县巨型传世铜鼓获评吉尼斯世界纪录，其鼓面上的太阳纹是岭南各民族文化的交融，某研学小组实地对其进行测量． 实践 【工具准备】卷尺、测角仪 【数据收集】如图所示，铜鼓鼓面可以看成，点，均为太阳纹点，被太阳纹点八等分．为测量直径，测角仪离地高度，，均垂直地面，先在处测得最高点的仰角，沿向铜鼓直行到达点，在处测得最高点的仰角，最低点距地面的垂直距离． 【数据处理】请你协助研学小组完成以下任务： (1)任务一：求； (2)任务二：计算的直径； (3)任务三：计算的长度．（参考数据：，） 13．（2026·广东佛山·三模）综合与实践 【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标．某数学学习小组开展了以下探究活动： 主题 测量新城之眼摩天轮的直径 抽象 如图2为简化示意图，直线表示水平地面，线段表示经过摩天轮最高点与最低点的直径． 工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器 过程 步骤：1．在空旷场地选取一点，测得点与的水平距离为； 2．无人机从点处竖直向上飞行到点，测得最低点的仰角为； 3．无人机继续竖直向上飞行到达点，测得最高点的俯角为；（注：图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上．） 【问题解决】 (1)计算摩天轮的直径（结果精确到，数据：，，，）； 【评价反思】 (2)设计其他方案计算摩天轮的直径． 要求：选用【工具】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 考向2：项目式学习 14．（2026·河南平顶山·三模）河南省郑州市地处中国中部，地势西高东低、整体平缓，位于北纬，东经之间，这里四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷干燥，春季干旱多风，秋季天高气爽且温度适中．此地一年中冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小约为，夏至这一天正午时刻太阳光与地面的夹角最大约为．河南省郑州市某居民住户的窗户朝南，窗户高度为2米．现要求设计遮阳棚，能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，同时还希望有一定的观赏性．某数学课题研究小组针对“如何设计遮阳棚”这一课题进行了探究，如下表所示： 项目内容：设计遮阳棚 方案一：平面型 方案二：圆弧型   根据直角形遮阳棚样品图，抽象数学模型，画出如图1所示的示意图．代表窗户的高，，A，B，C三点共线，代表遮阳棚的宽，，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最小夹角时的光线．   设计成以点B为圆心，图中的长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚，如图2．在圆弧形遮阳棚点H处牵引绳子（其中点H是的中点)，绳子由图中和两部分组成，． （参考数据：，，，，，，，，） 根据以上数据 (1)计算方案一中的遮阳棚的宽的长；（结果精确到0.01米） (2)计算方案二中牵引绳子的总长度． 15．（2026·河南周口·模拟预测）妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西7.5公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔．某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点D处用距离地面的测角仪CD测出妙乐寺塔顶端A的仰角． 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A，，，． 参考数据 ，，． ，，． 备注 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③均与地面垂直． (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为_______组的测量报告存在问题，并提出修改建议______； (2)请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到）． 16．（2026·广东东莞·一模）项目式学习 日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1，圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． 【数据探究】 (1)图3是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角为______． (2)图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿．已知为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） 【解决问题】 (3)该小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部．已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计，参考数据：，，，，） 考向3：跨学科 17．（2026·河北·三模）明轩在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题：她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离． 18．（25-26九年级下·湖南湘西·期中）耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)当耧车不工作时，求的度数． (2)当耧车不工作时，求点A到地面的距离. (3)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度． 19．（2026·江苏泰州·二模）综合实践：测量强酸溶液的体积 如图，是一瓶盛装强酸溶液的容器，因容器壁厚无法直接测得液体的底面半径，实验小组通过建模与抽象，设计方案求强酸溶液的体积． 【数学建模】 图2为容器圆柱形主视图，是液面，为直径，作交于点E，底面圆半径为r． 【测量方案】 ①如图1，测量容器竖直放置时原液面高度h； ②如图2，把圆柱形容器倾斜一定角度，液面不超过圆柱形部分，记倾斜角； ③如图2，测量倾斜状态下液面与容器壁的接触长度，记为l． 【解决问题】 (1)如图2，倾斜部分液体（主视图为）的高度记为，若此部分液体竖直放置时高度记为，部分可以看成是矩形部分的一半．按照体积不变的关系，可知： ； (2)填空： （用r和表示），原液面高度 （用r、l、β表示）； (3)实验小组测得，，，结合（1）、（2）得到的结论，请你通过计算求出强酸溶液的体积．（参考数据：，） 20．（2026·吉林·模拟预测）材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 我们把入射角的正弦值和折射光线与法线夹角的正弦值之比称为折射率（），即 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，已知光线从空气进入水中时的折射率为．请依据相关材料解决下列问题： (1) ； (2)求的长．（结果精确到；参考数据：，，） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $