21.8 梯形课件2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件围绕“梯形”展开，系统讲解梯形的定义、相关概念（上底、下底、腰、高）、分类（直角梯形、等腰梯形）及等腰梯形性质，通过生活图片（中式家具、龙门起重机等）导入，引导学生观察对比平行四边形，建立新旧知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于以生活实例抽象概念培养数学眼光，通过动手分割梯形（如分成平行四边形和三角形）、逻辑推理证明性质（如等腰梯形两底角相等）发展数学思维，规范解题步骤（如堤坝横断面面积计算）强化数学语言。助力学生形成转化思想，提升几何能力，教师可高效开展探究式教学。

21.8 梯形 第二十一章 四边形 22100 学 习 目 标 1 2 3 理解梯形的定义及相关概念（上底、下底、腰、高），掌握直角梯形、等腰梯形的定义，理解等腰梯形的性质，能运用性质进行计算与证明 经历梯形概念的形成、性质的探究与证明过程，体会转化与化归、数形结合的数学思想，提升逻辑推理与辅助线构造能力 在探究与应用中感受梯形在生活中的应用价值，培养严谨的几何思维，体会转化思想在解决梯形问题中的作用 22100 导入新课 　　问题1:观察下列图片,你能从中找到哪些熟悉的四边形?除了我们学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形之外,还有哪些特殊的四边形? 22100 3 导入新课 　　问题2:这类图形有什么共同特征?它与平行四边形有什么不同之处?你还知道它的哪些相关知识?你还能提出什么数学问题? 22100 4 我们把只有一组对边平行的四边形叫作梯形 梯形 四边形 只有一组对边平行 例 如图，在梯形ABCD中，＿＿和＿＿分别是梯形的上底和下底，＿＿和＿＿都是梯形的腰，DE⊥AB于点E，＿＿是梯形的高. 在梯形中，平行的两边叫作梯形的底，通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底；不平行的两边叫作梯形的腰；梯形上底和下底之间的垂线段叫作梯形的高. DC AB DA CB DE D C B E A 梯形有没有特殊的分类呢？ 22100 类比三角形的分类： 有一个角是直角的梯形叫作 . 两腰相等的梯形叫作 . 它们都是特殊的梯形. 直角梯形 等腰梯形 直角梯形 等腰梯形 22100 新知探究 梯形的定义 四边形 只有一组对边平行 梯形 我们把只有一组对边平行的四边形叫作梯形. 注意事项： ① 必须是 “有且仅有一组”，两组都平行的是平行四边形，不属于梯形 ② 另一组对边一定不平行，否则就是平行四边形了 22100 新知探究 梯形各部分名称及分类 梯形 A B C D E 上底 下底 腰 腰 高 在梯形中,平行的两边叫作梯形的底， 通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底; 如图CD为梯形上底，AB为梯形下底 不平行的两边叫作梯形的腰; 如图AD和BC是梯形的腰 梯形上底和下底之间的垂线段叫作梯形的高 如图DE为梯形的高 如图，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形, 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 它们都是特殊的梯形. 等腰梯形 直角梯形 22100 高效课堂 活动一：独立思考，构建新知 　　问题1:你能阅读教材中的相关内容并填空吗? 　　(1)如图,从实物图片中,我们可以抽象出如下一类的四边形. 22100 9 高效课堂 活动一：独立思考，构建新知 　　如图,我们把＿＿＿＿＿＿＿＿＿的四边形叫作梯形. 　　在梯形中,＿＿＿＿＿＿叫梯形的底,通常把＿＿＿＿＿叫作上底,＿＿＿＿＿叫作下底;＿＿＿＿＿＿＿叫作梯形的腰;＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫作梯形的高. 只有一组对边平行 平行的两边 较短的底 较长的底 不平行的两边 梯形上底和下 下底之间的垂线段 22100 10 高效课堂 活动一：独立思考，构建新知 　　(2)如图,在梯形ABCD中,＿＿和＿＿分别是梯形的上底和下底, ＿＿和＿＿都是梯形的腰,DE⊥AB于点E,＿＿是梯形的高. DC AB DA CB DE 22100 11 1.画出一个梯形，并按下列要求分割这个梯形. （1）分割成一个平行四边形和一个三角形. （2）分割成一个矩形和两个直角三角形. （1） （2） 注意：解决梯形问题时，常把梯形转化为平行四边形和三角形的组合. 22100 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC. 求证：∠A=∠B. 证明：如图，过点C作CE∥AD，交AB于点E. ∵AB∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∴AD=EC. 又∵AD=BC，∴EC=BC，∴∠CEB=∠B. ∵CE∥AD，∴∠CEB=∠A，∴∠A=∠B. E 想一想：如果把题干已知中的“AD=BC”换成“∠A=∠B”，你还能证出AD=BC吗？ 作辅助线试试！ 22100 新知探究 做一做 画出一个梯形,并按下列要求分割这个梯形. (1)分割成一个平行四边形和一个三角形. (2)分割成矩形和直角三角形. 解：(1)如图所示，有两种做法 (2)如图所示， 注意直角梯形会分割成一个矩形和一个直角三角形； 其他梯形会分割成一个矩形和两个直角三角形 22100 典例分析 例1 已知:如图，在梯形ABCD 中，AB//DC，AD=BC 求证:∠A=∠B 证明:如图过点C 作CE//AD，交AB 于点E 又 AB//DC 四边形ADCE 是平行四边形. AD=EC 又 AD=BC EC=BC ∠CEB=∠B CE//AD ∠CEB=∠A ∠A=∠B E 如果把已知条件中的 “AD=BC”换成 “∠A=∠B” 你能证出AD=BC 吗 作辅助线构造平行四边形与等腰三角形，把梯形问题转化为熟悉的平行四边形和等腰三角形问题 22100 典例分析 变式 已知:如图，在梯形ABCD 中，AB//DC，∠A=∠B 求证:AD=BC 证明:如图过点C 作CE//AD，交AB 于点E 又 AB//DC 四边形ADCE 是平行四边形. AD//EC ∠A=∠CEB 又 ∠A=∠B ∠CEB=∠B CE=BC 又AD=CE AD=BC E 22100 高效课堂 活动二：动手操作，感悟思想 　　画出一个梯形,并按下列要求分割这个梯形. 　　(1)分割成一个平行四边形和一个三角形. 　　(2)分割成矩形和直角三角形. 22100 17 高效课堂 活动三：例题解析，深化理解 　　例1　已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC. 　　求证:∠A=∠B. 　　证明:如图,过点C作CE∥AD,交AB于点E. 　　又∵AB∥DC, 　　∴四边形ADCE是平行四边形. 　　∴AD=EC. 　　又∵AD=BC, 　　∴EC=BC. 22100 18 高效课堂 活动三：例题解析，深化理解 　　∴∠CEB=∠B. 　　∵CE∥AD, 　　∴∠CEB=∠A. 　　∴∠A=∠B. 　　如果把已知条件中的“AD=BC”换成 “∠A=∠B”,你能证出AD=BC吗? 22100 19 2.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠B. 求证：AD=BC. 证明：如图，过点C作CE∥AD，交AB于点E. ∴∠CEB=∠A. 又∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B，∴CE=BC. ∵AB∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴CE=AD， ∴AD=BC. E 22100 解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F， 则∠AEF=∠DFC=90°，∴AE∥DF. 又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴AE=DF，AD=EF. 在Rt△ABE中,∵∠B=45°, ∴AE=BE. 3.如图,梯形ABCD是一座水库堤坝的横断面.已知AD∥BC，∠B=45°,∠DCB=30°,坝顶AD=6 m,AB=10 m.求CD的长及堤坝横断面(即梯形ABCD)的面积. 22100 由AB2=AE2+BE2, 得(10)2=2AE2. 解得AE=10 m, ∴AE=BE=DF=10 m. 在Rt△DFC中,由∠DCB=30°,得CD=2DF=20 m，∴FC===10 (m)， ∴BC=BE+EF+FC=10+6+10=(16+10)m. ∴S梯形ABCD=(AD+BC)∙AE=×(6+16+10)×10=(110+50)m2. 答:CD的长为20 m,堤坝横断面的面积为(110+50)m2. 22100 解:如图作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E，F，则∠AEF=∠DFC=90° AE//DF. 又 AD//BC， 四边形 AEFD 是矩形. AE=DF，AD=EF 在Rt△ABE 中 ∠B=45° AE=BE 由,得解得AE=10m AE=BE=DF=10m. 在Rt△DFC 中,由∠DCB=30°,得CD=2DF=20m. (m). (m). 答:CD 的长为20m,堤坝横断面的面积为(). 典例分析 例2 如图，梯形ABCD是一座水库堤坝的横断面. 已知AD∥BC， ∠B=45°，∠DCB=30°，坝顶AD=6m，AB=102 m. 求CD 的 长及堤坝横断面(即梯形ABCD)的面积. E F 22100 即学即练 方法技巧 梯形周长问题中，遇到平行条件时，优先构造平行四边形，通过整体代入法简化计算，不用分别求出每条边的长度，既节省时间又不易出错 如图，在梯形ABCD 中，已知AB//CD，点E 在边AB 上，CE//AD，AE=5，△BCE 的周长为27. 求梯形ABCD 的周长. 解： AB//CD，CE//AD， 四边形AECD是平行四边形 AD = CE，CD = AE = 5 △BCE的周长为27， BC + CE + BE = 27， 即 BC + AD + BE = 27 梯形ABCD的周长 = AB + BC + CD + AD = (AE + BE) + BC + CD + AD = AE + (BE + BC + AD) + CD = 5 + 27 + 5 = 37 答：梯形ABCD的周长为37 22100 解：过点B作BE⊥DC于点E， AB∥DC，∠A=90°， 四边形ABED是矩形， DE = AB = 10，BE = AD（即梯形的高） DC = 15， EC = DCDE = 15 10 = 5。 在Rt△BEC中，BC = 13，EC = 5， 由勾股定理得： BE = 梯形的高为12。 即学即练 方法技巧 直角梯形的高，通常就是其直角腰的长度。当无法直接求出腰长时，通过作高构造直角三角形，再利用勾股定理求解，是这类题的通用解法 如图,在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A=90°，AB=10，BC=13，DC=15.求梯形的高 E 22100 高效课堂 活动四：知识迁移与运用 　　例2　如图,梯形ABCD是一座水库堤坝的横断面.已知AD∥BC, ∠B=45°,∠DCB=30°,坝顶AD=6 m,AB=10 m.求CD的长及堤坝横断面(即梯形ABCD)的面积. 　　解:如图,作AE⊥BC,DF⊥ BC,垂足分别为点E,F, 　　则∠AEF=∠DFC=90°. 　　∴AE∥DF. 　　又∵AD∥BC, 　　∴四边形AEFD是矩形. 22100 26 高效课堂 活动四：知识迁移与运用 　　∴AE=DF,AD=EF. 　　在Rt△ABE中,∵∠B=45°, 　　∴AE=BE. 　　由AB2=AE2+BE2, 　　得(10)2=2AE2. 　　解得AE=10 m, 　　∴AE=BE=DF=10 m. 　　在Rt△DFC中,由∠DCB=30°,得CD=2DF=20 m. 22100 27 高效课堂 活动四：知识迁移与运用 　　∴FC===10 (m). 　　∴BC=BE+EF+FC=10+6+10=(16+10)m. 　　∴S梯形ABCD=(AD+BC)∙ AE=×(6+16+10)×10= (110+50)m2. 　　答:CD的长为20 m,堤坝横 断面的面积为(110+50)m2. 22100 28 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形 解决梯形问题时，常把梯形转化为 和 的组合. 两腰相等的梯形叫作等腰梯形 通过本节课的学习,你学到了哪些内容？ 梯形的定义： 梯形的分类： 直角梯形 等腰梯形 平行四边形 三角形 只有一组对边平行的四边形叫作梯形. 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 类比思想 转化与化归 22100 $