2025-2026学年人教版八年级数学下学期专项复习趋势新题特训——传统文化

**基本信息** 以传统文化为载体，系统整合勾股定理、函数、统计等知识点，提炼方程建模、数形结合等解题方法，培养数学眼光与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理应用|8题（如“葭生池中”“折竹抵地”）|方程建模、勾股定理逆用|从古代问题抽象直角三角形，通过设未知数构建方程求解| |函数与图像|3题（如驽马先行、象棋坐标）|图像解读、待定系数法|结合实际情境分析函数关系，用代数表达式描述几何位置| |统计与应用|1题（粽子质量检测）|样本估计总体、数据分析|通过样本数据推断总体特征，发展数据观念|

2025-2026学年人教版八年级下学期数学专项复习趋势新题特训——传统文化 1．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中，记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①良马的速度比劣马的速度快80里/日；②劣马比良马早出发12日；③点表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 2．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．10尺 3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（  ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 5．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形 的面积分别为. 若 ，则 的值是 （   ） A．555 B．666 C．777 D．675 二、填空题 6．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关，春分、秋分时，昼夜时长大致相等，夏至时，白昼时长最长．如图是某地区一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，则立春、小满、秋分、大寒这四个节气中，白昼时长最短的节气是______． 7．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为______． 8．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 三、解答题-应用题 9．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋，经问询每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元，学校决定购买40副围棋和副中国象棋．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． (1)分别求出按照方案一、二购买的总费用关于的函数关系式； (2)若雷莹选择方案二购买更合算，求的取值范围． 10．端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为克时，其质量等级为合格；粽子质量为克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子．质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息： 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155 乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 参赛小组 平均数 众数 甲组 150 152 乙组 150 147 根据以上信息，回答下列问题： (1)在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？ (2)此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由． 11．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 12．如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 某学习小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 43 46.3 49.6 52.9 56.2 凳面的宽度 248 264.5 281 297.5 314 请你帮助小组解决下列问题： (1)已知y是x的函数，求出该函数关系式． (2)经研究表明，最舒适的凳面宽度为，其中是传统工艺与现代人体工学的理想折中点．现要加工一张凳面宽度为的“四脚八叉凳”，榫眼的位置怎么确定？请说明理由． 四、解答题-问答题 13．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为. 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 . (1)在中，，，，利用上面公式求的面积； (2)求证：. 14．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 15．2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”，勾股定理作为数学几何中最基本的定理之一，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作正整数直角三角形，这三个正整数叫作一组勾股数，如：3，4，5；6，8，10；8，15，17等都是勾股数． (1)小明在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫作完美勾股数．如3，4，5中，，；8，15，17中，，．判断12，35，37这组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由； (2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 五、解答题-证明题 16．清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． (1)当时，写出这一组勾股数______． (2)证明“罗士琳法则”的正确性． 试卷第2页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年人教版八年级下学期专项复习趋势新题特训——传统文化》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C C A C D 6．大寒 【分析】本题考查折线统计图，能读懂统计图并从中整理出进一步解题的有关信息是解题的关键．由折线图求解即可． 【详解】解：由图可知，立春、小满、秋分、大寒这四个节气中，白昼时长最短的节气是大寒． 故答案为：大寒． 7． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． 利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得棋子“马”所在的点的坐标为， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为， ， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为． 故答案为： 8． 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， 折断处离地面的高度为尺， 故答案为： 9．(1)； (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立关系式是解题的关键． （1）根据商场优惠活动方案分别列出、关于x的函数解析式即可； （2）根据列不等式即可求解． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵选择方案二购买更合算， ∴， ∴， 解得， ∴当时，该校选择方案二更划算． 10．(1)是优秀 (2)乙参赛小组能获得奖励，见解析 【分析】本题主要考查众数、样本估计总体，解题的关键是掌握众数的定义，并利用样本估计总体求出两个小组优秀等级个数． （2）根据众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求出甲、乙小组优秀等级的个数即可． 【详解】（1）解：因为乙组质量的众数为147， 所以缺失的数据为147，且，质量登记为优秀； （2）解：乙参赛小组能获得奖励，理由如下： 甲组抽检的优秀为：， ∴甲组优秀个数为：（个）， 乙组抽检的优秀为： ∴乙组优秀个数为： (个)， ∵， ∴乙参赛小组能获得奖励． 11．(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 12．(1) (2)榫眼的位置为对称轴两侧处 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）根据题意得到y的变化是匀速的，判断是一次函数，采用待定系数法求解即可； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，x每增加3.3，y增加16.5，是一个匀速变化的过程，因此y是x的一次函数． 设该函数关系式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴该函数的解析式为． （2）解：当凳面宽度为，即时， ， 解得， ∴榫眼的位置为对称轴两侧处． 13．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，熟练掌握海伦公式和秦九韵公式是解题的关键． （1）根据海伦公式计算三角形的面积即可； （2）根据海伦公式和秦九韵公式即可得到结果． 【详解】（1）解：，，， ， 的面积； 故答案为：； （2）证明：， ． 14．(1)风筝离地面的垂直高度为 (2)不能成功，说明见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）过点作，垂足为，利用勾股定理进行求解即可； （2）延长到点，勾股定理求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得． 在中，． 根据勾股定理，得， ． 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）不能成功． 理由：如图，延长到点，使， 此时． 在中，． 根据勾股定理，得． ， 不能成功． 15．(1)是，见解析 (2)，a的值为7，b的值为1 【分析】（1）根据完美勾股数的定义可得答案； （2）由勾股定理可得a，b的关系式，变形可用含b 的代数式表示出a，再根据b的范围分别代值验证，可求得a，从而求解． 【详解】（1）解：这组勾股数是完美勾股数． 理由如下： ∵，， ∴12，35，37这组勾股数是完美勾股数． （2）解：由勾股定理得， 即． ∴． ∵，， ∴，． ∵a和b均为正整数， ∴b的值可能是1，2，3． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意． ∴a的值为7，b的值为1． 16．(1)14，48，50； (2)见解析． 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）根据勾股定理计算证明即可． 【详解】（1）解：当时， 根据题意得：， ∴这一组勾股数为14，48，50； 故答案为：14，48，50． （2）证明：∵ ． ， ∴当k大于2时，， ∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数． 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $