专题15：根据因数的特征解决问题（专项训练）数学苏教版五年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦因数特征的实际应用，通过生活情境题构建从概念到解决问题的逻辑链，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因数概念应用|1,4,5,7,13|结合人数、价格等场景确定因数|以因数定义为基础建立数量关系模型| |因数个数确定|2,8,9,15,17,19|求分组/装盒方法需列举所有因数|从因数找法到应用体现运算能力与推理意识| |因数关系推理|3,10,12,14,18,20|限定条件下筛选有效因数|通过条件约束深化因数与倍数关系理解|

专题15：根据因数的特征解决问题 一、解答题 1．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树141棵，已知五（2）班人数不超过50，王老师植树的棵数和平均每名同学植树的棵数一样。五（2）班有多少名同学？平均每名同学植树多少棵？ 2．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 3．学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 4．服装店将一批原价35元的围巾降价销售，共卖了629元钱。每条围巾降价了多少元？（降价后每条围巾的价格大于1元且是整元数） 5．一个长方形的长和宽都是整厘米数，面积是24平方厘米，这样的长方形有多少种情况？长和宽各是多少厘米？ 6．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 7．明明家的电话号码有8个数字，从前往后依次是10以内（不包括10）最大的偶数；4的最小倍数；因数只有1和3的数；是偶数但不是合数的数；最小的质数；最小的合数；一位数中最大的合数；6的最大因数。明明家的电话号码是多少？ 8．中秋节时，妈妈买了36个单独包装的月饼，她把这些月饼准备装进礼盒中送给朋友。要求每盒的数量相等，有几种不同的装法？ 9．为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 10．五（1）班有42人，大课间分组活动，每组人数相等且超过2人（组数大于1）。可以分成几组？每组几人？ 11．小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 12．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等，每行人数不少于4人，不多于10人。五（1）班有48名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？ 13．已知n是一个大于零的自然数，把它所有的因数从小到大排列，最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是140，那么n是多少？ 14．五（2）班有48名学生，体育课上需要分组游戏，要求每组人数相等，并且每组不多于15人，不少于5人。有几种分法？如何分组？ 15．把42块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 16．在2025年九三阅兵中，地面突击模块共列装54台装备。为确保受阅编队排列整齐，需要分组且每组台数一样多。下面的哪种分组方式正好分完无剩余？为什么？ 17．把35块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 18．2025年5月1日，深圳科学技术馆新馆正式开馆。开馆表演中，16台机器人编队通过变换不同的长方形队列形式呈现图案，长方形队列可以是几行几列？（写出所有可能） 19．妈妈买56个桔子，让欢欢把桔子放入水果盘中，要求每次拿的个数相同，但不能一个一个拿，也不许一次拿超过8个，拿到最后一个不剩，欢欢有几种拿法，每种拿法每次拿几个？ 20．妈妈买来一箱苹果，共30个，想用纸袋包装，纸袋的规格有三种：一种能装3个苹果，一种能装4个苹果，一种能装5个苹果。选哪种既能把苹果正好装完，并且用的纸袋最少？ (1)30的因数有( )。 (2)用能装( )个或能装( )个苹果的纸袋包装，正好能把苹果装完。 (3)选能装( )个苹果的纸袋既能把苹果正好装完，并且用的纸袋最少。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15：根据因数的特征解决问题 一、解答题 1．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树141棵，已知五（2）班人数不超过50，王老师植树的棵数和平均每名同学植树的棵数一样。五（2）班有多少名同学？平均每名同学植树多少棵？ 【答案】46名；3棵 【分析】根据每人植树棵数×总人数＝植树总棵数，可知每人植树棵数和总人数是植树总棵数的因数，据此确定每人植树棵数和总人数，总人数－1＝学生人数，据此列式解答。 【详解】141＝1×141＝3×47 学生人数不超过50，结合实际情况学生人数排除1、3和141。 47－1＝46（人） 46＜50 答：五（2）班有46名同学，平均每名同学植树3棵。 2．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 3．学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 4．服装店将一批原价35元的围巾降价销售，共卖了629元钱。每条围巾降价了多少元？（降价后每条围巾的价格大于1元且是整元数） 【答案】18元 【分析】总价＝单价×数量，所以降价后的价格是629的因数，先求629的因数有哪些，再根据降价后的价格大于1元小于35元，判断出哪个因数是单价，再用原价减降价后的价格即等于每条围巾降价的钱数，据此即可解答。 【详解】根据题意可知，降价后的价格大于1元小于35元，629的因数有1、17、37、629，符合条件的只有17，所以降价后的价格是17元。 35－17＝18（元） 答：每条围巾降价了18元。 【点睛】本题主要考查学生对倍数和因数知识的掌握及灵活运用。 5．一个长方形的长和宽都是整厘米数，面积是24平方厘米，这样的长方形有多少种情况？长和宽各是多少厘米？ 【答案】4种；长24厘米，宽1厘米；长12厘米，宽2厘米；长8厘米，宽3厘米；长6厘米，宽4厘米。 【分析】首先根据长方形面积的计算公式，对长方形面积24平方厘米进行拆分，找出24的全部因数，进行不同组的长和宽的组合，统计符合题意的长方形个数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24＝24×1 长是24厘米时，宽是1厘米； 24＝12×2 长是12厘米时，宽是2厘米； 24＝8×3 长是8厘米时，宽是3厘米； 24＝6×4 长是6厘米时，宽是4厘米； 所以，这样的长方形有4种。 答：这样的长方形有4种；长是24厘米时，宽是1厘米；长是12厘米时，宽是2厘米；长是8厘米时，宽是3厘米；长是6厘米时，宽是4厘米。 【点睛】本题考查了长方形面积 的计算以及因数的应用，找全24的因数，是解答此题的关键。 6．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 【答案】见详解 【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【详解】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【点睛】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 7．明明家的电话号码有8个数字，从前往后依次是10以内（不包括10）最大的偶数；4的最小倍数；因数只有1和3的数；是偶数但不是合数的数；最小的质数；最小的合数；一位数中最大的合数；6的最大因数。明明家的电话号码是多少？ 【答案】84322496 【分析】根据题意依次写出每个数字，从前往后依次是10以内（不包括10）最大的偶数是8；4的最小倍数是4×1＝4；因数只有1和3的数是3；是偶数但不是合数的数是2或0；最小的质数是2；最小的合数是4；一位数中最大的合数9；6的最大因数是6。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 从前往后依次是10以内（不包括10）最大的偶数是8； 4的最小倍数是4×1＝4； 因数只有1和3的数是3； 是偶数但不是合数的数是2或0； 最小的质数是2； 最小的合数是4； 一位数中最大的合数9； 6的最大因数是6。 答：明明家的电话号码是84322496或84302496。 8．中秋节时，妈妈买了36个单独包装的月饼，她把这些月饼准备装进礼盒中送给朋友。要求每盒的数量相等，有几种不同的装法？ 【答案】9种 【分析】由题意知：将36个月饼装入礼盒，每盒数量相等且无剩余，则36个月饼一定能被盒数整除。所以求有几种不同的装法，也就是求36有几个不同的因数。据此解题即可。 【详解】36÷1＝36；36÷2＝18；36÷3＝12；36÷4＝9；36÷6＝6 所以36个月饼可以每盒装1个，共装36盒；可以每盒装36个，共装1盒； 可以每盒装2个，共装18盒；可以每盒装18个，共装2盒； 可以每盒装3个，共装12盒；可以每盒装12个，共装3盒； 可以每盒装4个，共装9盒；可以每盒装9个，共装4盒； 可以每盒装6个，共装6盒。共9种装法。 答：有9种不同的装法。 9．为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【答案】 1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种 【分析】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。 【详解】32＝32×1＝16×2＝8×4 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。 10．五（1）班有42人，大课间分组活动，每组人数相等且超过2人（组数大于1）。可以分成几组？每组几人？ 【答案】分成14组，每组3人；分成7组，每组6人；分成6组，每组7人；分成3组，每组14人；分成2组，每组21人 【分析】分析题目，先找出42的因数，则每组人数是42的因数中大于2且小于42的数，据此确定每组的人数，最后用总人数除以每组人数即可得到分成的组数。 【详解】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42； 每组的人数可能是3，6，7，14，21； 42÷3＝14（组） 42÷6＝7（组） 42÷7＝6（组） 42÷14＝3（组） 42÷21＝2（组） 答：可以分成14组，每组3人；分成7组，每组6人；分成6组，每组7人；分成3组，每组14人；分成2组，每组21人。 11．小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 【答案】3个月 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48 在15到25之间的是24 （个） 答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。 12．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等，每行人数不少于4人，不多于10人。五（1）班有48名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？ 【答案】可以排12行、8行、6行，共有3种站队方法。 【分析】本题考查因数的认识与应用。48名同学可以排几行，也就是求48的因数，再根据题目信息筛选出符合的因数，然后用总人数符合条件的每行的人数算出行数。 【详解】因为48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。又因为每行人数不少于4人，不多于10人，只有4、6、8符合。 （行） （行） （行） 答：可以排成12行、8行或6行，共有3种站队的方法。 13．已知n是一个大于零的自然数，把它所有的因数从小到大排列，最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是140，那么n是多少？ 【答案】105 【分析】n是一个大于零的自然数，它的因数最小是1，最大是它本身，最小的两个因数的和是4，即第二小的因数为4－1＝3，最大的两个因数的和是140，即它本身除以3即为第二大的因数，第二大的因数加上它本身后的和为140。 【详解】4－1＝3 n÷3＋n＝140 解： 答：n是105。 【点睛】n的因数最小是1，最大是它本身，第二小的因数为4－1＝3，它本身除以3即为第二大的因数，根据第二大的因数加上它本身后的和为140列方程解答。 14．五（2）班有48名学生，体育课上需要分组游戏，要求每组人数相等，并且每组不多于15人，不少于5人。有几种分法？如何分组？ 【答案】3种；每组6人，可以分成8组；每组8人，可以分成6组；每组12人，可以分成4组。 【分析】先找出48的所有因数，再从这些因数中筛选出不小于5且不大于15的因数，这些符合条件的因数的个数就是分法的种数，每个符合条件的因数就是每组的人数，用总人数除以每组人数就得到组数。据此解答。 【详解】48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 不小于5且不大于15的有6、8、12 当每组6人时，组数为48÷6＝8（组） 当每组8人时，组数为48÷8＝6（组） 当每组12人时，组数为48÷12＝4（组） 答：共3种分法：每组6人，可以分成8组；每组8人，可以分成6组；每组12人，可以分成4组。 15．把42块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】8种；需要42个盒子、21个盒子、14个盒子、7个盒子、6个盒子、3个盒子、2个盒子、1个盒子 【分析】根据题意，把42块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，那么每盒月饼的个数是42的因数。先列举出42的所有因数，再由这些因数确定每盒装几个，需要装几盒。 【详解】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42；有8个因数； 有8种装法，分别是： ①每盒装1块，需要42个盒子； ②每盒装2块，需要21个盒子； ③每盒装3块，需要14个盒子； ④每盒装6块，需要7个盒子； ⑤每盒装7块，需要6个盒子； ⑥每盒装14块，需要3个盒子； ⑦每盒装21块，需要2个盒子； ⑧每盒装42块，需要1个盒子。 答：有8种装法，每种装法分别需要42个盒子、21个盒子、14个盒子、7个盒子、6个盒子、3个盒子、2个盒子、1个盒子。 16．在2025年九三阅兵中，地面突击模块共列装54台装备。为确保受阅编队排列整齐，需要分组且每组台数一样多。下面的哪种分组方式正好分完无剩余？为什么？ 【答案】第①种和第④种；理由见详解 【分析】根据题意，要使54台能正好分完无剩余，那么每组的台数一定是54的因数。列举出54的所有因数，再看4种分组方式的每组台数是否是54的因数，据此解答。 【详解】54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54； ①3台为一组：3是54的因数，能正好分完无剩余； ②4台为一组：4不是54的因数，不能正好分完； ③5台为一组：5不是54的因数，不能正好分完； ④6台为一组：6是54的因数，能正好分完无剩余。 答：第①种和第④种分组方式正好分完无剩余。因为3和6都是54的因数，4和5不是54的因数。所以3台一组和6台一组都能正好分完无剩余，而4台一组和5台一组不能正好分完。 17．把35块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】4种；见详解 【分析】根据题意，把35块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，那么每盒月饼的个数是35的因数。先列举出35的所有因数，再由这些因数确定每盒装几个，需要装几盒。 【详解】35的因数：1、5、7、35；有4个因数；有4种装法，分别是：①每盒装1块，需要35个盒子；②每盒装5块，需要7个盒子；③每盒装7块，需要5个盒子；④每盒装35块，需要1个盒子。 答：有4种装法，每种装法分别需要35个盒子、7个盒子、5个盒子、1个盒子。 18．2025年5月1日，深圳科学技术馆新馆正式开馆。开馆表演中，16台机器人编队通过变换不同的长方形队列形式呈现图案，长方形队列可以是几行几列？（写出所有可能） 【答案】1行16列；2行8列；4行4列；8行2列；16行1列 【分析】根据题目要求将16台机器人排成长方形队列，几行几列的形式，即求的是16的所有整数因数对（行数×列数＝机器人总数），且行数列数顺序不同是不同的排列形式。据此解答。 【详解】16＝1×16，表示1行16列； 16＝2×8，表示2行8列； 16＝4×4，表示4行4列； 16＝8×2，表示8行2列； 16＝16×1，表示16行1列。 答：长方形队列可以是1行16列、2行8列、4行4列、8行2列、16行1列。 19．妈妈买56个桔子，让欢欢把桔子放入水果盘中，要求每次拿的个数相同，但不能一个一个拿，也不许一次拿超过8个，拿到最后一个不剩，欢欢有几种拿法，每种拿法每次拿几个？ 【答案】4种；每次拿2个、4个、7个、8个。 【分析】分析56的因数，因数大于1，小于等于8的有几个因数，欢欢就有几种拿法。 【详解】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，即56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56共8个，大于1，小于等于8的因数有2，4，7，8共四种因数。 答：则欢欢有4种拿法，每次拿2个、4个、7个、8个 20．妈妈买来一箱苹果，共30个，想用纸袋包装，纸袋的规格有三种：一种能装3个苹果，一种能装4个苹果，一种能装5个苹果。选哪种既能把苹果正好装完，并且用的纸袋最少？ (1)30的因数有( )。 (2)用能装( )个或能装( )个苹果的纸袋包装，正好能把苹果装完。 (3)选能装( )个苹果的纸袋既能把苹果正好装完，并且用的纸袋最少。 【答案】(1) 1，2，3，5，6，10，15，30 (2) 3 5 (3) 5 【分析】（1）因数需满足能整除30且为整数，依次列举即可。 （2）纸袋规格中，只有3和5是30的因数，因此能正好装完。 （3）比较两种袋子的数量，5个装的袋子数量更少。 【详解】（1）30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。 （2）30能被3整除（30÷3＝10），也能被5整除（30÷5＝6），因此用3个或5个的纸袋可正好装完。 （3）装3个需10袋，装5个需6袋，6＜10，故选5个装的纸袋。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $