精品解析：上海市静安区市北初级中学北校2025学年第二学期九年级数学 生生不息，卷卷不停5

市北初级中学北校2025学年第二学期九年级数学 生生不息，卷卷不停5 一、选择题： 1. 单项式的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的系数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：A． 2. 如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况， ∴这个两位数是素数的概率为：=． 故选A 【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况. 3. 如图，数轴上的点、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】D 【解析】 【分析】先估算出，从而可得，结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故表示数的点应落在线段上． 4. 下列命题中，真命题是（） A. 对角线平分一组对角的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】需根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐个判断命题真假． 【详解】解：A．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，不是正方形，原命题是假命题． B．∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是真命题． C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，原命题是假命题． D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题． 5. 甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（ ） A. 甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B. 乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C. 甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D. 甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、方差、平均数等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据折线统计图、方差、平均数逐项分析计算即可解答． 【详解】解：A．观察甲酒店折线统计图，从2月到7月，其盈利数值依次为1，2，3，3，4，5（单位：十万元） ，呈现不断增长的趋势，该选项正确，不符合题意； B．乙酒店在7月盈利为4（十万元），且之前盈利有波动变化，若后续经营策略调整得当，盈利持续增长，是有可能很快超过甲酒店的，该选项正确，不符合题意； C．甲酒店月盈利平均数为；乙酒店月盈利平均数为；由，则甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数，该选项正确，不符合题意； D．甲酒店月盈利方差为，乙酒店月盈利方差为；由，则甲酒店月盈利的方差大于乙酒店月盈利的方差，该选项错误，符合题意． 故选D． 6. 已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（ ） A. 当时，两圆没有公共点 B. 当时，两圆有一个公共点 C. 当时，两圆有公共点 D. 当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解． 【详解】解：和的半径分别是5和7，且，， A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误； B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误； C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误； D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质计算绝对值，再进行有理数的减法运算即可得到结果． 【详解】解：原式． 8. 在比例尺为的地图上，如果图上距离是厘米的两地，那么实际距离是_____千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例尺的定义计算实际距离，解题时注意单位换算，即可作答． 【详解】解：∵在比例尺为的地图上，图上距离是厘米的两地， ∴（厘米） ∴厘米米千米． 9. 某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，有效数字从左边第一个非数字起开始计数，按要求保留位数即可． 【详解】解：175亿． 10. 在实数范围内分解因式：x2﹣7＝_____． 【答案】（x+）（x﹣） 【解析】 【分析】利用平方差公式即可分解. 【详解】x2﹣7=（x+）（x﹣） 故答案是：（x+）（x﹣） 【点睛】此题主要考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握，即可解题． 11. 《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是_____． 【答案】内切与内含 【解析】 【分析】两个等圆半径相等，结合不同位置关系对圆心距与半径的数量关系要求，即可判断不可能存在的位置关系． 【详解】解：设两个等圆的半径都为，两圆圆心距为， 根据两圆位置关系的数量关系， 内切要求圆心距满足，代入得，此时两圆重合，不满足内切的定义， 内含要求圆心距满足，代入得，圆心距为距离不可能为负数，不存在该情况， 外离要求圆心距满足，存在符合要求的圆心距，可成立， 外切要求圆心距满足，存在符合要求的圆心距，可成立， 相交要求圆心距满足，即，存在符合要求的圆心距，可成立， 因此两个等圆不可能存在的位置关系是内切与内含． 12. 某件商品进行促销活动，打八折后的售价为元，那么原价是________元． 【答案】 【解析】 【分析】设商品原价为元，根据售价原价折扣率，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的原价是元， 根据题意得： ， 解得：， ∴商品的原价是元， 故答案为． 13. 已知点、在反比例函数上，如果，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再根据，的取值范围判断点，所在象限，根据象限内点的纵坐标的符号比较，的大小． 【详解】解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴该反比例函数的图象分布在第二象限和第四象限， ∵， ∴点在第四象限，点在第二象限， 第四象限内点的纵坐标为负，第二象限内点的纵坐标为正， ∴，即． 14. 数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数成为解题的关键． 根据中位数的定义即可解答． 【详解】解：由于该班有35人参加考试，35是奇数． 将35个学生的成绩按从小到大排序后，中位数是第个数． 把75分写成55分，两个数都比中位数小，那么第18个数不会改变． 因为原来的中位数是80分，即原来排序后第18个数是80分，所以修改成绩后，第18个数依然是80分，即实际这次考试成绩的中位数还是80分． 答案为：80． 15. 如图，点是的重心，已知，，那么向量_____（用向量、表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】取边的中点，连接，由题意可得点在中线上，且，求出，再求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，取边的中点，连接， ∵点是的重心， ∴点在中线上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 16. 有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为_____米． 【答案】3 【解析】 【分析】根据坡度定义先求出水平距离，再利用勾股定理计算斜坡长度即可. 【详解】解：设斜坡的水平距离为米， 由坡度的定义可得， 解得， 由勾股定理得斜坡长度为：（米）． 17. 同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为二次函数的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，函数图像与轴有两个不同交点的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据二次函数图象与x轴有两个不同交点的条件，得到判别式大于0，找出满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表 n m 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 同时抛掷两枚骰子，所有等可能的结果为36种， ∵二次函数的图象与轴有两个不同交点， ∴ ，即 ． 当时，，无满足条件的正整数，共种； 当时，，无满足条件的正整数，共种； 当时，，由，得，满足条件的为，共种； 当时，，由，得，满足条件的为，共种； 当时，，由，得，满足条件的为，共种； 当时，，由，得，满足条件的为，共种； 因此满足条件的结果共有种． ∴所求概率为． 18. 如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上的动点（不与端点重合），如果把四边形沿直线翻折，得到四边形（点、分别与点、对应），连接、，当时，的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：延长到任意一点P，连接，由矩形的性质得，由点M是的中点得，由翻折得垂直平分，垂直平分，，则，所以，可证明，由，推导出，而，所以，则，因为，所以，则，所以，则，由可得，则，所以，据此即可解答． 【详解】解：如图：延长到任意一点P，连接， ∵矩形中，，，点是的中点， ∴， ∵把四边形沿直线翻折，得到四边形， ∴点E与点D关于直线对称，点F与点A关于直线对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的周长等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 解不等式组：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，乘法公式的应用，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，． 所以不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】先进行括号内分式的减法与括号外分式的化简，再进行分式的加法计算，继而求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）点在边上，连接．求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得，则，再根据点F是的中点，得四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形性质得，则，再根据矩形性质得，，证明，进而得和相似，再利用相似三角形的性质即可求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， ∵四边形是矩形； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 22. 近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校年至年图书馆购进新书总支出如图所示： （1）该校图书馆年购进新书总支出比年提高了，年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么年与年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ （2）为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，年新书购进计划在年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比年降低元，那么学校计划年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】（1） （2）册 【解析】 【分析】（1）根据题意算出年购进新书总支出，2022年购进社会科学类图书支出，年购进社会科学类图书支出，根据占比的计算方法即可求解； （2）设2024年购进自然科学类图书册，那么年计划购进此类图书为册，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：年购进新书总支出：元， 年购进社会科学类图书支出：元， 年购进社会科学类图书支出：元， 年与年相比，社会科学类图书支出的增长率：； 【小问2详解】 解：年购进自然科学类图书支出：元， 设年购进自然科学类图书册，那么年计划购进此类图书为册， 由题意得， 整理得，， 解得，， 经检验，，是原方程的根，但不符题意，应舍去， ∴， 答：年计划购入自然科学类图书册． 23. 已知，四边形内接于，． （1）求证：； （2）小明说：四边形一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）不正确，理由如下：若、过圆心，则四边形为矩形； （3）的半径为 【解析】 【分析】（1）先证明出，得出，再结合圆周角定理得出，即可得证； （2）根据若、过圆心，则四边形为矩形，即可得出结果； （3）作于，连接，由等腰三角形的性质可得，，由垂径定理可得点在上，设的半径为，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于，连接， ∵，， ∴，， 由垂径定理可得：点在上， 设的半径为，则， 由勾股定理可得， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴，即的半径为． 24. 已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点与点重合时，求平移的距离； （3）连接，如果与互补，求点的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线上，得到关于的二元一次方程组，求解即可； （2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可得抛物线的表达式为，继而得到， ，最后由得，即可得解； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解． 【小问1详解】 解：∵点和点在抛物线上． ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图 ∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点， 把抛物线向下平移得到抛物线， 当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点，则， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点为， ， 对于抛物线， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴当点与点重合时，平移的距离是3； 【小问3详解】 解：设对称轴交轴于点，过点作轴，交的延长线于点G，过点作于点，连接，如图 ∵，对称轴为直线， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， 当时，得， 解得：或， ， ， ， ∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为， ， ∵对称轴与轴平行，即， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，， ， ∵轴， ∴轴， ， ， 与互补，即， ， ， ， ， ． 25. 综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． （1）【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． （3）若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 【答案】（1） 四边形是平行四边形，理由如下： 是的中点，， ， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2） ，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3）， ∵，线段经过的中点， ∴ ， ． 由旋转的性质可得， ，即， ∴， ． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，由旋转的性质得，则可推出，，据此可得结论； （2）由三角形中位线定理推出，如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3），证明，得到．证明，得到，据此可得结论； （3）当点E在上方时，延长交于点．证明四边形是矩形，得到，，求出的长，进而求出的长，根据列式求解即可；当点E在的下方时，过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，可求出，再由等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图4所示，当点E在上方时，延长交于点． ， ∴， 由（3）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； 如图5所示，当点E在的下方时，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ； ∵， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市北初级中学北校2025学年第二学期九年级数学 生生不息，卷卷不停5 一、选择题： 1. 单项式的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 4. 下列命题中，真命题是（） A. 对角线平分一组对角的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 5. 甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（ ） A. 甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B. 乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C. 甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D. 甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 6. 已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（ ） A. 当时，两圆没有公共点 B. 当时，两圆有一个公共点 C. 当时，两圆有公共点 D. 当时，两圆有两个公共点 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：_____． 8. 在比例尺为的地图上，如果图上距离是厘米的两地，那么实际距离是_____千米． 9. 某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 10. 在实数范围内分解因式：x2﹣7＝_____． 11. 《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是_____． 12. 某件商品进行促销活动，打八折后的售价为元，那么原价是________元． 13. 已知点、在反比例函数上，如果，那么_____（填“”、“”或“”）． 14. 数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 15. 如图，点是的重心，已知，，那么向量_____（用向量、表示）． 16. 有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为_____米． 17. 同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为二次函数的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，函数图像与轴有两个不同交点的概率是_____． 18. 如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上的动点（不与端点重合），如果把四边形沿直线翻折，得到四边形（点、分别与点、对应），连接、，当时，的周长为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 解不等式组：； 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）点在边上，连接．求的长． 22. 近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校年至年图书馆购进新书总支出如图所示： （1）该校图书馆年购进新书总支出比年提高了，年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么年与年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ （2）为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，年新书购进计划在年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比年降低元，那么学校计划年购进自然科学类图书多少册？ 23. 已知，四边形内接于，． （1）求证：； （2）小明说：四边形一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知，，求的半径． 24. 已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点与点重合时，求平移的距离； （3）连接，如果与互补，求点的坐标． 25. 综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． （1）【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． （3）若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $