精品解析：上海市静安区三校联考2023-2024学年九年级下学期3月自适应性练习数学试题

2024学年静安区三校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（ ） A. 众数是9 B. 中位数是9 C. 平均数是9 D. 锻炼时间不低于9小时的有14人 5. 下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 12 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. B. 这个函数的最小值是 C. 一元二次方程的根是 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 6. 有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：x，，2，x，； 小棋：第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； 小书：第三次操作后整式串中共有8个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7 因式分解=______． 8. 中汽协发布数据显示，2024年月，新能源汽车产销分别完成万辆和万辆，同比分别增长和，市场占有率达到．将数据万用科学记数法表示为________． 9. 不等式组，整数解有__________个． 10. 关于方程有如下判断：（1）该方程两根之和是7；（2）该方程的两根之积是16，以上两个判断中正确的有______个． 11. 从距离原点不超过100个单位的自然数任选一个，是偶数的概率为___________． 12. 当时，函数（为常数且）有最大值，则的值为______． 13. 对角线条数和自身边数相同正多边形的中心角度数为___________． 14. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 C 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来，已知，汽车从A处至少直行______米才能发现C 处的儿童．（参考数据：， ） 15. 如图，已知，D、E分别是边AB、AC上点，且设，，那么______用向量、表示 16. 如图，已知直角三角形中，，，将绕O点旋转至的位置，且为中点，在反比例函数上，则k的值______________． 17. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________．（填序号） 18. 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____． 三．解答题（满分78分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？ 22. 学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方．已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过一半）．某商店有两种优惠活动如下，请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠． 优惠活动 活动一：“疯狂打折”A种魔方八折，B种魔方四折 活动二：“买一送一”购买一个A种魔方送一个B种魔方 23. 如图，在中，半径直径，与相切于点，连接交于点，交于点，连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是平行四边形 24. 已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N． (1)求点D的坐标. (2)求点M的坐标(用含a的代数式表示). (3)当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值． 25. 如图1，正方形的边长为2，点M是的中点，P是线段上的一个动点（不与M、C重合），以为直径作，过点P作的切线，交于点F，切点为E． （1）求证：； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）延长、交于点G，连接并延长交直线于H（图2），问是否存在点P，使以A，F，O为顶点的三角形和以H，E，G为顶点的三角形相似，如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年静安区三校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，常见的有含的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如），由此即可求解． 【详解】解：选项，，不是无理数，不符合题意； 选项，，是开不尽方的数，是无理数，符合题意； 选项，，不是无理数，不符合题意； 选项，，不是无理数，不符合题意； 故选： 【点睛】本题主要考查实数的分类，二次根式的化简，三次根式的化简，掌握二次根式化简，三次根式的化简是解题的关键． 2. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，第一象限内点的坐标特点，先根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到点P的对应点坐标为，再根据第一象限内的点横纵坐标都为正数列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第一象限， ∴点在第一象限， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误； 选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误. 故选C. 【详解】请在此输入详解！ 4. 为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（ ） A. 众数是9 B. 中位数是9 C. 平均数是9 D. 锻炼时间不低于9小时的有14人 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数，中位数，平均数的定义即可解决问题. 【详解】解：A.由图可知，锻炼7小时的有5人，锻炼8小时的有8人，锻炼9小时的有18人，锻炼10小时的有10人，锻炼11小时的有4人，所以9在这组数中出现18次为最多，众数是9，故该选项正确； B.把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位数是9，中位数是9，故该选项正确； C.(7×5+8×8+9×18+10×10+11×4)÷45=9，平均数是9，故该选项正确； D.由图可知，锻炼时间不低于9小时的有18+10+4=32（人），故该选项错误. 故选D. 【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数的定义. 众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；平均数是所有数的和除以所有数的个数. 5. 下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 12 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. B. 这个函数的最小值是 C. 一元二次方程的根是 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可判断A、B、D选项，解相应的方程即可判断C选项，进而可得答案. 详解】解：把点代入，得 ，解得：， 所以抛物线的解析式为； ∴，这个函数的最小值是，当时，y的值随x值的增大而增大， 故A、B、D选项错误； 方程即为，此方程的两根是，故选项C正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识，正确求解函数的解析式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 6. 有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：x，，2，x，； 小棋：第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； 小书：第三次操作后整式串中共有8个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串：，，， ∴第二次操作后的整式串：，，，，，故小琴的结论正确； 第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即第二次操作后整式的积为非负数，故小棋的结论错误； 第三次操作后整式串为：，，，，，，，，，共个式子，故小书结论错误； ∵第一次操作后的整式的和为：； 第二次操作后的整式的和为：； 第三次操作后的整式的和为：， 第n次操作后的整式的和为：， ∴第2022次操作后，所有整式的和为：，故小画的结论正确； ∴正确的结论有个； 故选：． 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 8. 中汽协发布数据显示，2024年月，新能源汽车产销分别完成万辆和万辆，同比分别增长和，市场占有率达到．将数据万用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故答案为：． 9. 不等式组，的整数解有__________个． 【答案】4 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解，再找到它们的公共部分，进一步得到不等式组的整数解． 【详解】解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴这个不等式组的整数解为：-2，-1，0，1．共4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10. 关于方程有如下判断：（1）该方程的两根之和是7；（2）该方程的两根之积是16，以上两个判断中正确的有______个． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此判断出方程根的情况即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程无实数根， ∴（1）和（2）都是错误的， 故答案为：0． 11. 从距离原点不超过100个单位的自然数任选一个，是偶数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比． 直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵距离原点不超过100个单位的自然数中，一共有100个自然数，偶数有50个， ∴是偶数的概率， 故答案为：． 12. 当时，函数（为常数且）有最大值，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据可得当时，的值最大为，据此即可求解，掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵时， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为___________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角．根据题意判断出对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，进而即可解答． 【详解】解：设正多边形的边数为，则对角线条数为， 根据题意得，， 解得，或（舍去） ∴对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形， 正五边形的中心角为． 故答案为： 14. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 C 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来，已知，汽车从A处至少直行______米才能发现C 处的儿童．（参考数据：， ） 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用、相似三角形的判定和性质等知识点，理解汽车能发现儿童所前行的距离为是解题的关键． 先利用勾股定理求出，证明，再求出；然后在中，利用三角函数的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即，解得：， ∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童． 故答案为6． 15. 如图，已知，D、E分别是边AB、AC上的点，且设，，那么______用向量、表示 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中，，∠A=∠A，所以△ABC△ADE，所以DE=BC，再由向量的运算可得出结果. 【详解】解：在△ABC中，，∠A=∠A， ∴△ABC△ADE， ∴DE=BC， ∴=3=3 ∴=， 故答案为. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及向量的运算. 16. 如图，已知直角三角形中，，，将绕O点旋转至的位置，且为中点，在反比例函数上，则k的值______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于点E，先证明是等边三角形，求出，，再得出，进而得出，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：连接，作轴于点E， 由题意可得：，是的中点， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出是解本题的关键． 17. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________．（填序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质．根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；根据 ，即可判断②错误；在中，，由，得到，推出，，则，判定③错误；根据，推出，即可判断④正确，进而得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 由折叠的性质可得，垂直平分， ，， ， ， ， ， ，，故①正确； ， ，故②错误； ∵在中，， 又， ， ， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； 综上所述：正确的是①④． 故答案为：①④． 18. 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____． 【答案】或4 【解析】 【详解】分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长； ②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4． 详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90°时，如图1， . ∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB， ∵点D，E分别为AC，BC的中点， ∴D、E是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠CDE=∠MAN=90°， ∴∠CDE=∠A'EF， ∴AC∥A'E， ∴∠ACB=∠A'EC， ∴∠A'CB=∠A'EC， ∴A'C=A'E=4， Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点， ∴BC=2A'E=8， 由勾股定理得：AB2=BC2-AC2， ∴AB=； ②当∠A'FE=90°时，如图2， ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°， ∴∠ABF=90°， ∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴∠ABC=∠CBA'=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=4；. 综上所述，AB的长为4或4； 故答案为4或4. 点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题． 三．解答题（满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、立方根、绝对值、零指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值． 【答案】，3 【解析】 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， ， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴， ∵a为整数， ∴a取0，1，2， ∵， ∴a=1， 当a=1时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？ 【答案】（1） （2）m的值为1或9 【解析】 【分析】（1）由一次函数解析式求得的坐标，根据三角形面积求得的纵坐标，代入一次函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程只有一组解，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值． 【小问1详解】 解：一次函数中， 令，解得， ， ， 作于， 的面积为， ，即， ， 点的纵坐标为1， 代入中，求得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， 直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点， ， 整理得， ， 解得或， 即的值为1或9． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将求反比例函数与一次函数的交点坐标问题，转化为将两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 22. 学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方．已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过一半）．某商店有两种优惠活动如下，请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠． 优惠活动 活动一：“疯狂打折”A种魔方八折，B种魔方四折 活动二：“买一送一”购买一个A种魔方送一个B种魔方 【答案】（1）A种魔方20元，B种魔方15元 （2）当购买A种魔方数量小于45时，选活动一；当购买A种魔方数量等于45时，二者一样优惠；当购买A种魔方数量大于45小于等于50时，选活动二 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出、关于的函数关系式． （1）设A、B两种魔方的单价分别为x元、y元，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A魔方m个，按活动一和活动二购买所需费用分别为元、元，根据题意用m表示出、，列不等式比较即可． 【小问1详解】 设A、B两种魔方单价分别为x元、y元， 根据题意得， 解得 即A、B两种魔方的单价分别为20元、15元； 【小问2详解】 设购买A魔方m个，按活动一和活动二购买所需费用分别为元、元， 依题意得， ， ①时，，则； ②时，，则； ③时，，则； ∴当购买A种魔方数量小于45时，选活动一；当购买A种魔方数量等于45时，二者一样优惠；当购买A种魔方数量大于45小于等于50时，选活动二． 23. 如图，在中，半径直径，与相切于点，连接交于点，交于点，连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是平行四边形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得，再证明，由平行线的性质得，然后利用圆周角定理可得结论； （2）设的半径为r，利用正切的定义得到，则，则，然后根据平行四边形的判定方法可得结论． 【小问1详解】 ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设⊙O的半径为r， 在中， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的判定、锐角三角函数、圆周角定理等知识． 24. 已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N． (1)求点D的坐标. (2)求点M的坐标(用含a的代数式表示). (3)当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值． 【答案】（1）D（2,2）；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)令x=0求出A的坐标，根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线，根据点A与点D关于对称轴对称，确定D点坐标. (2)根据点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，即可求得M点的坐标. （3）根据点A、B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式，求直线OD的解析式，进而求出交点N的坐标，得到ON的长.过A点作AE⊥OD，可证△AOE为等腰直角三角形，根据OA=2，可求得AE、OE的长，表示出EN的长.根据tan∠OMB=tan∠ONA，得到比例式，代入数值即可求得a的值. 【详解】（1）当x=0时，， ∴A点的坐标为（0,2） ∵ ∴顶点B的坐标为：（1,2-a），对称轴为x= 1， ∵点A与点D关于对称轴对称 ∴D点的坐标为：（2，2） （2）设直线BD的解析式为：y=kx+b 把B（1,2-a）D（2，2）代入得： ，解得： ∴直线BD的解析式为：y=ax+2-2a 当y=0时，ax+2-2a=0，解得：x= ∴M点的坐标为： （3）由D(2，2)可得：直线OD解析式为：y=x 设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(0，2)B（1,2-a）可得： 解得： ∴直线AB的解析式为y= -ax+2 联立成方程组： ，解得： ∴N点的坐标为：（） ON=（） 过A点作AE⊥OD于E点，则△AOE为等腰直角三角形. ∵OA=2 ∴OE=AE=，EN=ON-OE=（）-=) ∵M，C(1,0)， B（1,2-a） ∴MC=，BE=2-a ∵∠OMB=∠ONA ∴tan∠OMB=tan∠ONA ∴，即 解得：a=或 ∵抛物线开口向下，故a<0， ∴ a=舍去， 【点睛】本题是一道二次函数与一次函数及三角函数综合题，掌握并灵活应用二次函数与一次函数的图象与性质，以及构建直角三角形借助点的坐标使用相等角的三角函数是解题的关键. 25. 如图1，正方形的边长为2，点M是的中点，P是线段上的一个动点（不与M、C重合），以为直径作，过点P作的切线，交于点F，切点为E． （1）求证：； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）延长、交于点G，连接并延长交直线于H（图2），问是否存在点P，使以A，F，O为顶点的三角形和以H，E，G为顶点的三角形相似，如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）首先证明进而得出，即可得出答案． （2）过F作于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是中点以及，即可得出的取值范围； （3）根据，得出以A，F，O为顶点的三角形和以H，E，G为顶点的三角形相似只存在两种情况：或，然后分类讨论求出结果即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过F作于Q，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）可知：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴ 化简得：． 【小问3详解】 解：存在这样的P点．理由如下： ∵， ∴以A，F，O为顶点的三角形和以H，E，G为顶点的三角形相似只存在两种情况：或， ∵， ∴，， 当时，， ∵正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， 解得：， 即； 当时，， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴此时、重合，即点E在上， ∵点P在上， ∴当点E在上时，不可能与相切， ∴此种情况不存在； 综上分析可知：时，以A，F，O为顶点的三角形和以H，E，G为顶点的三角形相似． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，求函数解析式，切线的性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，三角形相似的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$