2025 年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）全国总测试七年级试题（A 卷）

七年级全国总测试参考答案 一、填空题（每小题12分，共84分） 1、 已知 a−b=1，两边平方得 (a−b)2=12，即 a2−2ab+b2=1。 又 a2+b2=5，代入得 5−2ab=1，解得 2ab=4，即 ab=2。 计算 (a+b)2=a2+2ab+b2=5+4=9，故 a+b=±3。 2、 35 已知ab=2(a+b)，bc=3(b+c)，ca=4(c+a)，可得， 3、 设直角边为a，b，斜边为c。分情况讨论：1，直角边a长度为4，另一直角边b上的中线长为5，根据勾股定理得另一直角边的一半为3，斜边为；2，直角边长度为4，斜边上的中线长度为5，斜边为10；3，直角边长度为5，另一直角边b上的中线长为4，不满足直角三角形实际情况，不存在；4，直角边长度为5，斜边b上的中线长为4，斜边为8；5，斜边长为5，直角边上的中线为4，斜边为5；6，斜边长为4，直角边上的中线为5，不存在。所以， 4、55 它们的和能被30整除，故它们的和能被10整除，所以要被分成10个数。 分情况讨论：1，111+1+1+1+1+1+1+1+1+1=120，可以被30整除，总共有10种分法； 2，11+11+1+1+1+1+1+1+1+1=30，可以被30整除，考虑两个11的位置，总共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种分法； 总共有55种分法。 5、7 可得， 化简得 6、 设BD=5，作DC上的高AM、BN，则BN=AM=4，DN=，由于，得，故相似与，所以4:3=AC:5，所以，面积为。 7、100 可以发现黑板上每个数加1后的乘积在操作前后不变。设最后剩下的是x，则，x=100。 1. 解答题（共5题。第8-10题各12分，第11-12题各15分，共计66分） 8、3456 30 的质因数为 21×31×51，每个数的绝对值是 2a×3b×5c (a,b,c∈{0,1})，共 8 个正因数（含 1）。每行每列的乘积中，2、3、5的指数均为 1，故每个质因数的指数在每行每列恰好出现一次（排列矩阵）。质因数 2 的位置有3! 种排列，同理 3 和 5 各 3! 种，共 (3!)3 = 63 = 216 种绝对值排列方式。 每行每列乘积为正（符号乘积为 +1），即每行每列负数个数为偶数（0 或 2）。前两行前两列的符号（4 个位置，每个 ±1）可自由选择 24 = 16 种，第三行和第三列的符号由前两行决定，且自动满足条件（验证：第三行每行乘积为 +1，每列同理）。 绝对值排列与符号分配独立，故总填法为 216×16 = 3456。 9、1/3 设等腰梯形 ABCD 的对称轴为y轴，A(-a,0)，D(a,0)，B(-b,h)，C(b,h)(a>b>0)，点 P(x,y)。根据距离公式列出四个距离方程(x+a)²+y2=12, (x+b)²+(y-h)2=22，(x-b)²+(y-h)2=32，(x-a)²+y2=42。 通过PD2-PA2=4ax=15和PC2-PB2=-4bx=5,得，所以 10、18 满足题目条件小正方体最少的摆放情况如下： 11、26 首先，用五刀切西瓜其实就是求五个面能把空间分成多少部分。先考虑简单的情况，三刀能最多得到8块。在此基础上，新增加的面应该尽量多经过其它面划分出来的区域，并且面与面相交于线。所以新的一刀能增加多少个空间可以转化为：在新的面里面，3条线最多能把这个面分割成多少块，易得3条线能最多把面分成7份，3条线能最多把面分成11份，故最多可以有8+7+11=26。 12、504 设两者正常相遇的时间为t小时，擎天柱的速度为5v，大黄蜂一开始的速度为4v，则可得 因此距离为9v×t=504万千米。 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）全国总测试 (2025年夏季) 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计84分；第二部分：解答题，共计66分。 2、答题前请将自己的姓名、年级、教室编号、活动证号写在规定的位置。 3、测试时不能使用计算工具。 圜 4、测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 三 总分 核查人 得分 铷 七年级试题(A卷) 得 分 邮 评卷人 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 一、 填空题（每题12分，共计84分） 长 1、已知a一b=1,a2+b2=5,则a+b= K 爵 O燕○ 2设a,b,c均为非负实数，并且ab2(a+),bc=3(b+c,ca-4c+a,则 ab 织 杯 荞 3、一个直角三角形，一边的长和另一边上的中线长为4和5（顺序不固定），则这个三角形 解 斜边的所有可能长度之和为 毁 4、一共有12个1排成一行，在它们中间加入一定的加号使得它们的和能被30整除，例如 1+11+111+111111=111234。求使得最终和是30的倍数的添法的个数为 七年级第1页 5、已知y=1,+z+1+24x++2x4++1=3,y+z+zx=1。则2+ y2+z2的值为。 6、梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为 (第6题图) 、已知在果板上有1，子京，高这100个数字，我们战定：将其中两个数字a,方 擦去，然后在黑板上新加上ab+什b这个数字，记为一次操作。那么99次操作后，黑板上 最终只剩下一个数字。问该数字为 。 七年级 第2页 得分 评卷人 二、解答题（第8-10题各12分，第11-12题各15分，共计66分） 8、三乘三的九宫格内填入9个整数，每格填一个数，使得每一行、每一列各数的乘积均为30， 问一共有多少种填法？ 9.Isosceles trapezoid ABCD has parallel sides AD and BC,with BC<AD and AB=CD.There is a point P in the plame such that PA=1,PB=2,PC=3,and PD=4.Bc AD (Isosceles:等 腰；parallel平行的；plane平面) (第9题图) 10、由若干个1×1×1的小立方体粘合成一个立体图形（每个小立方体至少和周围一个小立 方体有公共面，所组成的立体图形从正面、上面、左面看，得到的图形都如图所示。那么组成 这个立体图形，至少需要多少个小立方体？ (第10题图) 七年级 第3页 11.一个西瓜，用刀切5次，最多能将其切成多少块？ 圜 如 12擎天柱和大黄蜂分别从地球和塞伯坦星球同时出发，相向而行，大黄蜂和擎天柱的速度比是 4:5,他们出发1小时后，大黄蜂遇到威震天的拦截而搏斗了半小时，然后大黄蜂继续前进，但 邮 因负伤速度减小了25%。当大黄蜂遇到擎天柱时，比预计的相遇时间推迟了22分30秒。如 果大黄蜂和擎天柱的相遇点距地球和塞伯坦星球两地中点70万千米，那么地球和塞伯坦星球 长 相距多少万千米？ R 郑 郝 解 七年级 第4页