2025年5月夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔模拟卷（三）七年级试题

2025年5月夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔模拟卷（三）七年级试题 一、填空题（每题8分，共计64分） 1．如图，点A，B在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点P从点A出发，沿A→B每秒2个单位 长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿B→A以每秒4个单位长度的速度向终点A 运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动。那么当Q为AB的中点时，线段PQ的长是　 　， 当Q为PB的中点时，点P表示的数为　 　。 2．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是　 　。 3．若nx2-xm-1+1=3是关于x的一元一次方程，则m=　 　，n=　 　. 4．如图，C、D是线段AB上两点，AC：BC=3：2，点D为AB的中点，AB=30。线段CD长是　 　. 5．已知，那么代数式　 　. 6．按商品质量规定：商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5g，设实际克数是x g，则x应满足的不等式是　 　． 7．如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加，则这个多边形的边数　 　. 8．如果 ，，那么 的值为　 　. 二、计算题(每题10分，共计20分) 9．若m适合关系式： ，求m的值。 10．若 为实数，且 ，求 的值. 三、解答题(第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分) 11．如图，△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P。求证：BP2=BC2+AP2。 12．《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮箱货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：“你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重，倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多。”驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答） 13．一般情况下：不成立，但有些数可以使得它成立，例如：。我们称使得成立的一对数a， b为“相对数对”，记为（a，b） （1） 若是“相对数对”，求b的值； （2）写出一个“相对数对”（a， b），并说明理由。（其中，且） （3）若（m， n）是“相对数对”，求代数式的值。 14．阅读材料，为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设①，那么原方程可化为，解得，。当时，，所以，解得；当时，，所以，解得。故原方程的解为，，，。 解答问题： （1）上述解题过程。在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法解方程，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上的知识解方程x4-x2-6=0。 15．一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-(m+2)x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长。 答案解析部分 2025年5月夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔模拟卷（三）七年级试题 一、填空题（每题8分，共计64分） 1．如图，点A，B在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点P从点A出发，沿A→B每秒2个单位 长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿B→A以每秒4个单位长度的速度向终点A 运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动。那么当Q为AB的中点时，线段PQ的长是　 　， 当Q为PB的中点时，点P表示的数为　 　。 【答案】2； 【知识点】数轴的点常规运动模型 【解析】【解答】解：∵Q为AB的中点，AB=8，，点Q的运动速度为每秒4个单位长度， ∴点Q的运动时间为1秒， ∵点P的运动速度为每秒2个单位长度， ∴点P的运动路程为2个单位长度，即AP=2， ∴PQ=AB-AP-BQ=2 设点P，Q的运动时间为t秒，则AP=2t，BQ=4t， ∴PQ=AB-AP-BQ=8-6t， ∵Q为PB的中点， ∴PQ=BQ，即8-6t=4t， ∴， ∴， ∵ ∴点P表示的有理数是， 故答案为：2；. 【分析】根据两点间的距离公式得出AB=8，根据线段中点的定义得出QB=4，根据路程除以速度等于时间得出当点Q为AB中点的时候，运动时间是1秒，此时AP=2，由PQ=AB-AP-BQ即可算出答案； 设点P，Q的运动时间为t秒，则AP=2t，BQ=4t，PQ=AB-AP-BQ=8-6t，根据线段中点的定义得出 PQ=BQ，从而列出方程，求解即可. 2．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是　 　。 【答案】3 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵， ∴的整数部分为2， ∴小数部分为， 即， ∵， ∴的整数部分为5， ∴b=5， ∴. 故答案为：3. 【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算. 3．若nx2-xm-1+1=3是关于x的一元一次方程，则m=　 　，n=　 　. 【答案】2；0 【知识点】一元一次方程的概念 【解析】【解答】解：∵nx2-xm-1+1=3是关于x的一元一次方程， ∴n=0，m-1=1， ∴m=2. 故答案为：2，0. 【分析】根据一元一次方程的定义得出n=0，m-1-1，再求出m即可. 4．如图，C、D是线段AB上两点，AC：BC=3：2，点D为AB的中点，AB=30。线段CD长是　 　. 【答案】3 【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：∵点D是线段AB的中点， ∴， ∵AC：BC=3：2， ∴， ∴CD=BD-BC=15-12=3， 故答案为：3. 【分析】根据中点定义求出BD的长度，再利用比例关系求出BC的长度，最后通过减法求出CD的长度. 5．已知，那么代数式　 　. 【答案】 【知识点】求代数式的值-化简代入求值 【解析】【解答】解：设， ∴，解得， ∴， 故答案为：. 【分析】设，则联立为方程组，解得，代入代数式，即可得到答案. 6．按商品质量规定：商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5g，设实际克数是x g，则x应满足的不等式是　 　． 【答案】495≤x≤505 【知识点】一元一次不等式组的应用 【解析】【解答】解：由题意，得x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5，即495≤x≤505. 故答案为：495≤x≤505． 【分析】实际克数x不能低于标明的500g减去允许的误差5g，且不能高于标明的500g加上允许的误差5g，据此列出不等式组，求解即可. 7．如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加，则这个多边形的边数　 　. 【答案】12 【知识点】多边形的内角和公式；多边形的边 【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得： ， 解得：n=12. 故答案为：12. 【分析】设未知数并利用多边形内角和公式来列出方程，进而求解多边形的边数. 8．如果 ，，那么 的值为　 　. 【答案】36 【知识点】分式的混合运算 【解析】【解答】解：∵a+b+c=0， ∴(a+1)+(b+2)+(c+3)=6， 两边平方得 (a+1)2+(b+2)2+(c+3)2+2[(a+1)(b+2)+(a+1)(c+3)+(b+2)(c+3)]=36 又由去分母， 得(b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)=0， ∴(a+1)2+ (b+2)2+(c+3)2=36. 故答案为：36. 【分析】由a+b+c=0得，(a+1)+(b+2)+(c+3)=6，两边平方得(a+1)2+(b+2)2+(c+3)2+2[(a+1)(b+2)+(a+1)(c+3)+(b+2)(c+3)]=36，再由去分母，得(b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)=0，代入上式即可. 二、计算题(每题10分，共计20分) 9．若m适合关系式： ，求m的值。 【答案】解：由条件得，， 所以， ， ， ，， ①+②得，， 【知识点】二次根式有意义的条件；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】为了使所有根式有意义，需要满足x+y=116，将此代入原式，得到，进而列出方程组，解之即可得到答案. 10．若 为实数，且 ，求 的值. 【答案】解：由题意可得： 解得 x=； 将x=代入 得y=， ∴ =. 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值 【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，最后将代数式变形后代入x，y的值，根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可. 三、解答题(第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分) 11．如图，△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P。求证：BP2=BC2+AP2。 【答案】证明：如图，连接BM。 ∵PM⊥AB， ∴ㅿBMP和ㅿAMP均为直角三角形。 ∴BP2+PM2=BM2，AP2+PM2=AM2 ∵∠C=90° ∴BC2+CM2=BM2 ∴BP2+PM2=BC2+CM2 又∵CM=AM， ∴CM2=AM2=AP2+PM2 ∴BP2+PM2=BC2+AP2+PM2 ∴BP2=BC2+AP2 【知识点】勾股定理 【解析】【分析】连接BM，构造辅助线并确定直角三角形，再根据勾股定理列出等式，进而即可得到结论. 12．《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮箱货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：“你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重，倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多。”驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答） 【答案】解：设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物，依题意，得：， 解得： 答：驴驮5口袋货物，骡子驮7口袋货物 【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题 【解析】【分析】设驴和骡分别驮x袋货物，y袋货物；根据骡子对驴说”倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍“，得y+1=2(x-1)；再根据骡子对驴说“而我若给你一袋，咱俩才刚好一样多”，得y-1=x+1；将上述两个方程联立方程组，解方程组即可得出答案. 13．一般情况下：不成立，但有些数可以使得它成立，例如：。我们称使得成立的一对数a， b为“相对数对”，记为（a，b） （1） 若是“相对数对”，求b的值； （2）写出一个“相对数对”（a， b），并说明理由。（其中，且） （3）若（m， n）是“相对数对”，求代数式的值。 【答案】（1）解：∵是“相伴数对” 解得： （2）解：(-4，9)是“相伴数对”，理由如下： ∴根据定义(-4，9)是相伴数对 （3）解：∵ (m， n) 是 “相伴数对” ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 当 时 【知识点】整式的加减运算 【解析】【分析】(1)利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值； (2)写出一个“相伴数对”即可； (3)利用“相伴数对”定义得到9m+4n=0，原式去括号整理后代入计算即可求出值. 14．阅读材料，为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设①，那么原方程可化为，解得，。当时，，所以，解得；当时，，所以，解得。故原方程的解为，，，。 解答问题： （1）上述解题过程。在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法解方程，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上的知识解方程x4-x2-6=0。 【答案】（1）换元 （2）解：设x2=y，则原方程可化为y2-y-6=0 ∴y1=3，y2=-2 当时， 即舍去； 当时， ， ∴， 【知识点】换元法解一元二次方程 【解析】【解答】解：(1)∵将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，实际上是将x2-1转化为了y， ∴这一步是运用了数学里的转化思想，这种方法交换元法， 故答案为：换元. 【分析】(1)利用换元法解一元二次方程，即可解答； (2)仿照例题的解题思路，进行计算即可解答. 15．一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-(m+2)x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长。 【答案】解：根据韦达定理： 因为两直角边边长为整数 所以m是整数 又因为判别式 = 设其等于 则有 因为且为整数 或 或 时，两直角边长为12和5，斜边长为13 时，两直角边长为6和8，斜边长为10 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】利用韦达定理x1+x2=m+2，x1x2=4m，容易消去m而直接得到两根的关系，从而解出x1，x2，然后进行检验即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$