《第10章二元一次方程组》期末综合复习训练题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 以二元一次方程组解法为核心，整合概念理解、方法应用与实际建模，形成“解法-变式-建模”三阶训练体系，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|单选题1-2、解答题15|代入消元法、加减消元法|从解的定义到基本解法，构建运算逻辑| |方法拓展|解答题18、填空题9|换元法、整体代换思想|通过式子变形实现方法迁移，发展推理意识| |实际应用|解答题19-20、单选题6-7|建模分析（等量关系建立）|将现实问题抽象为方程组，强化应用意识|

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 4．表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 5．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 6．某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，则________，________． 9．如果方程组的解，则方程组的解为______． 10．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为____________． 11．已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 12．加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文对应加密文，如明文对应加密文．若接收到的加密文为，则发送的明文是______． 13．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 14．如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为________． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 17．已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 18．解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 19．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 20．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 参考答案 1．D 【分析】将第一个方程中x的表达式代入第二个方程即可得到正确结果． 【详解】解： 将①代入②可得 ． 2．B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 3．C 【分析】根据新定义列出方程组，解方程组求得，代入规定的式子，将代入进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴， ． 4．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的解的定义，从表格中找到答案即可． 【详解】解：由表格可知，，是二元一次方程的解，，是二元一次方程的解， 关于，的二元一次方程组的解为． 故选：C． 5．A 【分析】先设出两种奖品的购买数量，根据总价列出二元一次方程并化简，然后通过分析变量的取值范围和正整数要求，逐一找出所有有效的正整数解，统计解的数量即可得到方案数． 【详解】解：设购买奖品件，奖品件，其中、为正整数． 根据总费用为元，可列方程：， 将方程变形为用表示的形式：． 因为为正整数，所以必须是正偶数： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，为负数，不符合条件； 综上，共有3种不同的购买方案． 6．C 【分析】根据总工人数为名和1个车架与4个车轮可配成一套，两个等量关系列方程组即可． 【详解】由题意可得． 7．C 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是， 故选：C． 8． 2 /0.5 【分析】本题考查非负数的性质、解二元一次方程组，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零时，每个项必须为零，从而得到二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：由已知方程 ， 根据非负数的性质，得 即 将方程①乘以 2，得 将方程③与方程②相加，得，， 将代入方程①，得，，，． 故答案为：2，． 9． 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 10．17 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解． 由题意可知，方程组的解也是二元一次方程的解，说明这三个方程有公共解，因此可先联立方程求出公共解，再将解代入方程中求的值． 【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴这三个方程有公共解， ∴， 解得：， 将代入得， 解得：． 故答案为：17． 11． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设明文为，由加密规则得方程组，解此方程组即可得明文，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设明文为，由加密规则得方程组： ， 解得：， ∴明文为：， 故答案为： 13． 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 14．70 【详解】通过观察图形，找到小长方形长和宽的数量关系，再结合大长方形的周长，建立二元一次方程组来求解． 解：设小长方形的长为，宽为． 水平方向上，个小长方形的长等于个小长方形的宽，即． 周长：． 因此，得到方程组： ， ： ，即： ③联立①得： ，解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 ∴小长方形的长，宽． ∴大长方形的长为，宽为． ∴面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是通过观察图形找到小长方形长与宽的数量关系，再结合大长方形的周长建立方程求解． 15．(1) (2) 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可； （2）把代入，得，再运算求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和有相同的解， ∴ ①②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：把，代入，得， 解得， ∴． 17．(1)，； (2) (3)有，公共解为 【分析】（1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解：联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 18．(1) (2) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解得， r， 解得， 即：方程组的解为； （2）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 19．(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 20．(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 学科网（北京）股份有限公司 $