第10章二元一次方程组期末复习综合测试卷 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 苏科2024版初中数学第十章二元一次方程组期末复习单元卷，全面覆盖方程组概念、解法及应用，融合《九章算术》算筹图、幻方等文化情境与实际问题，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义（题1）、算筹图方程组（题4）|文化传承，基础概念辨析| |填空题|6/18|同类项求参数（题12）、行程问题（题14）|模型意识，运算能力考查| |解答题|8/72|整体代换法（题18）、幻方（题23）、租车方案（题24）|创新意识，应用意识，推理能力递进|

（苏科2024版）《第十章二元一次方程组》 期末复习综合测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．下列各方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程；含有两个未知数；所有含未知数的项的次数都是1，据此逐一验证选项即可． 【详解】A、中是分式，方程不是整式方程，不符合要求，故A错误； B、中项的次数为2，不符合次数都是1的要求，故B错误； C、中项的次数为2，不符合要求，故C错误； D、，含有，两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，故D正确． 2．下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解； 将各选项中的x和y值代入方程，验证是否满足等式． 【详解】解：A、将代入；则；故选项不符合题意； B、将代入；则；故选项不符合题意； C、将代入；则；故选项符合题意； D、将代入；则；故选项不符合题意； 故选：C 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中不能得到一元一次方程的是（    ） A．①② B．②① C．①② D．①② 【答案】C 【分析】掌握加减消元法的步骤是求解本题的关键．根据加减消元法依次判断． 【详解】解：A. ①②得，可以得到一元一次方程，故选项不合题意； B. ②①得，可以得到一元一次方程，故选项不合题意； C. ①②得，不可以得到一元一次方程，故选项符合题意； D. ①②得，可以得到一元一次方程，故选项不合题意． 4．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：， 故选C． 5．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 6．关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】两方程相减得出，进而求出k的值． 【详解】解：， 得：， ∵x减去y的差等于5， ， 解得：． 7．如果与互为相反数，那么x，y的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义得到两个代数式的和为0，利用平方和绝对值的非负性列出二元一次方程组，解方程组即可得到x，y的值． 【详解】∵与互为相反数， ∴， ∵任意实数的平方和任意实数的绝对值都是非负数，几个非负数的和为0，则每个非负数都为0， ∴， 整理得， 由①得，代入②得 ， 展开得， 解得， 将代入得， 即． 8．已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．都不正确 【答案】C 【分析】先解方程组得到解为，，然后逐一验证两个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； ∴①②都正确． 9．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 10．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 【答案】A 【分析】先设出两种奖品的购买数量，根据总价列出二元一次方程并化简，然后通过分析变量的取值范围和正整数要求，逐一找出所有有效的正整数解，统计解的数量即可得到方案数． 【详解】解：设购买奖品件，奖品件，其中、为正整数． 根据总费用为元，可列方程：， 将方程变形为用表示的形式：． 因为为正整数，所以必须是正偶数： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，为负数，不符合条件； 综上，共有3种不同的购买方案． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．已知方程，是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程满足的条件为含有个未知数，含有未知数的项的次数是的整式方程，据此列出关于、的方程，求解后计算即可． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ， 解得， ． 12．若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 13．已知方程组，则的值是_____． 【答案】2 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组得出，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：， 得：， 则 ． 14．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是______． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 15．若方程组有无穷多组解，则的值为_______． 【答案】5 【分析】方程组有无数解，则这个方程组包含两个相同方程． 【详解】解：由题意知，方程组包含的两个方程是同一个方程等式， ，解得， ， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组有无数解是解题关键． 16．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为______． 【答案】或0 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故答案为 ：或0． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题4分，共8分）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组即可； （2）将第一个方程去分母化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴原方程组的解为． （2）解：， 去分母得，整理得， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴原方程组的解为． 18．（8分）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 【详解】（1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得． 19．（8分）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组与的解相同， ∴， 由得：， ， 将代入①中得：， 解得：， ∴． （2）解：∵由（1）得， ∴将代入，得， 由得：， ， 将代入①中得：，解得：， ∴． 20．（8分）在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： (1)求原方程组中的a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，正确解方程组是解题的关键． （1）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解； （2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】（1）根据题意得： 解得： ； （2）原方程组是： ， 得， 解得，再代入得， 即，解得， 所以原方程组的解为． 21．（9分）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 22．（9分）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)6 (2) (3)共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程： （1）根据题意可得或或或或或，解方程即可得到答案； （2）先求出，再由都是正整数得到是正整数，即或，据此可得答案； （3）设和两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴或或或或或， 解得或或或或或， 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴是正整数，即或， 当时，（不符合题意）； 当时，符合题意， ∴的正整数解为， 故答案为：； （3）解：设和两种规格的绳子分别为x段，y段， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴是正整数， ∴x是4的倍数， ∴当，；当，， ∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子． 23．（10分）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36， ∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10， ∴第一列三个数从上到下依次为9，14，13， ∴第一行的三个数从左到右依次为9，16，11， 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 24．（12分）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨，某物流公司现有31吨货物，现计划用、型车载运货物，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金50元/次，型车每辆需租金60元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨 (2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆． (3)最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元 【分析】（1）根据“用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨”，列方程组求解即可； （2）设租A型车a辆，B型车b辆，则，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案； （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次，分别求出租车费用比较即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 依题意列方程组得： ， 解方程组，得：， 答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨． （2）解：设租A型车a辆，B型车b辆， 则， ∵a、b都是正整数， ∴或或 答：有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车1辆，B型车7辆． （3）∵A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次， ∴方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） 方案三需租金：（元） ∵ ∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找出题中的数量关系，正确列出方程或方程组． 学科网（北京）股份有限公司 $ （苏科2024版）《第十章二元一次方程组》 期末复习综合测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．下列各方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中不能得到一元一次方程的是（    ） A．①② B．②① C．①② D．①② 4．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 5．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 6．关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如果与互为相反数，那么x，y的值是（　　） A． B． C． D． 8．已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．都不正确 9．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 10．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．已知方程，是关于，的二元一次方程，则______． 12．若单项式与是同类项，则_____． 13．已知方程组，则的值是_____． 14．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是______． 15．若方程组有无穷多组解，则的值为_______． 16．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为______． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题4分，共8分）解方程组： (1) (2) 18．（8分）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 19．（8分）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 20．（8分）在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： (1)求原方程组中的a，b的值； (2)求原方程组的解． 21．（9分）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 22．（9分）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 23．（10分）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 24．（12分）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨，某物流公司现有31吨货物，现计划用、型车载运货物，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金50元/次，型车每辆需租金60元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费． 学科网（北京）股份有限公司 $