精品解析：山西阳泉市第十五中学校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

2025-2026年度下学期八年级期中数学试卷 一、选择题 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 5. 菱形的边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 8. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 3 9. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A. 互相平分 B. 相等且互相平分 C. 互相垂直平分 D. 互相垂直 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题 11. 最简二次根式与可以合并，则________． 12. 若式子有意义，则的取值范围是______． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 14. 新考法如图1，在小正方形的边长为1的的网格中，，，，，各点都在格点上，如图2是一条数轴，其中点所表示的数可能是网格中线段____________的长度.（填“”“”“”或“”） 15. 如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F．若，，则______． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，在，，于，，，求线段和的长． 18. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 20. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 21. 综合与实践：构图法求三角形的面积 问题提出 在中，，，三边的长分别为，，，求的面积． 素材1 某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高 的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 素材2 某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形． 任务1 （1）请直接写出图中的三角形面积___． 任务2 （2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 任务3 （3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积． 22. 阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化： （3）化简：． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度下学期八年级期中数学试卷 一、选择题 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A，，被开方数是能开得尽方的平方数，因此A不符合要求； 选项B，，被开方数含有小数，因此B不符合要求； 选项C，，被开方数是整数，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，因此C符合要求； 选项D，，被开方数含有分母，因此D不符合要求． 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需验证三角形三边中两短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能构成直角三角形，否则不能． 【详解】解：A选项中，最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B选项中，最长边为，∵ ，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C选项中，最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D选项中，最长边为，∵ ，，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 3. 如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先根据勾股定理求出的长度从而得到的长度，再减去即可得到答案，解题的关键是用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴点A表示的实数是， 故选C． 4. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分． 菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形及矩形的性质,熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键． 5. 菱形的边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，然后利用勾股定理列式求出另一条对角线的一半的长，即可得解． 【详解】解：如图，∵菱形的一条对角线长为16， ∴， ∵菱形的对角线，， ∴， ∴． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 8. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式求出的长，利用菱形对角线互相平分得出为中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 菱形的面积，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 9. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A. 互相平分 B. 相等且互相平分 C. 互相垂直平分 D. 互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理结合，推出四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直且平分，即可得出结果． 【详解】解：由题意和三角形的中位线定理可知：， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的对角线互相垂直平分； 故选C． 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 故选：D． 二、填空题 11. 最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 12. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0，即可求解． 【详解】解：要使有意义，需满足且 ∴且， 因此的取值范围是． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 14. 新考法如图1，在小正方形的边长为1的的网格中，，，，，各点都在格点上，如图2是一条数轴，其中点所表示的数可能是网格中线段____________的长度.（填“”“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理分别求出，，，的长度，再根据数轴上点的位置确定其取值范围，通过比较算术平方根的大小即可求解； 【详解】解：由勾股定理得：，，，， 由图2可知，点在与之间，且靠近， ，， ， ∴其中点所表示的数可能是网格中线段的长度． 15. 如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线交于点，垂足为，勾股定理得出，证明四边形是矩形，，得出，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于点，垂足为，如图所示： 设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式，进行二次根式的乘法运算，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，在，，于，，，求线段和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】首先求出，然后利用含30度角直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，然后同理求出即可． 【详解】解：∵于，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，即， ∴ ， ∵E 是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据平行可得 ，结合角边角证明和全等，由此可证明； （2）先根据平行四边形的性质得到，设，利用勾股定理求解x的值，再根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，D是的中点， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形，故， 已知，设，则， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， ∴． 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）99 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ∴． 【小问2详解】 解：， ， ． ∴． 20. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 21. 综合与实践：构图法求三角形的面积 问题提出 在中，，，三边的长分别为，，，求的面积． 素材1 某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高 的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 素材2 某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形． 任务1 （1）请直接写出图中的三角形面积___． 任务2 （2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 任务3 （3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】任务1，根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； 任务2：根据网格的特点作出三边，，的长分别为， ，，然后根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； 任务3，根据任务2的方法，将图形放置网格中求得，进而求得两个正方形的面积，即可求解． 【详解】任务1：如图所示， ， 故答案为：． 任务2：如图所示，三边，，的长分别为， ， ∴； 任务3：如图所示，，，， ∴改造后的六边形花圃的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 22. 阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化： （3）化简：． 【答案】（1）， （2） （3）2024 【解析】 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）把的分子、分母同时乘以，进行化简即可； （3）先进行分母有理化，再根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵ ∴原式 ． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $