精品解析：浙江省温州市瑞安市安阳实验中学、新纪元实验中学2025-2026学年下学期九年级中考考前数学试题

2025学年第二学期九年级初中学业水平考试适应性检测试卷 九年级数学2026.6 温馨提示： 1．全卷共6页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年5月1日，温州园博园单日入园人数累计超人次，刷新温州单个景点的单日接待纪录．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在“探究重力与质量的关系”的实验中，小亮和小红使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：）．小亮记录的数据是：3.9，4.0，4.0，4.0，4.1；小红记录的数据是：3.7，3.8，4.0，4.2，4.3，关于小亮和小红测量数据的波动程度，下列说法正确的是（ ） A. 小亮的测量数据波动更大 B. 小红的测量数据波动更大 C. 两人的测量数据波动一样 D. 无法比较 7. 为提升作业的批改效率，某校使用AI智能批阅机，王老师使用该机器批改作业的速度是原来的倍，批改90份所用时间比原来节省2小时，设王老师原来平均每小时批改x份，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时， D. 当时， 9. 如图，图1为《天工开物》记载舂谷工具“碓”的结构简图，图2为其平面示意图．操作时，碓杆绕支点C转动，使碓头点B抬高．已知于点A，与水平线l的夹角为．若分米，分米，，则此时点B到水平线l的距离为（ ） A. 6分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米 10. 小明在手工课上拿到了一张如图1所示的五边形纸片，已知，，，他计划在线段上选取一点P，分别以，为边裁剪出两张正方形纸片．设的长度为，两个正方形面积和为y，y关于x的函数图象如图2所示，则线段的长与a的值分别为（ ） A. 7，1.5 B. 7，1 C. 6，1.5 D. 6，1 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 不等式组的解集是______． 13. 如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 14. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字．如图，正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“山”的概率是______． 15. 如图，某手工工作室需要制作一个扇形的装饰挂件，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形作为挂件，则此扇形挂件的面积是______． 16. 如图，已知菱形，对角线，交于点，，点为线段上一点，连结交线段于点．将沿翻折得到，点的对应点为，线段交于点．若，则的值为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点E是延长线上一点，且，连结交于点F． （1）求证：． （2）若，，求线段的长度． 20. 某校深耕“智慧校园”建设，聚焦初中生线上学习的个性化需求，联合技术团队设计了一款专属学习（应用软件）．为真实了解学生对该款的使用体验与喜爱倾向，学校计划从七、八、九三个年级中共抽取m名学生参与体验测评．参与学生需在完整体验该款一周后进行评分，评分等级分别为5分（非常喜欢）、4分（比较喜欢）、3分（一般）、2分（不太喜欢）、1分（很不喜欢），学校将结合评分数据开展分析评估． （1）求m，n的值． （2）求该款的平均评分． （3）据了解，该校有960名在校生，请估计全校对该款评分为3分及以上的学生人数． 21. 如图1，底面为正方形的长方体容器内有一六角螺母（视作底面为正六边形的直棱柱正中间挖去一个圆柱）水平放置其中，长方体底面边长为．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图2所示（其中线段与横轴平行）． （1）容器内六角螺母的高度是______，注水的速度为______． （2）求六角螺母内部圆柱的底面半径（π取3） 22. 【问题背景】 小龙同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”．如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的布洛卡点，同时称为的布洛卡角．布洛卡点的发现，引起了小龙同学研究“三角形几何”的极大热情． 【解决问题】 （1）如图2，P为等边三角形的布洛卡点，求的布洛卡角的度数． （2）如图3，在中，，，点为的布洛卡点，且．设，请用m的代数式表示． 23. 已知二次函数（k为常数且） （1）若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． （2）若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 24. 如图，四边形内接于，且，过点B作的平行线，分别交于点E、交延长线于点F，连接并延长交于点G，已知． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级初中学业水平考试适应性检测试卷 九年级数学2026.6 温馨提示： 1．全卷共6页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：这四个数的大小关系为， 所以在这四个数中，最小的数是． 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 2026年5月1日，温州园博园单日入园人数累计超人次，刷新温州单个景点的单日接待纪录．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到结果，科学记数法要求，为整数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 将原数转变为符合要求的，可得，小数点向左移动了位， ∴， ∴用科学记数法表示为． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项和同底数幂的乘除法运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：和不是同类项，不能合并，选项A、B错误，故不符合题意； 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，可得，选项C错误，故不符合题意； 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可得，选项D正确，故符合题意． 故选：D． 5. 如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为点O，， ∴，且相似比为， ∴； 6. 在“探究重力与质量的关系”的实验中，小亮和小红使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：）．小亮记录的数据是：3.9，4.0，4.0，4.0，4.1；小红记录的数据是：3.7，3.8，4.0，4.2，4.3，关于小亮和小红测量数据的波动程度，下列说法正确的是（ ） A. 小亮的测量数据波动更大 B. 小红的测量数据波动更大 C. 两人的测量数据波动一样 D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】数据的波动程度由方差判断，方差越大，数据波动越大，分别计算两组数据的方差，比较大小即可得出结论． 【详解】解：小亮数据的平均数， 小亮数据的方差， 小红数据的平均数， 小红数据的方差， ∵， ∴小红的测量数据波动更大． 7. 为提升作业的批改效率，某校使用AI智能批阅机，王老师使用该机器批改作业的速度是原来的倍，批改90份所用时间比原来节省2小时，设王老师原来平均每小时批改x份，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“时间工作量工作效率”求出原来和现在批改90份作业的时间，再根据时间差的等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设王老师原来平均每小时批改份，则现在批改速度是原来的份， 原来批改份所用时间为小时，现在批改份所用时间为小时， ∵现在批改比原来节省小时，即原来的时间减去小时等于现在的时间， ∴可列分式方程 ． 8. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数中，根据点在函数图象上的判定，反比例函数的象限分布和增减性，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵反比例函数， ∴当时，，故A错误； B、∵， ∴反比例函数图象位于第一、第三象限，故B错误； C、∴在每一象限内，随的增大而减小， ∵，两点都在第三象限， ∴，故C正确； D、若，，满足， 此时，， ∴，不符合，故D错误． 9. 如图，图1为《天工开物》记载舂谷工具“碓”的结构简图，图2为其平面示意图．操作时，碓杆绕支点C转动，使碓头点B抬高．已知于点A，与水平线l的夹角为．若分米，分米，，则此时点B到水平线l的距离为（ ） A. 6分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米 【答案】D 【解析】 【分析】和 ，得到辅助线思路，通过延长 交直线 l 相交，构造出大直角三角形 ，利用的直角三角形的性质或勾股定理，结合已知边，算出斜边和另一条直角边的长度，利用线段的和差关系，得到补足的直角边长度 ，过点 B 作垂线 ，构造出小直角三角形 ，利用相似对应边成比例，即可求出目标线段 ． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴， 且， ∴在中，， 即， 解得，故， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 10. 小明在手工课上拿到了一张如图1所示的五边形纸片，已知，，，他计划在线段上选取一点P，分别以，为边裁剪出两张正方形纸片．设的长度为，两个正方形面积和为y，y关于x的函数图象如图2所示，则线段的长与a的值分别为（ ） A. 7，1.5 B. 7，1 C. 6，1.5 D. 6，1 【答案】A 【解析】 【分析】设长度为m，可得，因此两个正方形面积和为，这是开口向上的二次函数，其最小值在顶点处取得，因为函数图象在时取得最小值，所以将、代入上述函数式，即可求解m的值；确定x的下限a：因为以为边的正方形最大边长不能超过的长度8，且裁剪时正方形不能超出五边形边界，结合五边形的段倾斜特征，得到关于x的不等关系，求解即可得到a的值； 【详解】设，，则， ∴两个正方形的面积和为： ，  由图2可知，当时，， 代入得： ， 整理得， 解得，， 因为，所以， ∴， ∵由图2可知，的最大值为， 且由图1可知，的最大限度为， ∴， 如图所示，以为原点，为水平正方向，为竖直正方向建立坐标系： ∴，，，，， 设的直线方程为，代入坐标得， 解得 ∴， 以为边的正方形左上角坐标为， 该点必须在五边形内，因此满足纵坐标不超过在处的纵坐标， 即： ， 解得， ∴， 综上，长为，． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的运算法则求解即可． 【详解】解：． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取其公共部分即得不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴这个不等式组的解集为． 13. 如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 【答案】##25度 【解析】 【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线， ． 14. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字．如图，正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“山”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 共有种等可能出现的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“山”的情况有种， 故这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“山”的概率是． 15. 如图，某手工工作室需要制作一个扇形的装饰挂件，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形作为挂件，则此扇形挂件的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得为直径，即，，再结合勾股定理求出，最后再由扇形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形作为挂件，即， ∴为直径，即，， ∵， ∴， ∴此扇形挂件的面积是． 16. 如图，已知菱形，对角线，交于点，，点为线段上一点，连结交线段于点．将沿翻折得到，点的对应点为，线段交于点．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质和三角函数设，，利用翻折性质和平行线性质证明，通过相似三角形求出与的关系，再利用相似三角形求出与的关系，最后计算比值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴， 由翻折可知：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，如图： ∵在中，， ， ∴在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴，， 过点作交于点，如图： ∵， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题以菱形为载体，结合翻折与相似三角形求解线段比，关键是用参数法设元，利用菱形性质、翻折性质和平行线性质转化线段，再通过相似三角形建立比例关系，结合三角函数简化计算，最终求出比值． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，以及特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式分母因式分解，再由异分母分式加法运算计算，然后约分即可得到化简结果，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，点E是延长线上一点，且，连结交于点F． （1）求证：． （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1）证明：在中，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，进而得到，再根据“”证明即可； （2）由全等的性质可得，进而得到、即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，又， ，， ， ，则， 在中， ． 20. 某校深耕“智慧校园”建设，聚焦初中生线上学习的个性化需求，联合技术团队设计了一款专属学习（应用软件）．为真实了解学生对该款的使用体验与喜爱倾向，学校计划从七、八、九三个年级中共抽取m名学生参与体验测评．参与学生需在完整体验该款一周后进行评分，评分等级分别为5分（非常喜欢）、4分（比较喜欢）、3分（一般）、2分（不太喜欢）、1分（很不喜欢），学校将结合评分数据开展分析评估． （1）求m，n的值． （2）求该款的平均评分． （3）据了解，该校有960名在校生，请估计全校对该款评分为3分及以上的学生人数． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算样本总人数及占比即可； （2）根据平均数的求解公式计算； （3）根据样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题可知评分为5分的有人，占， 共抽取（人）， 评分等价为1分占， 即，； 【小问2详解】 解：平均评分为； 【小问3详解】 解：评分为3分及以上的占， （人）， 答：估计全校对该款APP评分为3分及以上的学生人数为人． 21. 如图1，底面为正方形的长方体容器内有一六角螺母（视作底面为正六边形的直棱柱正中间挖去一个圆柱）水平放置其中，长方体底面边长为．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图2所示（其中线段与横轴平行）． （1）容器内六角螺母的高度是______，注水的速度为______． （2）求六角螺母内部圆柱的底面半径（π取3） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象信息可得螺母的高度，再由到的注水情况可得注水速度； （2）由图可知从到是往六角螺母内部圆柱注水，设圆柱半径为，再列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据水面高度与注水时间之间的关系， 可得圆柱形容器的高为， 从到共注水， ， 所以匀速注水的水流速度为； 【小问2详解】 解：由图可知从到是往六角螺母内部圆柱注水，设圆柱半径为， ，又取3， ， 解得． 22. 【问题背景】 小龙同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”．如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的布洛卡点，同时称为的布洛卡角．布洛卡点的发现，引起了小龙同学研究“三角形几何”的极大热情． 【解决问题】 （1）如图2，P为等边三角形的布洛卡点，求的布洛卡角的度数． （2）如图3，在中，，，点为的布洛卡点，且．设，请用m的代数式表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明，根据等边所对的角相等列出等量关系式即可解得． （2）证明，再根据相似的性质求线段长即可． 【小问1详解】 解：∵P为等边三角形的布洛卡点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，， ， 又， ，则， ， ，即， ． 23. 已知二次函数（k为常数且） （1）若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． （2）若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）k的取值范围为 【解析】 【分析】（1）①由题意易得，然后问题可求解；②由题意易得，则有，即，然后可得，，进而作差进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点坐标为，代入一次函数可得，则有，然后可得，令，则有，进而根据题意可分当时，当时，当时，最后分类求解即可． 【小问1详解】 解：①由对称轴是直线可知：， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 由①可知：二次函数的表达式为，且，两点在该函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由可知：顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， 令，则有， ∴此函数的对称轴为直线， ∵当时，都有，即当时，都有， ∴当时，都有， 则可分：①当时，则需满足时，，即即可， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； ②当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴； ③当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； 综上所述：k的取值范围为． 24. 如图，四边形内接于，且，过点B作的平行线，分别交于点E、交延长线于点F，连接并延长交于点G，已知． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）若，求证：． 【答案】（1）证明：连接， ，， ，则， 又四边形内接于， ， ， ，即 ， 又， ， 又， 即， ； （2） （3）证明：由（1）知， ， ， ， 由（2）知，则， ， 即． 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行线的性质及圆周角定理可得，进而可得，然后可证； （2）先求得，利用勾股定理求出，再由进行计算即可； （3）先证，则，结合（2）知，再求证等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， 设， ， ，则为的中点， ，， 又， ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $