精品解析： 第十三章 轴对称 期末章节复习题提高版B卷 2022—2023学年人教版数学八年级上册

八上数学第十三章《轴对称》期末章节复习题提高版B卷 一、单选题 1. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于(  ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 2. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 3. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作 交于点E，交于点F，过点O作 于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，点是 内任意点，，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点， 周长的最小值是6cm，则 的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 5. 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 6. 如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…若∠A＝70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，直角坐标系中，点 A（ − 2,2）、B（0,1）点 P 在 x 轴上，且△PAB 的等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，O为和的平分线的交点， 交BC于点D，交BC于点E．若，则 的周长为（ ） A. 11cm B. 10cm C. 9cm D. 8cm 9. 如图，等边三角形中， ，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 11. 如图，在锐角中， ，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 12. 如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 13. 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度数是 （ ） A. 45° B. 75° C. 90° D. 60° 14. 如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题 15. 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤ ． 恒成立的结论有 ___________．（把你认为正确的序号都填上） 16. 如图，A、B、C、D、E、F、G都在 的边上，，若，则__． 17. 如图，已知∠AOB＝45°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则ON的长为__． 18. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是______． 19. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=_____． 20. 如图，在等边中，点D是上的一点，在上取一点E，使，连接交于点P，在的延长线上取一点Q，使 ，连接，点G为的中点，，若，则________________． 21. 在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm．BC=6 cm, 动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径绕△ABC的边运动一周，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．则△BCP为等腰三角形时t的值是________． 22. 如图，△ABC中， ∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动， 连结BE，ED.若BE+ED的最小值是2， 则AB的长是______ 三、解答题 23. 如图(1)，等边中， 是边上的动点，作等边 使得点和点位于两侧，连接. （1） 与全等吗？请说明你的理由； （2）求证： ； （3）如图（2），将（1）动点 运动到边的延长线上，其余条件不变，请问是否仍有 ？证明你的猜想. 24. 如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.求证:BD=2CE. 25. 如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段 上由C点向A点运动． （1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后 与是否全等？并说明理由； （2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有 与全等？ （3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 26. 如图，过∠AOB的平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E作直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论． 27. 已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ 28. 求代数式 的最小值． 29. 已知：在等腰三角形中，， 于点D，以为边作等边三角形 ，直线交直线于点F，连接． （1）如图1，， 与在直线的异侧，且交于点M． ①求证：； ②猜想线段，， 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）当，且 与在直线的异侧时，利用图2画出图形探究线段之间的数量关系，并直接写出你的结论． 30. 如图，已知：， ，，相交于点M，有 ． （1）试说明： ； （2）若平分，试说明：垂直平分． 四、综合题 31. 在中，，，点 在边上，和 关于直线对称，的平分线交于点，连接． （1）求的度数； （2）设． ①当 为等腰三角形时，请求出此时m的值； ② 有可能是直角三角形吗？若有，请直接写出相应m的值；若没有，请说明理由． 32. 如图，已知中，，点D为的中点． （1）如果点P在线段上以 的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， 与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 与全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多少时间后，点P与点Q第一次在的哪一边上相遇？ 33. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 ，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形 ？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 34. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 35. 如图所示，D是等边三角形外一点， ，，点E，F分别在、上． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若 平分，求证： 平分． （3）在（2）的条件下，求 的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上数学第十三章《轴对称》期末章节复习题提高版B卷 一、单选题 1. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于(  ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义可知∠AEB=∠AFC=90°，由三角形内角和定理得∠ABE=∠ACF=30°，在Rt△FBM、Rt△EMC中，根据直角三角形的性质求得BM=10，EM=2，再由BE=BM+ME即可求得答案. 【详解】解：∵ BE⊥AC， CF⊥AB， ∴∠AEB=∠AFC=90°， ∵ ∠A=60°， ∴∠ABE=∠ACF=30°， 在Rt△FBM中， ∵ FM=5， ∴BM=2FM=10， 在Rt△EMC中， ∵ CM=4， ∴EM=CM=2， ∴BE=BM+ME=10+2=12. 故答案为C. 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质． 2. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F. 如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD=60 ，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ. ∵在△PFD和△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS)， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE=. 故选：B. 3. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作 交于点E，交于点F，过点O作 于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出 ，，进而得出；过点作 于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论（2）正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论（1）正确； 如图，过点作 于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论（4）错误； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论（3）正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 4. 如图，点是 内任意点，，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点， 周长的最小值是6cm，则 的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D， C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN， 根据轴对称性，得PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，结合△PMN周长的最小值是6cm，，得OC=OD=CD，从而得△OCD是等边三角形，进而即可求解． 【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点D， C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN， ∵点P关于OA的对称点为D， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA， ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周长的最小值是6cm， ∴PM+PN+MN=6， ∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP， ∴OC=OD=CD， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°， 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质以及等边三角形的判定与性质定理，通过轴对称，构造等边三角形，是解题的关键． 5. 如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形． 【详解】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有： 故选D． 【点睛】在本题中先找对称轴是关键，找好了对称轴，对称图形就利用轴对称的性质画． 6. 如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…若∠A＝70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得出∠B1A2A1＝＝（）°，∠B2A3A2＝（）°，∠B3A4A3＝（）°，从而得出答案 【详解】∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝∠A＝70°， ∵A1A2＝A1B1， ∴∠A1B1A2＝∠B1A2A1 ∵∠BA1A是△A1A2B1的外角， ∴∠B1A2A1＝＝（）°； 同理可得， ∠B2A3A2＝（）°，∠B3A4A3＝（）°， ∴∠An﹣1AnBn﹣1＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识找出规律是解题的关键 7. 如图，直角坐标系中，点 A（ − 2,2）、B（0,1）点 P 在 x 轴上，且△PAB 的等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由AB=AP，可得以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（-1，0），P2（-3，0）； 由BP=AB，可得以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（-2，0），（2，0）不能组成△ABP， 由AP=BP，可得AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB）． 【详解】如图，点A（-2，2）、B（0，1）， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（-1，0），P2（-3，0），此时（AP=AB）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（-2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）； ③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）； 设此时P4（x，0）， 则（x+2）2+4=x2+1， 解得：x=-， ∴P4（-，0）． ∴符合条件的点有4个． 故选D． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定．解题关键在于掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 8. 如图，在中，O为和的平分线的交点， 交BC于点D，交BC于点E．若，则 的周长为（ ） A. 11cm B. 10cm C. 9cm D. 8cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出， ． 根据平行线的性质得出，根据角平分线定义推出，推出，同理 ，求出的周长=长，代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， 同理 ， ∴的周长为 故选：B． 9. 如图，等边三角形中， ，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由等边三角形性质，得 ，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在与 中， ， ， ， ， ， ． 10. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则 ， 点的坐标为 ； 令中，则，解得： ， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 11. 如图，在锐角中， ，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 在上取一点E，使，连接 ，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接 ， 是的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时， 取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得 ， 即的最小值为5， 故选：C 12. 如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答． 解：如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO， ∵OD是AC的垂直平分线， ∴OC=OA， 同理OC=OB， ∴OA=OB=OC， ∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上， ∴C是直角． 故选C． 考点：线段垂直平分线的性质． 13. 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度数是 （ ） A. 45° B. 75° C. 90° D. 60° 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD； ∵△PCD中，∠APC=60°， ∴∠DCP=30°，PC=2PD， ∵PC=2PB， ∴BP=PD， ∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°， ∵∠ABP=45°， ∴∠ABD=15°， ∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°， ∴∠ABD=∠BAD=15°， ∴BD=AD， ∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°， ∴BD=DC， ∴△BDC是等腰三角形， ∵BD=AD， ∴AD=DC， ∵∠CDA=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°， 故选B. 14. 如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 二、填空题 15. 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤ ． 恒成立的结论有 ___________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质． ①由于和是等边三角形，可知， ，，从而利用证出 ，可推知；②由 得 ，， ，得到，再根据推出为 等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据， ，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出 ，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【详解】解：①∵正和正， ∴， ，， ∵，， ∴ ， 在 和 中， ∴， ∴， ， 故①正确； ②又∵ ，， ， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 16. 如图，A、B、C、D、E、F、G都在 的边上，，若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，求出，最后根据三角形内角和定理，得出，求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质． 17. 如图，已知∠AOB＝45°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则ON的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】由PM＝PN，作PH⊥MN于H，利用等腰三角形三线合一，可求出HN的长，再利用勾股定理求OH即可． 【详解】解：作PH⊥MN于H， ∵PM＝PN， ∴MH＝NH＝1， 在Rt△OPH中，∠AOB＝45°， ∴PH=OH 又 ∴OH＝OP＝8×＝4， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，作出辅助线是解决本题的关键． 18. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG． ∵EF∥BC， ∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF， ∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF， ∴BE＝EG，GF＝CF， ∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确； ②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）， ∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确； ③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴点G是△ABC的内心， ∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确； ④连接AG， ∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n， ∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键． 19. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=_____． 【答案】96° 【解析】 【详解】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE=DF， ∵DP是BC的垂直平分线， ∴BD=CD， 在和中，， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：96°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线证明 是解题的关键． 20. 如图，在等边中，点D是上的一点，在上取一点E，使，连接交于点P，在的延长线上取一点Q，使 ，连接，点G为的中点，，若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由已知条件易证，由此可得 ，从而可得，结合 可得是等边三角形，由此易证，从而可得，再通过证，证得可得，，由此可得是等边三角形，由此可得，结合点G是的中点可得，由此即可得到． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵点G是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 21. 在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm．BC=6 cm, 动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径绕△ABC的边运动一周，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．则△BCP为等腰三角形时t的值是________． 【答案】3秒或5.4秒或6秒或6.5秒 【解析】 【分析】△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算． 【详解】△BCP为等腰三角形时， 当点P在边AC上时，CP=CB， ∵CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）； 当点P在边AB上时． ①如图1， CP=CB， 作AB边上的高CD， ∵AC×BC=AB×CD． ∴CD==4.8， 在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP==3.6， ∴BP=2DP=7.2， ∴AP=2.8， ∴t=（AC+AP）÷2=（8+2.8）÷2=5.4（秒） ②BC=BP， ∴BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm）， ∴t=12÷2=6（秒）； ③PB=PC， ∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点， 此时CA+AP=8+5=13（cm）， t=13÷2=6.5（秒）； 综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形． 故答案为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 22. 如图，△ABC中， ∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动， 连结BE，ED.若BE+ED的最小值是2， 则AB的长是______ 【答案】4 【解析】 【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，BF即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'， ∵点B关于AC的对称点B'， ∴∠B'AE=∠CAB=15°， ∵BF⊥AB'， ∵BF即为BE+ED的最小值， 即BF=2， ∴AB=4， 故答案为：4 【点睛】此题考查了最短路径问题.解几条线段之和最小类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转化，再根据两点之间线段最短或垂线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段. 三、解答题 23. 如图(1)，等边中，是边上的动点，作等边 使得点和点位于两侧，连接. （1） 与全等吗？请说明你的理由； （2）求证： ； （3）如图（2），将（1）动点运动到边的延长线上，其余条件不变，请问是否仍有 ？证明你的猜想. 【答案】（1）会全等，理由见解析 （2）证明见解析 （3） ；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）首先证明 ，然后利用证明即可； （2）根据全等的性质可得，进而可得，从而可得 ； （3）利用等边三角形的性质可得 ，，，然后再证明，再推出，进而可得 ． 【小问1详解】 解： 和会全等； 理由：， ， ，， ， 在 和中， ； 【小问2详解】 证明：， ，又 ， ， ∴ ； 【小问3详解】 解：结论： 理由： 、 为等边三角形 ，，， ， 即 ， 在 和中， ， ， ， 又， ， ∴ ． 24. 如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.求证:BD=2CE. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】延长CE、BA交于F点，然后证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CE=CF，然后在证明△ADB≌△AFC可得BD=FC，进而证出BD=2CE． 【详解】延长CE、BA交于F点，如图， ∵BE⊥EC， ∴∠BEF=∠CEB=90°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∴∠F=∠BCF， ∴BF=BC， ∵BE⊥CF， ∴CE=CF， ∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°， ∴∠CBA=45°， ∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°， ∴∠ADB=67.5°， ∵在△ADB和△AFC中， ， ∴△ADB≌△AFC（AAS）， ∴BD=FC， ∴BD=2CE． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是证明△ADB≌△AFC和CE=CF． 25. 如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段 上由C点向A点运动． （1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后 与是否全等？并说明理由； （2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有 与全等？ （3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】（1）全等，见解析 （2） （3）秒，点P与点Q在上第一次相遇 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由题意列出方程，解方程可得出答案． 【小问1详解】 解：全等，理由如下： ，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， ，点D为的中点， ， 又，， ， ， 又 ， ， 在 和中， ， ； 【小问2详解】 解：点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与 不是对应边， 即， ，且 ， 则， 点P，点Q运动的时间， ， 【小问3详解】 解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得， 点P运动， ， 点P与点Q在上第一次相遇． 26. 如图，过∠AOB的平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E作直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】OD＝DM＋ON 【解析】 【详解】试题分析：分两种情况讨论，①当M在线段CD上时，由OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，得出∠DOC=∠DC0，故有OD=CD=DM+CM；再由E是线段OC的中点，CD∥OB，得到CM=ON，即可得出OD=DM+ON； ②当M在线段CD延长线上时，OD=ON－DM，如图2，同①可得OD=DC=CM－DM=ON－DM． 试题解析：①当M在线段CD上时，OD=DM+ON．证明如下： ∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOC=∠C0B，又∵CD∥OB，∴∠DCO=∠C0B，∴∠DOC=∠DC0，∴OD=CD=DM+CM，∵E是线段OC的中点，∴CE=OE，∵CD∥OB，∴，∴CM=ON，又∵OD=DM+CM，∴OD=DM+ON； ②当M在线段CD延长线上时，OD=ON－DM，如图2，同①可得OD=DC=CM－DM=ON－DM． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．分类讨论；5．探究型；6．综合题． 27. 已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出PE=PF，结合OP=OP得出和 全等，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，从而得出答案． 【详解】证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF， 在与 中， OP＝OP，PE＝PF， ∴， ∴OE＝OF， ∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质以及中垂线的性质，属于基础题型．根据题意得出OC是线段EF的中垂线是解决这个问题的关键． 28. 求代数式 的最小值． 【答案】13 【解析】 【分析】利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作 ，过点B作，过点D作，使，连接交于点C，设 ，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用直角三角形的性质可求得的值． 【详解】解：作 ，过点B作，过点D作，使，连接交于点C， 如图所示， 设 ，则， ， 则的长即为代数式的最小值． 过点A作交 的延长线于点F， ， 则， 所以， 即的最小值为13． 29. 已知：在等腰三角形中，， 于点D，以为边作等边三角形 ，直线交直线于点F，连接． （1）如图1，， 与在直线的异侧，且交于点M． ①求证：； ②猜想线段，， 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）当，且 与在直线的异侧时，利用图2画出图形探究线段之间的数量关系，并直接写出你的结论． 【答案】（1）①见解析；②，见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）①利用以及等边三角形 可得出，再通过 证出，得到 ，从而证出； ②先得到，从而判断出 ，进而得出，再利用证明出，即可证出； （2）先通过等边对等角与等边三角形得出，再通过得出 ，得出，从而得出，再通过得出，最后通过证出得到 ，即可求证． 【小问1详解】 证明：①∵ 是等边三角形, ∴，，且， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴； ②，理由如下： 延长使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， ∵ ，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，延长使，连接． ∵ 是等边三角形， ∴，，且， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∵且， ∴， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴ ， ∴． 30. 如图，已知：， ，，相交于点M，有 ． （1）试说明： ； （2）若平分，试说明：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由 可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得 ，再由 ，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 又∵ ，则 ∴， ∴ ； 【小问2详解】 ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴ ． 又∵ ， ∴垂直平分． 四、综合题 31. 在中，，，点在边上，和 关于直线对称，的平分线交于点，连接． （1）求的度数； （2）设． ①当 为等腰三角形时，请求出此时m的值； ② 有可能是直角三角形吗？若有，请直接写出相应m的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）的度数为； （2）① ， 或 ；②有， 或 【解析】 【分析】（1）由轴对称可以得出，就可以得出， ，在证明就可以得出，就可以求出的值； （2）①当时，就可以得出，根据，就有就可以求出结论；当 时，就可以得出，就有，当 时，，就有，从而求出结论； ②有条件可以得出，当时，就有就可以求出结论，当时，就有，得出求出结论． 【小问1详解】 解： ，， ． 和 关于直线对称， ， ，， ． 平分， ． 在和 中， ， ， ． ， ． 答：的度数为； 【小问2详解】 解：①当时， ． ， ， ． 当 时， ． ， ． ， ． 当 时， ， ， ， ． 当 ， 或 时， 为等腰三角形； ②当时， ， ， ． 当时， ， ， ， ， 综上所述，当 或 时， 为直角三角形． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 32. 如图，已知中，，点D为的中点． （1）如果点P在线段上以 的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， 与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 与全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多少时间后，点P与点Q第一次在的哪一边上相遇？ 【答案】（1）①，理由见解析；②当点Q的运动速度为多时，； （2）经过24秒，点P与点Q第一次在的边上相遇． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、三角形上的动点问题等知识点，掌握数形集合思想是解题的关键． （1）①根据路程等于速度乘以时间可得，结合已知可得，然后根据边角边即可证明结论；②由当点的运动速度与点的运动速度不相等时，全等的可能是cm且cm；设点Q的速度为，然后根据题意列方程即可解答． （2）设经过 点P与点Q第一次相遇，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动的时间为 ，则， ①，理由如下： 点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， 当时，， cm， ，，点D为的中点， ，， ∴, 在 和中， ， ． ②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， ， 设点Q的速度为， ， cm，且cm， ， ，即：， 在 和中， ， ， 当点Q的运动速度为多cm/s时，． 【小问2详解】 解：设经过 点P与点Q第一次相遇， 根据题意得，解得， 的周长为， （周） ， 经过24秒，点P与点Q第一次在的AC边上相遇． 33. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 ，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形 ？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】（1） （2）点M、N运动4秒时，可得到等边 ； （3）当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形 ，此时M、N运动的时间为16秒． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边 ，然后表示出， 的长，由于 等于，所以只要 ， 就是等边三角形； （3）首先假设 是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出 、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【小问1详解】 解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合； 【小问2详解】 解：设点M、N运动t秒时，可得到等边 ，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得 ， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边 ． 【小问3详解】 解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即12秒时M、N两点重合，恰好在C处， ，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设 是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和 中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时， 是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形 ， 此时M、N运动的时间为16秒． 34. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 在△BAC和△DAE中， ∵ ， ∴； （2） ； （3） 证明：延长BF到G，使得 ， ∵ ， ∴ ， 在△AFB和△AFG中， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得 ，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得 ，再根据直角三角形的两锐角互余求得 即可求解； （3）延长BF到G，使得 ，根据全等三角形的判定与性质证明，得到 即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， 由（1）知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 35. 如图所示，D是等边三角形外一点， ，，点E，F分别在、上． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若 平分，求证： 平分． （3）在（2）的条件下，求 的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出， ，根据线段垂直平分线性质求出即可； （2）过D作 ，连接，先证明，得到，，由 ，， 平分，得到，由，又由 ，，即可得到结论； （3）证出，推出，同理，进而得出． 【小问1详解】 证明：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴A在的垂直平分线上， ∵ ， ∴D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：如图1所示： 过D作 ，连接， ∵是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∵ ，， 平分， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴ 平分； 【小问3详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴ 即． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定等知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $