第2章 第4节 函数的奇偶性与周期性-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word（创新版）

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性与周期性高考核心考点，依据课标要求构建定义-性质-应用逻辑体系，通过表格对比梳理奇偶性定义与图象特征，提炼周期性结论推导方法，结合2024-2026年真题分类精讲求值、解不等式等应用题型，形成考点梳理-方法指导-真题训练的系统复习路径。 资料创新采用一题多解与分层练习设计，如判断偶函数融合定义法、性质法培养数学思维，周期性求值通过结论推导提升推理能力。设置基础巩固到综合应用的梯度练习，配合规律方法总结与即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学框架。

第4节　函数的奇偶性与周期性 课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 函数的周期性 1.周期函数：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 结论：对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. （1）（2025·重庆一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，则下列是周期函数的是（　D　） A.y＝f（x）－x B.y＝f（x）＋x C.y＝f（x）－2x D.y＝f（x）＋2x 解析： 依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是周期为1的周期函数. （2）若函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝，则f（23）＝（　B　） A.－1　　　B.－ C.0　　　　D. 解析：由f（x＋2）＝－f（x），可得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，f（23）＝f（23－4×6）＝f（－1）.因为f（－1＋2）＝－f（－1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝，所以f（－1）＝－f（1）＝－＝－，故选B. 规律方法 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.周期性的应用主要有两方面.①求值：借助周期将自变量的值转化为已知的函数值或转化为解析式已知的区间上，代入求值；②求解析式：求函数在某一区间上的解析式时，可先设自变量在该区间上，然后利用函数的周期将自变量的值转化到解析式已知的区间上，同时结合函数的奇偶性得到所求解析式. 练1 函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.1　　　　B. C.　　　　D.7 解析：C　因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝，所以f（x＋4）＝＝＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f（2 025）＝f（1）＝＝. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 前提 定义域关于　原点　对称 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有　－x　∈D 且f（－x）＝　f（x）　，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝　－f（x）　，那么函数f（x）就叫做奇函数 图象特征 关于　y轴　对称 关于　原点　对称 结论：（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（－x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：B　法一（定义法）　对于A，f（－x）＝＝≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝＝＝－＝－f（x），故f（x）是奇函数.故选B. 法二（特殊值法）　对于A，f（1）＝＝，f（－1）＝＝，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（π）＝＝，f（－π）＝＝，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 法三（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 规律方法 判断函数的奇偶性包括的两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数； （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 提醒　设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 练2 （1）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（　D　） A.f（x）＋g（x）为R上的奇函数 B.f（x）－g（x）为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.｜f（x）g（x）｜为R上的偶函数 解析： 因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，所以f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）.对于A，x∈R，设F（x）＝f（x）＋g（x），则F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－f（x）－g（x）＝－F（x），故错误；对于B，x∈R，设N（x）＝f（x）－g（x），则N（－x）＝f（－x）－g（－x）＝－f（x）－g（x）≠f（x）－g（x）＝N（x），故错误；对于C，x∈R，g（x）≠0，设M（x）＝，M（－x）＝＝－＝－M（x）≠M（x），故错误；对于D，x∈R，设H（x）＝｜f（x）g（x）｜，H（－x）＝｜f（－x）g（－x）｜＝｜－f（x）g（x）｜＝｜f（x）g（x）｜＝H（x），所以H（x）为偶函数，故正确. （2）〔一题多解〕函数f（x）＝为　偶　函数.（填“奇”或“偶”） 解析：法一（图象法）　画出函数f（x）＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数. 法二（定义法）　易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称， 当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）； 当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数. 法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数. 函数奇偶性的综合应用 角度1　求值（解析式） （1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－）＝（　A　） A.－ B.－ C. D. 解析： 法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝1＋2x，所以f（－）＝1－＝－.故选A. 法二（优解）　f（－）＝f（）＝f（＋2）＝5－2×（＋2）＝－. （2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2－x＋1，则函数f（x）的解析式为　f（x）＝　. 解析：当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）2＋x＋1＝x2＋x＋1，因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝x2＋x＋1，所以f（x）＝－x2－x－1，综上，函数f（x）的解析式为f（x）＝ 规律方法 1.求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 2.求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式（组），从而得到f（x）的解析式. 角度2　解不等式 已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等式xf（x－2）＞0的解集为（　　） A.（1，3） B.（3，＋∞） C.（－3，－1）∪（3，＋∞） D.（0，1）∪（3，＋∞） 解析：D　偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）. 规律方法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法步骤 练3 （1）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（　B　） A.－1 B.0 C. D.1 解析： 法一　要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. 法二　因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. （2）（2026·陕西西安质检）已知奇函数f（x）的定义域为R，且当x≥0时，f（x）＝log2（x＋3）＋a，则f（－3）＝　－1　　，当x＜0时，f（x）＝　　log2　　. 解析：由题意，知f（0）＝log23＋a＝0.解得a＝－log23.所以f（x）＝log2（x＋3）－log23（x≥0）.所以f（3）＝log26－log23＝log22＝1，所以f（－3）＝－f（3）＝－1.当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－log2（－x＋3）＋log23＝log2. （时间：60分钟，满分：91分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　） A.－ B. C. D.－ 解析：B　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝. 2.下列函数中为偶函数的是（　　） A.y＝｜ln x｜ B.y＝e－x C.y＝xsin x D.y＝xcos x 解析：C　A项，函数定义域为x∈（0，＋∞），不关于原点对称，不可能为偶函数；B项，由e－（－x）＝ex≠e－x，故y＝e－x不为偶函数；C项，（－x）sin（－x）＝xsin x，且定义域为R，故y＝xsin x为偶函数；D项，（－x）cos（－x）＝－xcos x，且定义域为R，故y＝xcos x为奇函数.故选C. 3.已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析：C　因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f（x）为奇函数，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－1）＝－2，故选C. 4.（2026·安徽阜阳模拟）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x＋x－1，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A.2－x－x－1 B.2－x＋x＋1 C.－2－x－x－1 D.－2－x＋x＋1 解析：D　当x＜0时，－x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－2－x＋x＋1，故选D. 5.设f（x）为偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1，则使f（x）＞0的x的取值范围是（　　） A.{x｜x＞1} B.{x｜－1＜x＜0} C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜1＜x＜0或x＞1} 解析：C　∵当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1单调递增，又∵f（x）为偶函数，故可以作出f（x）的图象如图所示.由图象可知，若f（x）＞0，则x＜－1或x＞1. 6.〔多选〕已知定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2，则（　　） A.f（2 026）＝2 B.f（x）的值域为[－1，2] C.f（x）在[4，6]上单调递减 D.f（x）在[－6，6]上有8个零点 解析：AB　f（2 026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，2]，且f（x）在[4，6]上单调递增，所以B正确，C错误；令f（x）＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上有6个零点，所以D错误. 7.〔多选〕函数f（x）的定义域为R，且f（x）与f（x＋1）都为奇函数，则（　　） A.f（x－1）为奇函数 B.f（x）为周期函数 C.f（x＋3）为奇函数 D.f（x＋2）为偶函数 解析：ABC　由题意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f（x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期为2的函数，且f（x－1），f（x＋2）为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f（x＋1）＝f（x＋3），即f（x＋3）为奇函数，C正确.故选A、B、C. 8.已知函数f＝2x2＋ax＋2，若f是偶函数，则a＝　　－4　　. 解析：因为f是偶函数，所以f＝f，所以2＋a＋2＝2＋a＋2，即8x＝－2ax，解得a＝－4. 9.（2026·福建三明四校联考）已知函数f（x）＝ax3＋＋2且f（2 026）＝16，则f（－2 026）＝　－12　. 解析：令g（x）＝f（x）－2＝ax3＋，则g（x）的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称.因为g（－x）＝a（－x）3＋＝－ax3－＝－g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（2 026）＋g（－2 026）＝0，所以f（2 026）－2＋f（－2 026）－2＝0，将f（2 026）＝16代入上式，可得f（－2 026）＝－12. 10.（13分）（2026·广东茂名模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）求证：f（x）是周期函数； （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式. 解：（1）证明：∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.∴f（x）是周期为4的周期函数. （2）当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2. 又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.∴f（x）＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）. 又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8. 11.设函数f（x）＝，则下列函数为奇函数的是（　　） A.f（x－1）－1 B.f（x－1）＋1 C.f（x＋1）－1 D.f（x＋1）＋1 解析：B　由题意可得f（x）＝＝－1＋.对于A，f（x－1）－1＝－2不是奇函数；对于B，f（x－1）＋1＝是奇函数；对于C，f（x＋1）－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f（x＋1）＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 12.〔多选〕已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝0，则（　　） A.f（3）＝0 B.f（3）＝f（5） C.f（x＋3）＝f（x－1） D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1 解析：ABC　因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1对于x＝0不成立，故D不正确. 13.已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f（x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为　　2　　. 解析：因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f（x）＋ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f（x）－3ex是奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f（x）＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时等号成立，故函数f（x）的最小值为2. 14.（15分）函数f（x）的定义域为D＝{x｜x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）. （1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论； （3）如果f（4）＝1，f（x－1）＜2，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求x的取值范围. 解：（1）因为对于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），所以令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0. （2）f（x）为偶函数.证明如下： 令x1＝x2＝－1，有f（1）＝f（－1）＋f（－1）， 所以f（－1）＝f（1）＝0. 令x1＝－1，x2＝x， 有f（－x）＝f（－1）＋f（x），所以f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数. （3）依题意有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，由（2）知，f（x）是偶函数，所以f（x－1）＜2⇔f（｜x－1｜）＜f（16）. 又f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以0＜｜x－1｜＜16，解得－15＜x＜17且x≠1. 所以x的取值范围是{x｜－15＜x＜17且x≠1}. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $