第2章 第1节 函数的概念及其表示-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word（创新版）

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示，覆盖函数定义、三要素、表示法、分段函数及解析式求解等高考核心考点，按“概念辨析—方法提炼—应用拓展”逻辑层次组织，通过课标要求引领、考点梳理、规律方法总结、真题题组训练等环节，帮助学生突破定义域求解、分段函数求值等难点，构建系统知识网络。 讲义突出分层教学与素养导向，如通过分段函数与方程不等式问题的分类讨论培养数学思维，结合刹车距离等实际情境训练数学语言表达，设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习。方法指导注重一题多解与规律提炼，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1节　函数的概念及其表示 课标要求 1.了解函数的概念. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单应用. 函数的基本概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的　实数集　，如果对于集合A中的　任意　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　唯一　确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 　x　的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合{f（x）｜x∈A} 2.同一个函数 （1）前提条件：①定义域　相同　；②对应关系　完全一致　. （2）结论：这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有　解析法　、图象法和列表法. 结论：（1）直线x＝a（a是常数）与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点； （2）注意以下几种特殊函数的定义域： ①分式型函数，分母不为零的实数集合；②偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合；③f（x）为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合；④若f（x）＝x0，则定义域为{x｜x≠0}. 题组练透 1.已知集合A＝{x｜0≤x≤4}，集合B＝{x｜0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（　　） 解析：D　对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确. 2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A.f（x）＝，g（t）＝ B.f（x）＝x，g（x）＝ C.f（x）＝1，g（x）＝x0 D.f（x）＝x，g（x）＝ 解析：A　对于A中，函数f（x）＝的定义域为[－1，1），g（t）＝的定义域为[－1，1），定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；对于B中，函数f（x）＝x和g（x）＝＝｜x｜＝的定义域都是R，但对应关系不同，所以不是同一个函数；对于C中，函数f（x）＝1的定义域为R，函数 g（x）＝x0的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D中，函数f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），定义域不相同，所以不是同一个函数.故选A. 3.（2026·重庆质检）函数f（x）＝＋的定义域是　[1，4）　. 解析：由题意知，函数f（x）＝＋有意义，需满足解得1≤x＜4. 练后悟通 与函数概念有关问题的解题策略 （1）判断两个函数是否为同一个函数的关键有两点：定义域是否相同，对应关系即解析式是否相同； （2）求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 提醒　定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“∪”连接. 分段函数 1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 2.分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的　并集　，其值域等于各段函数的值域的　并集　. 角度1　分段函数求值 （2026·湖北武汉调研）已知f（x）＝则f＝（　　） A.2 B. C. D.1 解析：D　函数f（x）＝所以f＝2f＝2×＝1. 规律方法 求函数值的方法 　　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值. 角度2　分段函数与方程、不等式问题 （1）已知函数f（x）＝且f（m）＝－12，则f（6－m）＝　－7　； 解析： 由题意知，当m≤1时，f（m）＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1＞0，所以方程无解；当m＞1时，f（m）＝4lo（m＋1）＝－12，得lo（m＋1）＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f（6－m）＝f（－1）＝2－1＋1－8＝－7. （2）已知函数f（x）＝若a[f（a）－f（－a）]＞0，则a的取值范围为　（－∞，－2）∪（2，＋∞）　. 解析：由题意知a≠0，当a＞0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为a2＋a－3a＞0，解得a＞2；当a＜0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为－a2－2a＜0，解得a＜－2.综上所述，a的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 规律方法 求解分段函数与方程、不等式问题的解题思路 （1）分类讨论，先在分段函数每一段上分别求解，并与该段自变量的取值范围取交集，最后将各段的结果取并集； （2）若分段函数每一段的解析式便于作图，则作出分段函数的图象，通过数形结合求解. 练1 （1）已知函数f（x）＝若f（f（a））＝2，则a＝（　D　） A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－1 解析： 令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1.当t＝0时，即f（a）＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0，解得a＝－2；当t＝1时，即f（a）＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1，解得a＝－1.综上所述，a＝－2或－1. （2）〔一题多解〕设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　（－∞，4]　. 解析：法一　当x＜1时，由f（x）≤2，得2x－1≤2，所以x－1≤1，解得x≤2，所以x＜1；当x≥1时，由f（x）≤2，得≤2，解得x≤4，所以1≤x≤4.综上，满足f（x）≤2成立的x的取值范围为 （－∞，4]. 法二　画出f（x）的图象，由图象知f（x）是R上的增函数，又因为f（4）＝2，所以f（x）≤2，可化为f（x）≤f（4），故x≤4. 求函数的解析式 （1）〔一题多解〕已知f（＋1）＝x＋2，则f（x）＝（　C　） A.x2－1（x≥0） B.＋1（x≥1） C.x2－1（x≥1） D.－1（x≥0） 解析： 法一（换元法） 令t＝＋1，t≥1，则t2＝（＋1）2＝x＋2＋1，由f（＋1）＝x＋2得，f（t）＝t2－1，t≥1，即f（x）＝x2－1，x≥1. 法二（配凑法） f（＋1）＝x＋2＝（）2＋2＋1－1＝（＋1）2－1，故f（x）＝x2－1，x≥1. （2）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，则f（x）的解析式为（　D　） A.f（x）＝x＋6 B.f（x）＝x＋7 C.f（x）＝2x＋6 D.f（x）＝2x＋7 解析：（待定系数法） ∵f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b（a≠0），∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17，即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，∴解得∴f（x）＝2x＋7. 规律方法 求函数解析式的4种方法 练2 （1）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，则f（x）＝　3x　； （2）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，则f（x）＝　2x＋或－2x－8　. 解析：（1）（解方程组法）　∵2f（x）＋f（－x）＝3x　①，∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x　②，由①②解得f（x）＝3x. （2）（待定系数法）　设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b，又f（f（x））＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即解得或所以f（x）＝2x＋或f（x）＝－2x－8. （时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列所给图象是函数图象的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　图象①关于x轴对称，x＞0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象. 2.下面四组函数中，表示同一个函数的一组是（　　） A.f（x）＝eln x，g（x）＝x B.f（x）＝（x－1）2，g（x）＝（x－2）2 C.f（x）＝，g（t）＝｜t｜ D.f（x）＝，g（x）＝ 解析：C　对于A，因为f（x）的定义域为（0，＋∞），g（x）的定义域为R，两函数定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，因为f（x）和g（x）的对应关系不一致，所以不是同一个函数，故B错误；对于C，因为f（x）和g（t）的定义域都为R，且f（x）＝＝｜x｜，g（t）＝｜t｜，对应关系一致，所以是同一个函数，故C正确；对于D，因为f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x｜x≠0}，两函数定义域不相同，所以不是同一个函数，故D错误. 3.已知f（x＋1）＝2x，且f（m）＝4，则m＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：B　设x＋1＝m，∴x＝m－1，2x＝2（m－1）.又∵2x＝4，即2（m－1）＝4，所以m＝3. 4.已知函数f（x）＝的定义域为A，函数g（x）＝log2x，x∈［，4］的值域为B，则A∩B等于（　　） A.（0，2） B.（0，2] C.（－∞，4] D.（－1，4] 解析：B　f（x）＝，则≥0，∴x（x－4）≤0且x≠0，可得A＝{x｜0＜x≤4}，g（x）的值域B＝{x｜－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x｜0＜x≤2}. 5.如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间t变化的图象可能是（　　） 解析：A　由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水面的高度增长得越来越慢，当水面经过点D后，水面的面积为定值，水面的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为选项A. 6.〔多选〕南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率π＝3.141 592 653 589 793…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f（n），则下列说法正确的是（　　） A.y＝f（n），n∈N*是一个函数 B.当n＝5时，f（n）＝3.141 59 C.f（4）＝f（8） D.f（n）∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 解析：ACD　对于选项A：对于任意n∈N*，均存在唯一的f（n）与之对应，符合函数的定义，可知y＝f（n），n∈N*是一个函数，故A正确；对于选项B、C：因为f（4）＝5，f（5）＝9，f（8）＝5，故B错误，C正确；对于选项D：由f（n）为圆周率π小数点后第n位数字，可知f（n）∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确.故选A、C、D. 7.若函数f（2x－1）的定义域为[－1，1]，则函数y＝的定义域为　（1，2]　. 解析：由函数f（2x－1）的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，得－3≤2x－1≤1，因此由函数y＝有意义，得解得1＜x≤2，所以函数y＝的定义域为（1，2]. 8.已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如表： x 1 2 3 f（x） 2 3 1 x 1 2 3 g（x） 3 2 1 则方程g（f（x））＝x的解集为　{3}　. 解析：当x＝1时，f（x）＝2，g（f（x））＝2，不符合题意；当x＝2时，f（x）＝3，g（f（x））＝1，不符合题意；当x＝3时，f（x）＝1，g（f（x））＝3，符合题意.综上，方程g（f（x））＝x的解集为{3}. 9.已知函数f（x）＝则f（f（－4））＝　－6　. 解析：由分段函数知，当x≤0时，周期T＝1，所以f＝f＝f＝1－3－4＝－6，所以f＝f＝f＝f＝－6. 10.（13分）（1）已知f（x＋1）＝2x2－x＋3，求f（x）； （2）已知f（f（x））＝4x＋9，且f（x）为一次函数，求f（x）； （3）已知函数f（x）满足2f（x）＋f（）＝x，求f（x）. 解：（1）令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f（t）＝2（t－1）2－（t－1）＋3 ＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6. ∴f（x）＝2x2－5x＋6. （2）∵f（x）为一次函数，∴设f（x）＝kx＋b（k≠0），∴f（f（x））＝f（kx＋b）＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9， ∴∴或 ∴f（x）＝2x＋3或f（x）＝－2x－9. （3）∵2f（x）＋f（）＝x，　① ∴2f（）＋f（x）＝.　② 由①×2－②，得f（x）＝x－（x≠0）. 11.已知定义域为R的函数f（x）满足f（a＋b）＝f（a）·f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若f（1）＝，则f（－2）＝（　　） A.2 B.4 C. D. 解析：B　令a＝b＝0，则有f（0）＝[f（0）]2.又∵f（x）＞0，∴f（0）＝1.令a＝－1，b＝1，则有f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）·f（1），∴f（－1）＝＝＝2.再令a＝b＝－1，则有f（－2）＝[f（－1）]2＝4. 12.〔多选〕已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段组成，则（　　） A.f（f（3））＝1 B.不等式f（x）≤1的解集为［2，］ C.函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2 D.f（x）的解析式可表示为f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]） 解析：BD　根据题意，由图象可得，在区间[0，3]上，函数图象为线段，经过点（0，3）和（3，0），则其方程为f（x）＝3－x（0≤x≤3），在区间[3，4]上，函数图象为线段，经过点（3，0）和（4，3），设f（x）＝kx＋b，x∈[3，4]，则解得所以其方程为f（x）＝3x－9（3≤x≤4），综合可得f（x）＝对于A，f（3）＝0，则f（f（3））＝f（0）＝3，故A错误；对于B，若f（x）≤1，则有或解得2≤x≤3或3＜x≤，即不等式的解集为［2，］，故B正确；对于C，在区间[2，3]上，f（x）＝3－x单调递减，其最大值为f（2）＝1，故C错误；对于D，由f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]）＝故D正确.故选B、D. 13.设函数f（x）＝若f（f（a））≥3，则实数a的取值范围是　[－1，＋∞）　. 解析：因为f（x）＝令f（a）＝t，则f（f（a））≥3可化为f（t）≥3，当t≥0时，t2＋2t≥3，解得t≥1（负值舍去），即f（a）≥1；当t＜0时，－t2＋2t≥3，即t2－2t＋3≤0，而t2－2t＋3＝（t－1）2＋2＞0，故上述不等式无解，综上，f（a）≥1，若a≥0，则a2＋2a≥1，解得a≥－1（负值舍去）；若a＜0，则－a2＋2a≥1，解得a＝1（舍去），综上，a≥－1. 14.（15分）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y （米）与汽车的车速x （千米/时）满足下列关系：y＝＋mx＋n（m，n是常数）.如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y （米）与汽车的车速x （千米/时）的关系图. （1）求出y关于x的函数表达式； （2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度. 解：（1）由题意及函数图象， 得 解得m＝，n＝0，所以y＝＋（x≥0）. （2）令＋≤25.2，得－72≤x≤70. 因为x≥0，所以0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70千米/时. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $