第1章 微突破 对勾函数模型-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word（创新版）

该高中数学讲义聚焦对勾函数模型这一高考核心考点，围绕基本不等式与对勾函数的辨析、单调性应用及最值求解，构建“概念辨析—性质梳理—解题策略”的知识体系，通过考点精讲、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生突破函数最值求解难点。 资料以“问题驱动—模型建构—应用迁移”为主线，通过对比基本不等式与对勾函数的适用条件，引导学生用数学眼光抽象问题本质，培养数学思维。设计换元转化、单调性判断等解题策略训练，配合分层练习题（如区间最值、整数集单调性问题），确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

微突破 对勾函数模型 函数f（x）＝x2＋的最小值为　　. 解析：由f（x）＝x2＋＝x2＋2＋－2，令x2＋2＝t（t≥2），g（t）＝t＋－2，由对勾函数的性质知，g（t）在[2，＋∞）上单调递增，所以当t＝2时，g（t）min＝，即x＝0时，f（x）min＝. 解法探究　本例虽然变形后f（x）＝x2＋2＋－2类似于基本不等式的结构形式，但代数式（x2＋2）＋只满足“一正、二定”，并不满足“三相等”，即x2＋2≠（ 若x2＋2＝，则x2＋2＝，无解），使得本例不能用基本不等式模型求解，那么如何求解呢？ 我们自然联想到人A必修一P92探究与发现中与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型.如图， 对于函数f（x）＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆（0，＋∞）. （1）当∈[a，b]，f（x）＝x＋≥2，f（x）min＝f（）＝＋＝2； （2）当＜a，f（x）＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f（x）min＝f（a）＝a＋； （3）当＞b，f（x）＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f（x）min＝f（b）＝b＋. 因此，只有在∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时，只能利用对勾函数的单调性求最值. 1.函数f（x）＝x＋在区间[1，3]上的最大值是（　　） A.3 B.5 C.4 D. 解析：B　由对勾函数图象的特点可知，x＝1时，函数有最大值为5. 2.已知对勾函数y＝x＋（a＞0）在（－∞，－a）和（a，＋∞）上均单调递增，在（－a，0）和（0，a）上均单调递减.若对勾函数f（x）＝x＋（t＞0）在整数集Z内为增函数，则实数t的取值范围为　（0，2）　. 解析：根据题意，f（x）在（－∞，－），（，＋∞）上单调递增，要使f（x）在整数集Z内为增函数，则即解得0＜t＜2，∴实数t的取值范围为（0，2）. 3.试求函数f（x）＝在[－1，1]上的值域. 解：令t＝3－2x，x∈[－1，1]，则有t∈[1，5]， g（t）＝＝＝（ t＋）－3， 易知g（t）在[1，）上单调递减，在（，5]上单调递增， 当t＝时，g（t）min＝－3， 当t＝1时，g（t）＝1；当t＝5时，g（t）＝， 比较得g（t）max＝1， 所以f（x）＝在[－1，1]上的值域为[－3，1]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $