第1章 第5节 一元二次方程、不等式-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次方程与不等式核心考点，涵盖不含参数与含参数不等式解法、分式及绝对值不等式、三个二次关系、恒成立问题等高考高频内容，按“课标要求—基础梳理—角度突破—综合应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如表格归纳解集规律）、方法指导（含参数分类讨论步骤）、真题训练（2025年全国Ⅱ卷题示例）等环节，帮助学生构建解题框架，突破分类讨论、等价转化等难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“规律总结+分层练习”模式，如在三个二次关系中，通过表格对比判别式与解集关系，培养学生逻辑推理能力；设置基础巩固（练1）、能力提升（练2）、综合应用（实际应用题）三级练习，配合即时解析。精准对接高考命题规律，帮助学生在有限时间内掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第5节　一元二次方程、不等式 课标要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的实根的存在性及实根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 一元二次不等式 1.（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b （x－a）·（x－b）＞0 {x｜x＜a或x＞b} {x｜x≠a} {x｜x＜b或x＞a} （x－a）·（x－b）＜0 {x｜a＜x＜b} ⌀ {x｜b＜x＜a} 2.分式不等式 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 3.绝对值不等式 绝对值不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞）；｜x｜＜a（a＞0）的解集为（－a，a）. 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 角度1　不含参数不等式的解法 〔多选〕下列选项中，正确的是（　　） A.不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1} B.不等式≤1的解集为{x｜－3≤x＜2} C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3} D.不等式－x≤1的解集为{x｜0≤x≤2} 解析：BD　方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为－1≤0，即≤0，即（x＋3）（x－2）≤0且x－2≠0，解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1或x≥3}，故C错误；原不等式等价于解得0≤x≤2，即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}，故D正确. 规律方法 1.可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集. 2.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组. 角度2　含参数不等式的解法 已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞－ax－1. 解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋3）（x＋1）＞0. 因为a＞0，所以当－＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜－或x＞－1}； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}； 当－＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－}. 规律方法 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 练1 （1）求不等式≤3的解集； （2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解：（1）由题意－3＝≤0， 可得 解得x≤或x＞1， 所以原不等式的解集为∪（1，＋∞）. （2）由题意知，Δ＝a2－4. ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以原不等式的解集为. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即（x－1）2≤0，所以x＝1；当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即（x＋1）2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 三个二次间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根 有两个不相 等的实数根 x1，x2 （x1＜x2） 有两个相等 的实数根 x1＝x2＝　－　 没有 实数根 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 　{x｜x＜x1，或x＞x2　} {x｜x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 提醒：解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时不要忘记当a＝0时的情形. （1）〔多选〕已知关于x的不等式a（x＋1）·（x－3）＋1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论正确的是（　ABD　） A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－3 C.－1＜x1＜x2＜3 D.x2－x1＞4 解析： 由题意得，a＜0，且x1，x2是一元二次方程a（x＋1）（x－3）＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，所以x1＋x2＝－＝2，故A正确；x1x2＝＝－3＜－3，故B正确；x2－x1＝＝＝2＞4，故D正确；由x2－x1＞4，且x1＋x2＝2可得x2＞3且x1＜－1，故C错误. （2）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为　（－∞，－1]∪[3，＋∞）　. 解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 规律方法 1.一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值. 2.对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，m＜n. 练2 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－∞，1）∪（5，＋∞），则下列结论正确的是（　　） A.a＞0 B.a＋b＋c＞0 C.bx＋c＞0的解集是 D.cx2－bx＋a＜0的解集是 解析：CD　由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a，对于A，因为a＜0，故A错误；对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；对于C，不等式bx＋c＞0，即－6ax＋5a＞0，即6x－5＞0，得x＞，所以不等式bx＋c＞0的解集是，故C正确；对于D，由不等式cx2－bx＋a＜0，得a（5x2＋6x＋1）＜0，即5x2＋6x＋1＞0，则（5x＋1）（x＋1）＞0，得x＞－或x＜－1，即解集为{x｜x＞－，或x＜－1}，故D正确. 一元二次不等式恒（能）成立问题 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题〕当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？ 细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立等价转化 （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 变式1 若不等式2kx2＋kx－＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值范围为　（ －∞，）　；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围为　（ －∞，）　. 解析：不等式2kx2＋kx－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k＜对x∈[1，2]恒成立⇔k＜（ ）min，易知f（x）＝在x∈[1，2]时单调递减，f（x）min＝，即k＜.在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max，又f（x）max＝，即k＜. 变式2 若不等式2kx2＋kx－＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围为　（ －，）　. 解析：若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－＜0，即解得－＜x＜. （时间：60分钟，满分：88分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.不等式－x2＋3x＋10＜0的解集为（　　） A.（－2，5） B.（－∞，－2）∪（5，＋∞） C.（－5，2） D.（－∞，－5）∪（2，＋∞） 解析：B　由－x2＋3x＋10＜0得x2－3x－10＞0，解得x＜－2或x＞5. 2.（2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　） A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1} 解析：C　由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1.故选C. 3.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（0，） B.（－∞，） C.（，＋∞） D.（0，） 解析：A　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0，）. 4.若关于x的不等式kx2＋2kx－k－1＞0的解集为⌀，则实数k的取值范围是（　　） A.（－，0） B. C. D. 解析：C　当k＝0时，不等式化为－1＞0，此时不等式无解，满足题意；当k≠0时，要满足题意，只需解得－≤k＜0.综上，实数k的取值范围是. 5.〔多选〕设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为（　　） A. B.3 C.－4.5 D.－5 解析：BC　因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以（[x]－3）（[x]＋4）≤0，即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x的最小整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5，故选B、C. 6.〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（　　） A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－} C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4} D.当a＝－时，不等式的解集为⌀ 解析：AD　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确.由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当即a＜－时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}；当即－＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－}；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D. 7.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为　∪　. 解析：由1≤｜2x－1｜＜2得，－2＜2x－1≤－1或1≤2x－1＜2，解得－＜x≤0或1≤x＜. 8.当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是　（－∞，－1）∪（3，＋∞）　. 解析：不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则∴x＜－1或x＞3. 9.若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是　[－4，＋∞）　. 解析：由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，根据已知，可转化为存在x∈[－1，3]，使得x2＋4x－（1＋a）≤0.令f（x）＝x2＋4x－（1＋a），易知函数在区间[－1，3]上单调递增，故只需函数的最小值f（－1）＝－4－a≤0即可，解得a≥－4. 10.（10分）给以下三个条件： ①x2－（2a－1）x＋a2－a＜0； ②x2－2ax＋a2－1＜0； ③x2－（a＋1）x＋a＜0（a＞1）， 任选一个补充到下面的问题中并解答. 已知命题p：＜0，命题q：　　　　，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解：由＜0可得－3＜x＜4， 记集合A＝{x｜－3＜x＜4}， 设命题q对应的x的取值集合为B. 因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A. 若选条件①x2－（2a－1）x＋a2－a＜0. 由于（x－a）[x－（a－1）]＜0，则a－1＜x＜a. 因为B⫋A，只需或解得－2≤a≤4， 即实数a的取值范围为{a｜－2≤a≤4}. 若选条件②x2－2ax＋a2－1＜0. 由于[x－（a＋1）][x－（a－1）]＜0，则a－1＜x＜a＋1. 因为B⫋A，只需或解得－2≤a≤3， 即实数a的取值范围为{a｜－2≤a≤3}. 若选条件③x2－（a＋1）x＋a＜0（a＞1）. 由于（x－a）（x－1）＜0，则1＜x＜a. 因为B⫋A，只需解得1＜a≤4， 即实数a的取值范围为{a｜1＜a≤4}. 11.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价p（元）之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为c（元），其中c＝500＋30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是（　　） A.{x｜20≤x≤30，x∈N} B.{x｜20≤x≤45，x∈N} C.{x｜15≤x≤30，x∈N} D.{x｜15≤x≤45，x∈N} 解析：B　设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160－2x）·x－（500＋30x）＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N.根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，x∈N.所以当20≤x≤45，x∈N时，每天获得的利润不少于1 300元，故选B. 12.〔多选〕已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m＜0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是（　　） A.4　　　　B.5 C.6　　　　D.7 解析：AB　画出函数f（x）＝x2＋5x＋m的大致图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m＜0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数f（x）＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m＜6. 13.若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为　[－1，0]∪　. 解析：命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”为真命题.令g（a）＝ax2－2ax＋x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3≥0，则即解得－1≤x≤0或≤x≤4，所以实数x的取值范围为[－1，0]∪. 14.（15分）已知函数f（x）＝mx2＋mx＋3，m∈R. （1）若关于x的不等式f（x）＞0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）＞（3m－1）x＋5. 解：（1）依题意，mx2＋mx＋3＞0在实数集R上恒成立. 当m＝0时，3＞0，成立；当m≠0时，要使原不等式恒成立， 则解得0＜m＜12.综上，0≤m＜12，故实数m的取值范围是{m｜0≤m＜12}. （2）不等式f（x）＞（3m－1）x＋5，等价于mx2＋（1－2m）x－2＞0，即（x－2）（mx＋1）＞0. 当m＞0时，解得x＞2或x＜－； 当m＝0时，不等式整理为x－2＞0，解得x＞2； 当m＜0时，方程（x－2）（mx＋1）＝0的两根为x1＝－，x2＝2.当－＞2，即－＜m＜0时，解得2＜x＜－；当－＝2，即m＝－时，原不等式的解集为⌀；当－＜2，即m＜－时，解得－＜x＜2. 综上所述，当m＜－时，原不等式的解集为； 当m＝－时，原不等式的解集为⌀； 当－＜m＜0时，原不等式的解集为{x｜2＜x＜－}； 当m＝0时，原不等式的解集为{x｜x＞2}； 当m＞0时，原不等式的解集为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $