第1章 第4节 基本不等式-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖概念理解、最值求解及实际应用，按“基础概念—方法技巧—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建完整知识体系，突破条件判断、配凑变形等难点。 资料以分层教学为特色，基础题巩固概念，提升题强化方法（如常数代换法解最值），综合题培养建模能力。结合高考真题设计探究活动，如通过实际问题抽象不等式模型，发展数学思维与应用意识，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4节　基本不等式 课标要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 　　 基本不等式的理解 基本不等式≤，则 （1）基本不等式成立的条件：　a＞0，b＞0　； （2）等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时，等号成立； （3）其中　　叫做正数a，b的算术平均数，　　叫做正数a，b的几何平均数. 结论：（1）＋≥2（a，b同号）； （2）ab≤（）2≤（a，b∈R）； （3）若a＞0，b＞0，则≤≤≤，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. （1）已知a＞0，b＞0，则（　C　） A.a2＋b2＞2ab B.＋≥ C.a＋b＞ D.＋≤ 解析： 当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；取a＝b＝，则＋＝6，＝9，＋＜，故B错误；∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞，故C正确；∵a＞0，b＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝，故D错误.故选C. （2）（2026·湖南湘潭质量检测）下列结论正确的是（　B　） A.当x＞0且x≠1时，ln x＋≥2 B.当x＞0时，x＋≥2 C.当x∈时，sin x＋的最小值为4 D.当ab≠0时，＋≥2 解析：对于A，当x＝时，ln x＋＝－2，故A错误；对于B，当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故B正确；对于C，当sin x＞0时，sin x＋≥2＝4，当且仅当sin x＝，即sin x＝2时取等号，但当x∈时，0＜sin x≤1，故C错误；对于D，当a＝1，b＝－1时，＋＝－2，故D错误.故选B. 规律方法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足基本不等式成立的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 练1 （1）（2025·山东潍坊一模）给出下面三个推导过程：①∵a∈R，a≠0，∴a＋≥2＝4； ②∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（ －）＋（－）］≤－2＝－2； ③∵a＞b＞0，则a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞a2＋b2＋2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2，∴＞（）2.其中正确的推导为（　A　） A.②③ B.①③ C.①② D.①②③ 解析：∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴a＋≥2＝4是错误的，故①错误；由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，（－），（－）均变为正数，符合均值不等式的条件，故②正确；易知③正确.故选A. （2）若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　C　） A.b＞＞a＞ B.b＞＞＞a C.b＞＞＞a D.b＞a＞＞ 解析：∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞＞.∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴＞a.故b＞＞＞a. 利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最　小　值是　2　（简记：积定和最　小　）； （2）如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最　大　值是　　（简记：和定积最　大　）. 角度1　配凑法 （1）函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为（　B　） A.6 B.8 C.10 D.12 解析： 因为x∈（－1，＋∞），则x＋1＞0，则f（x）＝4x＋＝4（x＋1）＋－4≥2－4＝12－4＝8，当且仅当即x＝时，等号成立，故函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为8. （2）已知0＜x＜，则x的最大值为（　D　） A.　　 　B. C.　 　　D. 解析：因为0＜x＜，则1－2x2＞0，x＝＝≤×＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时取等号. 规律方法 配凑法求最值的关键点 　　配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形，通过拆（裂项、拆项），并（分组、并项），配（配式、配系数等），使得“和”是定值或“积”是定值，从而运用基本不等式求得最值. 角度2　常数代换法 （2026·安徽A10联盟质检）已知m，n∈（0，＋∞），＋n＝4，则m＋的最小值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：B　∀m，n∈（0，＋∞），m＋＝（m＋）·（＋n）＝（10＋mn＋）≥（10＋2）＝4，当且仅当mn＝，且＋n＝4，即m＝1，n＝3时等号成立，则m＋的最小值为4. 规律方法 常数代换法求最值的基本步骤 角度3　消元法（或换元法） 〔一题多解〕若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 解：法一（代入消元）　由题意得a＝且b－1＞0， ∴ab＝＝＝b－1＋＋5≥9，当且仅当b－1＝时取等号. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 法二（换元消元）　∵a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，由a＋b≥2，得ab＝a＋b＋3≥2＋3，当且仅当a＝b时取等号， 即ab－2－3≥0，设＝t（t＞0），则t2－2t－3≥0， 解得t≥3，故ab≥9. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 规律方法 利用消元法或换元法求最值的方法 （1）消元法：即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解； （2）换元法：求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解. 练2 （1）已知实数a，b满足lg a＋lg b＝lg（a＋2b），则2a＋b的最小值为（　B　） A.5 B.9 C.13 D.18 解析： 由lg a＋lg b＝lg（a＋2b），得lg（ab）＝lg（a＋2b），所以ab＝a＋2b，即＋＝1，且a＞0，b＞0，则2a＋b＝（2a＋b）（＋）＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当即a＝b＝3时等号成立，所以2a＋b的最小值为9. （2）〔一题多解〕已知正实数a，b满足ab＋2a＋3b＝9，则a＋3b的最小值是　6－9　. 解析：法一　由ab＋2a＋3b＝9得b＝＝－2＋（0＜a＜），则a＋3b＝a－6＋＝a＋3＋－9≥2－9＝6－9，当且仅当a＋3＝，即a＝3－3时等号成立，故a＋3b的最小值为6－9. 法二　由ab＋2a＋3b＝9得（a＋3）（b＋2）＝15.令m＝a＋3，n＝b＋2，则mn＝15.a＋3b＝m－3＋3（n－2）＝m＋3n－9≥2－9＝6－9，当且仅当m＝3n且mn＝15，即m＝3，a＝3－3时取等号，故a＋3b的最小值为6－9. 基本不等式的综合应用 角度1　实际应用 （2026·河南郑州模拟）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为　12－8　. 解析：设AE＝x，AF＝y，0≤x≤2，0≤y≤2，则EF＝，因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4，因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y时取等号，故≤＝4－2，则xy≤24－16，则△AEF的面积满足xy≤12－8.故△AEF面积的最大值为12－8. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 角度2　与基本不等式有关的恒（能）成立问题 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A.[－2，4] B.（－2，4） C.（－∞，－2]∪[4，＋∞） D.（－∞，－2）∪（4，＋∞） 解析：A　x＋2y＝xy可化为＋＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当x＝2y＝4时，等号成立，即x＋2y的最小值为8，因为x＋2y≥m2－2m恒成立，所以m2－2m≤8，解得－2≤m≤4，则实数m的取值范围是[－2，4]. 规律方法 含参数不等式的求解策略 （1）利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式（组）得到参数的值或范围； （2）∀x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）min≥a；∀x∈M，使得f（x）≤a，等价于f（x）max≤a； （3）∃x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）max≥a；∃x∈M，使得f（x）≤a，等价于f（x）min≤a. 练3 （1）（2026·广西南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（　C　） A.7 B.8 C.9 D.10 解析： 该设备年平均费用y＝＝＋＋（x∈N*），∵x＞0，则y＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝9时，等号成立，∴该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. （2）若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式＋＜m2＋m有解，则实数m的取值范围是　（－∞，－3）∪（，＋∞）　. 解析：由x＋y＝1，得（x＋1）＋y＝2，所以＋＝[（x＋1）＋y]·（＋）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝.当且仅当即时，等号成立，所以＋的最小值为，因为不等式＋＜m2＋m有解，则m2＋m＞，即2m2＋3m－9＞0，整理得（2m－3）（m＋3）＞0，解得m＜－3或m＞. （时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 解析：B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y.故选B. 2.x2＋＋的最小值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：B　由题意知x≠0，所以x2＞0，＞0，所以x2＋＋≥2＋＝3.当且仅当x2＝，即x2＝时，等号成立. 3.（2026·湖北武汉调研）已知正数a，b满足a＋2b＝1，则（　　） A.ab≥ B.ab＞ C.0＜ab≤ D.0＜ab＜ 解析：C　因为a＞0，b＞0，a＋2b＝1≥2，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以≤，0＜ab≤.故选C. 4.〔一题多解〕若2a＋2b＝1，则（2a＋1）（2b＋1）的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　法一　因为2a＋2b＝1，所以（2a＋1）（2b＋1）＝2a·2b＋2a＋2b＋1＝2a·2b＋2≤（）2＋2＝，当且仅当即a＝b＝－1时取等号.故选C. 法二　因为2a＋2b＝1，所以（2a＋1）＋（2b＋1）＝3，从而≤＝，则（2a＋1）（2b＋1）≤，当且仅当即a＝b＝－1时取等号. 5.已知不等式（x＋y）（＋）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：B　由不等式（x＋y）（＋）≥9对任意正实数x，y恒成立，只需（x＋y）（＋）的最小值大于或等于9，∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时等号成立，∴a＋2＋1≥9，∴≥2或≤－4（舍去），∴a≥4，即正实数a的最小值为4.故选B. 6.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析：C　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（ 2x＋）≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取等号. 7.〔多选〕已知x，y是正数，且x＋y＝2，则（　　） A.x（x＋2y）的最大值为4 B.2x＋2y的最小值为4 C.＋的最小值为＋ D.＋的最大值为2 解析：BCD　由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0＜x＜2，0＜y＜2，x（x＋2y）＝（x＋y－y）（x＋y＋y）＝（x＋y）2－y2＝4－y2，由0＜y2＜4，可得0＜4－y2＜4，所以x（x＋2y）无最大值，故A错误；由基本不等式可得2x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当即x＝y＝1时取等号，故B正确；＋＝（＋）（x＋y）＝（3＋＋）≥（3＋2）＝＋，当且仅当即x＝2－2，y＝4－2时取等号，故C正确；（＋）2＝x＋y＋2＝2＋2≤2＋x＋y＝4，当且仅当即x＝y＝1时等号成立，故＋≤2，D正确. 8.〔一题多解〕若0＜x＜，则的最大值为　　. 解析：法一　由于0＜x＜，则＝≤·＝，当2x＝1－2x，即x＝时原式的最大值为. 法二　由于0＜x＜，则＝≤＝，当x＝时原式的最大值为. 9.函数f（x）＝的最小值为　2　. 解析：函数f（x）＝的定义域为（－1，＋∞），f（x）＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号.故当x＝1时，f（x）取得最小值2. 10.（13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 解：（1）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当即x＝16且y＝4时，等号成立， 所以xy的最小值为64. （2）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝（x＋y） ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 当且仅当即x＝12且y＝6时，等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 11.已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为（　　） A. B. C.2 D.2 解析：D　因为4a2＋b2＝7，则a＝×2a×＝≤×＝2，当且仅当即a＝1，b＝时，等号成立. 12.〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤ B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 解析：BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此A、C错误，B、D正确. 13.函数f（x）＝在（1，＋∞）上的最大值为　　. 解析：因为f（x）＝，x∈（1，＋∞），令x－1＝t，则t＞0，则g（t）＝＝＝≤＝，当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立.故f（x）在（1，＋∞）上的最大值为. 14.（15分）已知a＞1，b＞2. （1）若（a－1）（b－2）＝4，求＋的最小值及此时a，b的值； （2）若2a＋b＝6，求＋的最小值及此时a，b的值； （3）若＋＝1，求＋的最小值及此时a，b的值. 解：（1）因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以＋≥2＝1，当且仅当即a＝3，b＝4时等号成立，所以＋的最小值为1，此时a＝3，b＝4. （2）由2a＋b＝6，得2（a－1）＋（b－2）＝2，所以a－1＋＝1，所以＋＝（＋）·＝＋＋≥，当且仅当即a＝3－，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为，此时a＝3－，b＝2. （3）因为b＞2，由＋＝1，可得a＝，所以a－1＝，所以＋＝b－2＋＋1≥3，当且仅当即a＝，b＝3时等号成立，所以＋的最小值为3，此时a＝，b＝3. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $