第1章 第2节 常用逻辑用语-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word（创新版）

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖全称/存在量词命题的否定、充分必要条件的判定及与集合关系，按课标要求分块梳理知识，通过表格归纳量词命题形式与否定规律，结合判定定理、性质定理深化条件关系理解，设置考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建逻辑知识体系。 资料突出数学思维与应用意识培养，如通过“改量词，否结论”规律突破命题否定难点，结合集合包含关系判断充分必要条件，设计分层练习（题组练透、综合检测）适配不同学生，“练后悟通”总结解题策略，助力学生高效掌握逻辑推理方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第2节　常用逻辑用语 课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 全称量词命题和存在量词命题 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题，叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题，叫做存在量词命题 类别 全称量词 存在量词 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为“　∀x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为“　∃x∈M，p（x）　” 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒：（1）含有量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变；（2）对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词；（3）命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 题组练透 1.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.“正方形是菱形”是全称量词命题 B.∃x∈R，ex＜ex＋1 C.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0” D.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” 解析：ABC　对于A，“正方形是菱形”即“所有的正方形都是菱形”是全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e＜e＋1成立，故B正确；对于C，由全称量词命题的否定知命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0”，故C正确；对于D，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故D错误. 2.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：B　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B. 3.已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　　（，＋∞）　　. 解析：因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 练后悟通 1.要判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立即可. 2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与􀱑p的关系，转化成􀱑p的真假求参数的范围. 充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 　pq且q⇒p　 p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp （2025·天津高考2题）设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由x＝0得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0得x＝（k∈Z），所以必要性不成立.故“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件.故选A. 规律方法 充分、必要条件的三种判定方法 练1 （1）设集合A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（　C　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 若A⊆B成立，由Venn图得到A∩B＝A一定成立，反之，若A∩B＝A成立，由Venn图得到A⊆B成立，所以“A⊆B”是“A∩B＝A”的充要条件.故选C. （2）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　B　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：不等式x2－5x＜0的解集为A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集为B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件.故选B. 充分条件、必要条件的探究与应用 教材母题：〔人A必修一P23习题4题〕已知A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}， （1）如果A⊆B，那么p是q的什么条件？ （2）如果B⊆A，那么p是q的什么条件？ （3）如果A＝B，那么p是q的什么条件？ 细研教材：充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. （1）不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是（　C　） A.－3＜x＜ B.－＜x＜3 C.－1＜x＜3 D.＜x＜3 解析： 不等式2x2－5x－3＜0的解集是（ －，3），观察四个选项发现（ －，3）是（－1，3）的真子集，所以“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0成立”的一个必要不充分条件，故选C. （2）已知p：＞1，q：x＞m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　（－∞，0]　　. 解析：由＞1可得x（x－1）＜0，解得0＜x＜1，记A＝{x｜0＜x＜1}，B＝{x｜x＞m}，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以m≤0，所以实数m的取值范围是（－∞，0]. 练2 （2026·湖南常德联考）已知命题p：－1＜x＜0；命题q：m－1＜x＜－3m，若􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为　（－∞，0）　. 解析：由􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，所以{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜m－1＜x＜－3m}，则（不能同时取等号），解得m＜0. （时间：45分钟，满分：72分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·广东广州开学考试）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＋2x－1≥0 B.∃x∈N，2x＋1为奇数 C.所有菱形的四条边都相等 D.π是无理数 解析：C　对于A，因为∀x∈R，x2＋2x－1＝（x＋1）2－2≥－2，所以该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意；对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，易知该命题是全称量词命题，且是真命题，符合题意；对于D，该命题不是全称量词命题，不符合题意.故选C. 2.（2026·四川宜宾模拟）命题“∀x＞1，ln x＞0”的否定是（　C　） A.∀x＞1，ln x＜0 B.∀x＞1，ln x≤0 C.∃x＞1，ln x≤0 D.∃x≤1，ln x≤0 3.“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为xy＞0x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件. 4.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.a＜4 B.a≤4 C.a＞4 D.a≥4 解析：B　“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. 5.（2025·山东济宁模拟）已知A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[1，＋∞） C.（－∞，2] D.[2，＋∞） 解析：D　因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a≥2.故选D. 6.〔多选〕（2026·四川绵阳模拟）下列命题正确的有（　　） A.“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件 B.“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件 C.“sin x＝”的必要不充分条件是“x＝” D.“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件 解析：BD　对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错误；对于B，“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当x＝时，sin x＝；当sin x＝时，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，所以“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件，故C错误；对于D，因为A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件，故D正确.故选B、D. 7.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：　存在一个素数不是奇数　. 解析：因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数. 8.使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是　x＜－1（答案不唯一）　. 解析：由于4x＝22x，故2x＞22x等价于x＞2x，解得x＜0，故使得“2x＞4x”成立的一个充分条件只需为集合{x｜x＜0}的非空子集即可. 9.已知p：｜x－1｜＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0（a＞0），若0＜a≤2，则q是p的　必要不充分　条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）. 解析：由题可得p：x＞3或x＜－1，q：x2－2x＋1－a2≥0⇔[x－（1－a）]·[x－（1＋a）]≥0，因为a＞0，所以1－a＜1＋a，解得x≥1＋a或x≤1－a.因为0＜a≤2，所以1＜1＋a≤3，－1≤1－a＜1，所以q是p的必要不充分条件. 10.已知m∈R，命题p：∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立；命题q：∃x∈[－1，1]，使得m≤x成立.若p为真命题，则实数m的取值范围为　[1，2]　；若q和p一真一假，则实数m的取值范为　（－∞，1）∪（1，2]　. 解析：∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立，令f（x）＝－3x＋1（－1≤x≤1），则f（x）min≥m2－3m.当x∈[－1，1]时，f（x）min＝f（1）＝－2，则m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，当p为真命题时，实数m的取值范围是[1，2]；若q为真命题，则m≤xmax，即m≤1.因为p，q中一个是真命题，一个是假命题，所以当p真q假时，由得1＜m≤2；当p假q真时，由得m＜1.综上所述，实数m的取值范围为（－∞，1）∪（1，2]. 11.设计如图所示的四个电路图，能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（　　） 解析：C　选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 12.〔多选〕关于二次函数y＝（x－2）2－1，下列说法中正确的是（　　） A.∀x∈R，y＝（x－2）2－1≥1 B.∀a＞－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＜a C.∀a＜－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＝a D.∃x1≠x2，（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1 解析：BD　对于二次函数y＝（x－2）2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1.对于选项A，当x＝2时，y＝－1＜1，所以A不正确；对于选项B，∀a＞－1，当x0＝2时，y＝－1＜a，所以B正确；对于选项C，当a＝－2时，∀x∈R，y＝（x－2）2－1＞a，所以C不正确；对于选项D，取x1＝1，x2＝3，则（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1，所以D正确.故选B、D. 13.已知集合A＝，B＝{x｜x2－4x＋4－m2≤0，m＞0}.若使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则正实数m的取值范围是　[4，＋∞）　；若使得“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则正实数m的取值范围是　（0，3]　. 解析：依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x｜－2≤x≤5}，因为m＞0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x｜2－m≤x≤2＋m}.由“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有A⫋B，于是得或解得m＞4或m≥4，即有m≥4，所以正实数m的取值范围是[4，＋∞）；由“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B⫋A，于是得－2＜2－m＜2＋m≤5或－2≤2－m＜2＋m＜5，解得0＜m≤3或0＜m＜3，即有0＜m≤3，所以正实数m的取值范围是（0，3]. 14.〔推理判断题〕地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间如表： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　D　. 解析：同时开放A，B，需120 s，同时开放B，C，需220 s，故A疏散比C快；同时开放B，C，需220 s，同时开放C，D，需160 s，故D疏散比B快；同时开放C，D，需160 s，同时开放D，E，需140 s，故E疏散比C快；同时开放D，E，需140 s，同时开放A，E，需220 s，故D疏散比A快；同时开放A，E，需200 s，同时开放A，B，需120 s，故B疏散比E快；综上所述，D疏散最快. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $