第02讲 解三角形的解答题综合（培优讲义）新高二数学人教A版

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第02讲解三角形的解答题综合（暑假培优讲义) 析知识。讲腰点… 2 知识点01多三角形综合问题… 2 知识点02多三角形中线与角平分线问题 3 知识点03利用正余弦定理求取值范围问题 3 剖题型，州技巧 题型1多三角形问题…。 题型2多三角形问题（需联立求解） 6 题型3与三角函数的结合 8 题型4中线问题 11 题型5角平分线问题… 12 题型6利用基本不等式求范围 14 题型7与角度有关的范围问题… 16 题型8化边为角的范围问题 18 知高考0直题探源 19 练好题提分培优… 21 人◆课标要点 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理，能结合定理处理多三角形、中线、角平分线等几何题型，完成三角形边 角的计算与推导，提升数学运算能力。 1/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.学会综合运用基本不等式、三角恒等变换等知识，求解三角形周长、面积、角度的取值范围，掌握边角 互化的解题思路与技巧。 3.能将多边形、几何综合问题转化为三角形模型，灵活选用方程法、等面积法等解题方法，培养数学建模 与逻辑推理素养。 4.体会代数方法解决几何问题的思想，能运用解三角形知识处理几何计算类问题，强化知识综合应用能力。 析知识·讲要点 知识迟点L多三角形综合的题 1、多三角形常规问题 遇到由多个三角形组成的多边形题型，可先将整体图形分割为若干个独立三角形。若其中某个三角形能通 过已知条件求出全部边、角要素，就结合所求目标，在对应三角形中运用正弦定理、余弦定理直接计算边 角。 2、多三角形联立求解问题 分割图形后，若单个三角形均无法直接解出全部边角，需选取两个三角形之间的公共边、公共角或存在关 联的边角量，合理设出未知量。再分别对两个三角形使用正弦、余弦定理，联立构造方程，通过解方程组 完成求解。 练习1.巴蜀中学高2028届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形ABCD的展区（如图）， 己知CD=DA=20米，BC=30米. B )若∠4CD-石，B=于，求c0s∠84C的值： (2)若AB=10米，四边形ABCD的面积为100平方米，求cosB+D)的值 2/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点02多三角形中线与鱼平分线▣题 1、三角形中线问题 在△ABC中，若AD为BC边上的中线，常用两种解题方法： (1)向量法：借助向量线性运算公式AD=。(4B+AC)转化中线相关线段，结合向量运算法则计算： (2)双余弦定理法：分别在△ABD与△ACD中对中线两侧的角使用余弦定理，利用两角互补、余弦值互 为相反数的特点，将两式相加化简求解。 即：在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2×AD×BD×cOS∠ADB,① 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2×ADx DCxc0S∠ADC,② 因为LAMB+∠AMC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以①H②式即可 2、三角形角平分线问题 若AD为△ABC的角平分线，主要运用两种思路解题：一是等面积法，利用大三角形面积等于两个小三角形 面积之和建立等式，即S△c=S△4cn+S△MD;二是运用角平分线对应的比例性质，结合正弦定理推导边角 关系进行计算可得到B。4C BD CD 练习2.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知b=6,2a-b=2 ccosB, (1)求角C的大小： (②)若点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2√5，求边长a的值. 知识点Q3_利里正余弦定理求取值范围问题 1、结合基本不等式求取值范围 该类题型常搭配余弦定理使用，多用于求解三角形周长、面积的最值与范围。求解周长范围时，除基本不 等式外，还必须结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）综合限定取值。 3/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2、角度相关范围问题 先根据题干条件梳理各个角之间的数量关系，将多个角统一为单个角，再结合题目给出的角的取值范围， 逐步推导目标式子的取值范围。 3、化边为角求范围问题 先利用正弦定理把题目中的边长统一转化为角的正弦形式，结合三角形内角和A+B+C=π或题干给出的 角的约束条件，将式子化简为单角形式。解题过程中务必留意题目对角的限制条件，最终根据角的范围确 定结果范围。 练习3.上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图ABC,设想在其中规划出三个功能 区：△PBC为露营区，△PAB为垂钓区，△PAC为活动区.已知ABC为直角三角形，∠ABC= 2； AB=3W5km,BC=2V5km,P为ABC内一点，且∠BPC=2π 3 B (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知PB=2km,求∠PCB的大小； (②)求露营区面积的最大值. 剖题型·讲技巧 题型1多三角形问题 1.如图，在4BC中，B=2,DC=o4-号CB的垂直平分线交边4C于点D.若0>AB,求： 4/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 o E (I)sin ACB的值； (2)求△CDE的面积与△ABD的面积之比. 2.如图，在4BC中，已知B-至D是边8C上一点，AD=10,4C=14,DC=6, D (1)求cos∠ADC的值； (2)求AB的长； (3)求ABC的面积 3.记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c-a)(b+c+a=bc. (I)求A: (2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=V3,求sinB 5/25 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45,AB=2,BD=5. B (1)求c0 SLADB; (2)若△BCD的面积为V46,求BC 5.在ABC中，角4，B,C所对的边分别为ah,c,且2 2sin C-sin B_9 sin2B b (I)求角A的大小： ②若b=8c=5,线段AB上一点D满足∠BCD-君，求CD的张. 题型2多三角形问题（需联立求解） 6.在A8C中，点D在边4C上，∠ABD-=受∠D8C-吾4B=1. (I)若BC=2,求AD; (2)若AD=2CD,求AD. 6/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,BC=3. D B ()若A=2如， 3·C=匹，求sn∠BDC的直， (2)若CD=1,c0sA=3c0sC,求△ABD的面积 8.记ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c.已知5snB+-sin Csin 4+sinB a-b (1)求A; (2)若D是BC边上一点，且AB⊥AD,2CD=3BD,求sin∠ADC的值. 9.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4,BC=6. 7/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C 0若4子，C=骨求血∠8DC的值： (2)若CD=2,cosA=3cosC,求四边形ABCD的面积. 10.如图，在四边形ABCD,AD=2√2BC,∠BCD=45°，∠ADC=120°. D C B A (I)若BD=10N2,CD=20,求AC; (②)若∠BAD=30°，求tan∠BDC的值 题型3与三角函数的结合 山.已知函数f)=5a(x+pj<的图象经过（经 (1)求函数f(x的表达式： 8/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,已知a=2N3+2,b=4,f(A-B)=-3,求tanC. 12.如图所示，曲线W:y=Ac0s0x(o>0)与y轴的交点为B,与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点分 别为C,D,且△BCD的面积为1，M是BC的中点. M D ()证明：A=20 (2)若BC.DM=-1 4 (i)求函数y=Acosox的最小正周期； (i)设aBDM的外接圆交直线CD于点N(D,N为两个不同的点)，求BN的长度. 1 13.设)=cosx-sinx+2,xe(0,利，设A8C为锐角三角形，角A所对的边a=9 (I)求函数y=∫(x)的单调增区间； 2)若f(A=0,求： 的值： sinA+sinB+sinC (3)在(2)的条件下，若角B所对的边b=5,求ABC的面积. 9/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.设函数f=Rcosx--pR>0u>0.0<9<引 其部分图象与坐标轴的交点如图所示. VA 0若R=1o=元9=晋，求a∠A8C: (②)在ABC中，记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2-2 ab cos B=(b-c2 (i)判断ABC的形状； (ii)若b=simB,求当∫(x)的最小正周期为多少时，ABC的中线BD能取得最大值. 15.己知函数f(x=2W3sin2x+2 sinxcosx--√3，xeR (①)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间： Q在aABC中，角4B.C的对边分别为aac,若4)=0，A>子且sin8sinC=sin,求。4BC面积的最 小值， 10/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型4中线问题 16.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量p=(a,c-2b),9=(cosC,cos4,且p⊥9 (I)求角A的值： 2若c=3,4D是BC边上的中线，AD=西，求ABC的面积. 2 17.设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知bsin C+√3 c cos B=V3a (1)求角C的大小： (2)若c=√2a,求cos(2A-C): ③若c=22,血4sinB-g,求B边上中线CT的长 18.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D为线段AC的中点，A,C满足 (sinA-sinC)2=sin2(A+C)-sinAsinC. (1)求B; (2)若ABC的面积为5，b=√3，求中线BD的长. 11/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.在锐角ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知a=√3且sinB+sin2C-sin2A=sin Bsin C. (I)求角A: (2)求ABC周长的取值范围： (3)求边BC上的中线AD的取值范围. 20.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=√3,2√3cosC=2a-c (1)求角B: (2)若a+c=2,D是AC上的点，BD平分∠ABC,，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 题型5角平分线问题 a+c 21.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 b sinB+sinC sin(B+C)sinA' (1)求角B的大小： (②若方=V37,4C边上的中线BM= ,求∠ABC的平分线BN的长. 2 12/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-b)cosC=cc0sB. (1)求角C的大小： (2)若c=4,ABC的面积为4√5，求该三角形的周长 (3)若a=5,b=3,CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 23.在ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,且tanA=-√5 (1)求角A的大小： (2)若b2+c2-a2+10b=0,S.4c=15V5. ①求边b的值； ②若∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长， 24.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 beosC=aC --2ccosB. (1)求c: (②)若LACB=60',AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 13/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 25.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(csinAcosB+sinB)=asinA+csinC. (1)求b: 1 (②设角B的平分线交1C于点D,且BD=l,求(a+qF+4ac的值. 题型6利用基本不等式求范围 26.=(3sinx,-cosx),B=(cosx,cosx),f(x)=a.B. (1)求函数∫(x的解析式及最小正周期： ②设4BC的内角4，B,C所对的边分别为a,,。,若/()=且b=5,求ABC周长的最大值， ☒=sinrcosr-3sin2x+),将/☒的图象向右平移么个单位，得到 12 (1)求gx)的单调递减区间； 14/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2记4BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,C.若a=5,g4)=1,求ABC面积的最大值. 2 28.记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2+abcosC=becosA+accos B+ab. ()求C (2)若c=6. (I)求△ABC周长的取值范围； (Ⅱ)求△ABC面积的最大值. 29.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 2sin2 4+cos(B+C)=2sin2 B+2sin2 C+cos(B-C). (1)求A: (2)若a=4,求ABC外接圆的面积； (3)若ac cos B+abcosC=2b2+2c2-4,求ABC面积的最大值. 30.已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a=2√3且√3 a sin C+acosC=b+c (I)求A: 15/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)己知D是边BC的中点，求AD的最大值， 题型7与角度有关的范围问题 31.在①(b+a)(b-a=ac;②a+b+c(a-b+c=4 accos2A;③a+c=2 bcosA这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并作答.已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为Q,b,C,且一 (1)证明：B=2A; ②若8C是锐角三角形，求+的取值花围 tanA'tanB 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 32.设ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,B≠T且sin(B-A)+cosB=sinC. (I)若a=2,ABC的面积为√3，求ABC的周长： (2)若ABC为锐角三角形，求cosB+√3cosC的取值范围. 16/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 33.在锐角ABC中，ab,c分别为内角A,B,C的对边，满足AC.AB=b-b. 2 (I)求角C的大小： (2)求sinA+sinB的取值范围. 34.已知锐角4BC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,G,且满足a0sB+bcs4= -csinC (1)求角C; (2)求sinA+sinB+sinC的取值范围. 5,如图，ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b,G,C=,2a=3b.点D在BC延长线上 (I)若a=3,∠ACB的角平分线交AB于点E,求线段CE的长； (2)求sin∠ADC+sin∠CAD的取值范围. 17/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型8化边为角的范围问题 36.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=V6,V3 acosC+asin C=V3b. (1)求角A的大小： (2)若AD平分∠BAC交BC于D,且AD=1,求BC边上的高； (3)若ABC为锐角三角形，E为边BC的中点，求中线AE长度的取值范围. 37.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sinC+√5cosC=a,b=√5 (I)求角B; ②若ABC的面积为5，求a+c的值， 4 (3)若ABC为锐角三角形，求ABC面积的取值范围， 38.己知锐角三角形ABC的内角A,B,，C对应的边分别为a,b,C,且满足 b tan B cos C+csin B=2a tan B cos A. (1)求角A: (2)若c=1,求ABC面积的取值范围； ③)求2办+c的取值范围 bc 18/25 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 39.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a-V3 bsinC-bcosC=0. (1I)求B; (2)若c=2√3a,且ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积； )若D为边B上一点，且∠ACD=子，求0的最大值， AD 知高考·真题探源 1.(2026全国二卷高考宾题)在4BC中，已知cos8-},c0s(4+C+sin4sinC=1. (I)证明：ABC为钝角三角形； ②若48C的面积为，求BC的同长. 2.(2025·上海·高考真题)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c=5. 6-瑞c-号： (2)若ab=20,求ABC的面积的最大值. 19/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2024新课标Ⅱ卷·高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 sin +3 cos 4=2. (1)求A. (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求ABC的周长. 4.(2023·全国乙卷·高考真题)在ABC中，己知∠BAC=120°，AB=2,AC=1. (I)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积. 5.(2022天津·高考真题)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c.已知 a=6b=-2s4=号 (1)求c的值： (2)求sinB的值； (3)求sin(2A-B)的值， 20/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(2022新高考全国I卷高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 cosA sin2B 1+sinA 1+cos2B 0若c=,求B: ②求口+6的最小值. c2 练好题提分培优 1.在ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,已知3 asinB=bcosA+b. (1)求A; (2)若a=7,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得ABC存在，求ABC最长 边上高线的长. 条件O:snC=55,条件②：ABC的面积为10N5;条件③：b=10. 14 2.已知函数到=snr如+君 (1)讨论∫(x)在区间[0，π上的单调性： ②在镜角ABC中，角4，B,C的对边分别为，，c,若fA=5，a=5,求ABC周长的最大值 2 21/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.己知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且acos C+V3 asin C-b-c=0 (1)求A; (2)若a=2,且△ABC的面积为√3，求b,C 4.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a>c,a2+c2-b2=ac,a+c=6,S.c=25 (1)求角B; (2)求a,c,b的值； (3)若BD为∠ABC的平分线，且D在边AC上，求BD的长 5.在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C,已知a=2,AB,AC=aC+BA·BC. (1)求证：B=2A; (②)若d为ABC的AB边上的高，求b2+4V3d的取值范围. 22/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.在ABC中，A=牙，AB=2,AC=4,D为4C的中点，E,F分别在边4B,BC上，∠EDF= 3 (I)若DE=√3，CF=1FB,求1的值： (2)求△DEF面积的最小值. 7.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cos4,且 m.n sin2C. (1)求角C的大小： (2)若ABC为锐角三角形，c=√3，求a+b的取值范围； (3)设ABC的面积为√5，AB边上的中线CD长为2，求C的长. 8.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足，1十 23 tan4 tanB tanC' (1)求证：a2+2b2=3c2: (2)当角C取得最大值时，ABC的面积为V14,求a. 9.在锐角ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,bc,满足a-力=C-b sinC sin 4+sinB'且a=2. 23/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)若O0为ABC的外接圆，求⊙0的半径R; (2)求锐角ABC周长I的取值范围. 10.已知三角形48C的角A,8,C所对的边为a,b,6且6=2，b+cosB=a,延长BC到点D. B C (I)若CD=3,求AD的长； (2)若∠B=2∠D,3BC=4CD,求AD的长. 11.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,ABC的面积为S,且4V5S=a2-b2-c2. (1)求A的大小： ②已知点D在BC边上，AD=d,且im∠BD+sim∠CD=3.证明：a=3d. b 2a 12.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acosB- π)b+c B-3F2 (I)求角A的大小： 24/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2若ABC为锐角三角形，且外接圆的半径为5，求+C的取值范围 bc 13.如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=V3,∠ABC=120°，∠ABD=∠BCD. B (I)若LABD=45°，求AD的长： (②)当四边形ABCD的面积取最大值时，求∠ABD 14.如图，四边形ABCD中，∠DAB=120°，AD=5,AB=3, (I)若∠CDA=∠CBA=90°，求AC的长。 (2)若∠BCD=60°，当四边形ABCD面积最大时，求AC的长. 25/25学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第02讲解三角形的解答题综合（暑假培优讲义） 析知识讲要点.… 知识点01多三角形综合问题.… 2 知识点02多三角形中线与角平分线问题 .3 知识点03利用正余弦定理求取值范围问题 4 剖题型。讲技江巧..6 题型1多三角形问题 .6 题型2多三角形问题（需联立求解） .11 题型3与三角函数的结合 .16 题型4中线问题 21 题型5角平分线问题 .26 题型6利用基本不等式求范围 .31 题型7与角度有关的范围问题 36 题型8化边为角的范围问题.…. .41 知高考真题探源…47 练好题提分培优.…53 课标要点 1,熟练掌握正弦定理、余弦定理，能结合定理处理多三角形、中线、角平分线等几何题型，完成三角形边 角的计算与推导，提升数学运算能力。 1/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.学会综合运用基本不等式、三角恒等变换等知识，求解三角形周长、面积、角度的取值范围，掌握边角 互化的解题思路与技巧。 3.能将多边形、几何综合问题转化为三角形模型，灵活选用方程法、等面积法等解题方法，培养数学建模 与逻辑推理素养。 4.体会代数方法解决几何问题的思想，能运用解三角形知识处理几何计算类问题，强化知识综合应用能力。 析知识·讲要点 知识点01多三角形综合问题 1、多三角形常规问题 遇到由多个三角形组成的多边形题型，可先将整体图形分割为若干个独立三角形。若其中某个三角形能通 过已知条件求出全部边、角要素，就结合所求目标，在对应三角形中运用正弦定理、余弦定理直接计算边 角。 2、多三角形联立求解问题 分割图形后，若单个三角形均无法直接解出全部边角，需选取两个三角形之间的公共边、公共角或存在关 联的边角量，合理设出未知量。再分别对两个三角形使用正弦、余弦定理，联立构造方程，通过解方程组 完成求解。 练习1.巴蜀中学高2028届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形ABCD的展区（如图）， 已知CD=DA=20米，BC=30米 B 若∠ACD-云B-号求cos∠B4C的值： (2)若AB=10米，四边形ABCD的面积为100平方米，求cos(B+D)的值 【答案】) 4 2/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 @6 5 【分析】 【详解】(1)在△ADC中，因为CD=DA=20,∠ACD= 6 所以AC=2DC-cos∠ACD=2×20× =20W3 2 在△ABC中，由正弦定理得： BC AC ,所以sin∠BAC= BCsin B 30xv3 sin∠BAC sin B AC 20V54 又BC<AC,所以0<BAC<胥，所以cos∠BAC=-sin∠BAC= 4 4 (2)在△ADC,△ABC中，由余弦定理得， AC2=CD2+AD2-2CD·AD.cosD=202+202-2×20×20c0sD=800-800c0sD, AC2=CB2+AB2-2CB·AB.cosB=302+102-2×30×10cosB=1000-600cosB, 所以800-800cosD=1000-600cosB,即3cosB-4cosD=1. 又SADc+SAC=100, 即54AD-CDsinD+3AB-BCsm8-×20×20snD+片×30x10sinB=20snD+150snB=10, 整理得4sinD+3sinB=2 所以(3cosB-4cosD)+(4sinD+3sinB)=5, 整理得25-24 cos BcosD+24 sin Dsin B=25-24cos(B+D)=5, 所以cos(B+D)=6 5 知识点02多三角形中线与角平分线问题 1、三角形中线问题 在△ABC中，若AD为BC边上的中线，常用两种解题方法： (1）向量法：借助向量线性运算公式D=丽+AC)转化中线相关线段，结合向量运算法则计算： (2)双余弦定理法：分别在△ABD与△ACD中对中线两侧的角使用余弦定理，利用两角互补、余弦值互 为相反数的特点，将两式相加化简求解。 3/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即：在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD+BD-2×AD×BDx cos∠ADB,① 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD+DC2-2×ADx DC×coS∠ADC,② 因为∠AMB+∠AMC=元，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以①十②式即可 2、三角形角平分线问题 若AD为△ABC的角平分线，主要运用两种思路解题：一是等面积法，利用大三角形面积等于两个小三角形 面积之和建立等式，即S△c=S△4Cp+S△BD;二是运用角平分线对应的比例性质，结合正弦定理推导边角 关系进行计算可得到AB4C BD CD 练习2.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=6,2a-b=2 ccosB, (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2V5,求边长a的值. 【答案】0)C-号 (2)a=3 【分析】 【详解】(1)由2a-b=2 e cos B和正弦定理可得：2sinA-sinB=2 sinCcosB, 因为A=元-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC, 代入上式化简得：2 sinB cosC=sinB, 在△4BC中，sinB≠0，则cosC=} 又C∈(O,),因此C= 3 (2)因为CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD=T 6 由面积关系5e=Sen+8am,代入可得：bsmC=bCDs如 2 CD.sin f代入6=6C-cD-25, 化简得：3Ba=3V5+50,解得a=3 2 知识点3利用正余弦定理求取值范围问题 1、结合基本不等式求取值范围 该类题型常搭配余弦定理使用，多用于求解三角形周长、面积的最值与范围。求解周长范围时，除基本不 4/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等式外，还必须结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）综合限定取值。 2、角度相关范围问题 先根据题干条件梳理各个角之间的数量关系，将多个角统一为单个角，再结合题目给出的角的取值范围， 逐步推导目标式子的取值范围。 3、化边为角求范围问题 先利用正弦定理把题目中的边长统一转化为角的正弦形式，结合三角形内角和A+B+C=π或题干给出的 角的约束条件，将式子化简为单角形式。解题过程中务必留意题目对角的限制条件，最终根据角的范围确 定结果范围。 练习3.上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图△ABC，设想在其中规划出三个功能 区：△PBC为露营区，△PAB为垂钓区，△PAC为活动区.已知△ABC为直角三角形，∠ABC=兀， AB=3N3km,BC=2V3km,P为△ABC内-点，且∠BPC=2m 3 B (I)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，己知PB=2km,求∠PCB的大小； (2)求露营区面积的最大值. 【答案】08 (2)V5 【分析】 sn∠BPCsin PCB→sin PCB=PBsin BPC-1 BC 【详解】(1)由题设， PB BC 2 而PB<BC,即∠BPC-2T>∠PCB,故∠PCB= 3 6 (2)由题设BC2=PB2+PC2-2PB·PC cos BPC=PB2+PC2+PB·PC≥3PB·PC, 所以PB,PC≤4，当且仅当PB=PC=2时取等号， 所以Some-PB,PCsn∠BPCs;2x5-V5,即露营区面积的最大值5 2 2 2 5/68 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 剖题型·讲技巧 题型1多三角形问题 3 4 1.如图，在△4BC中，AB=2DC=2cosM=5,CB的垂直平分线交边AC于点D.若4D>4B,求： 2 B E (I)sin∠ACB的值； (2)求△CDE的面积与△ABD的面积之比. 【答案】()sn4CB= 5 回启 【分析】 【详解】(1)由题意知，DE垂直平分CB,则BD=DC= 2, 在△ADB中，cos4=4D+AB-BD24 2AD·AB 5 整理得20AD2-64AD+35=0, 即(2AD-510AD-7)=0,所以AD=5或 因为AD>AB,所以AD= 2， 所以AC=AD+DC=4. 在A4BC中，由余弦定理得BC=AB+AC-2AB4Cc034E4+16-2x2x4K号9 所以BC=6V5 5 由co8A,AE0.元l,得sn4=1-cos1=号 在△1BC中，由正弦定理得BC AB 'sin∠Asin∠ACB 65 即§= 2 3sin∠ACB' 5 6/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以sin∠ACB=V5 2》由1)可知AD-,sn4-1osA- 5'sin∠ACB=5, —.S→2，可÷ 65 S.coR=CD.CE.sinLACB-1x3x5x59 2 222520 Sn=)AD-AB,sin∠A=1x乏x 33 ×2× 22 52 9 故9c2盟= 20_3 310 2.如图，在△BC中，已知B=牙，D是边BC上一点，4D=10,AC=14,DC=6 B (I)求cos∠ADC的值； (2)求AB的长； (3)求△ABC的面积， 【答案】0-月 (2)56 3)75+55V3 2 【分析】 【详解】(1)在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理可得：cos∠ADC=10+6-14-1 2×10×62 (2)因为as4Dc-3,∠iDCc(0x) 所以∠ADC=7,所以∠ADB=元-∠ADC. 3 在△ABD中，AD=10,B= 4∠ADB=元， 7/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB 10x 由正弦定理 AD 可得AB= 2=56 sinB sin∠ADB V2 2 3)在△ABD中，B4,∠ABD3,所以BADE元=B=∠4DB白 5π 12 在△ABD中，由正弦定理 BD AB 'sin∠BAD sin∠ADB 5v6x6+v2 可得，BD= 4-=53+5, 3 2 所以BC=BD+DC=5V3+5+6=5V3+11, 4Bc=。4B×BC×s1nB=5+55V3 2 3.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c-a)(b+c+a)=bc (1)求A; (2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=V5,求sinB 【答案】04： ②②7 7 【分析】 【详解】(1)(b+c-a)(b+c+a)=(6+c)2-a°=b°+2bc+c2-a=bc,则b2+c2-a2=-bc, 所以cos4=b°+c2-a2.1 2bc 21 因为0<A<元， 所以A=2π 3 (2)法①：由(1)得，4经，因为∠B4D=3C4D,所以∠C4D 6 如图在△ACD中，由余弦定理 CD2=AD+AC2-2AD·4Ccos.∠DAC B D C -3+16-2W5x4x5-7,即cD=V7, 2 8/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD 在△ACD中由正弦定理 AD in-DAC-sinc, 即丁snc,所以sinc=V3 2 2√万， 因为0<C<骨故eowc=1-mC= 2万， ABC sinB=sin(+C)-sindcosC+cos4sinc5 22√722√万7 CD AC 法②：同解法①CD=√7，在△ACD中由正弦定理 sin∠DAC sin∠ADC' 4 即1sin∠ADc,所以sin∠ADC=2 方，os<ADC=-5Vi 万7 2 又因为4DC=BAD+B=B+),即cosB+2=-2，所以sinB=V21 7 7 法③同上CD=V7,在直角△ABD中BD=Vc2+3,所以a=Vc2+3+V7, 由(1)问知a2=b+c2+bc,所以Vc2+3+V7=c2+4c+16,即c2+2N7Nc2+3+10=c2+4c+16,得 V7e+3=2c+3即c2-4c+4=0,所以c=2,BD=V7,sinB=D- BD 7 法④如图由(1)知4经，则<C4D 6 因为SABC=SABD+SACD,所以 分40m经方c+4xm爱即-5c c+V5,解得c=2,所以 2 2 a2=b2+c2+bc=16+4+8=28,即a=2V7, 274 里sind"sinB,即V5sinB,解得sinB=5-V2 在△ABC中，由正弦定理a=b 万7 4.如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2,BD=5. D (1I)求coS∠ADB; (2)若△BCD的面积为V46,求BC 9/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】)2☒ 5 (2)BC=5 【分析】 【详解】(1)在△ABD中，由正弦定理得BD AB sin∠Asin∠ADB 则 2 in45° sin∠ADB 解得sin∠ADB=V2 又由题设知0°<∠ADB<90°， 所以cos∠ADB=-sn∠4DB=V23 (2)cos∠BDC=cos(90:-∠ADB)=sin∠ADB=V 5 sin∠BDC=-cos°∠BDc=-V23 5 1 S.acp =DB-DC.sin∠BDC,得V46=x5 xDex2 2 5 解得DC=2v迈 由余弦定理得BC2=BD+DC2-2BD·DC·COS∠BDC=25, 又BC>0,所以BC=5 5.在△1BC中，角4BC所对的边分别为ab,c,且2 sinC-sin B_? sin2B b (I)求角A的大小： ②)若6=8c=5,线段4B上一点D满足∠BCD-石，求CD的长 【答案】0写 (②56v5 13 【分析】 【详解】(1)因为 2sinC-sin B a sin 2B 2sinC-sinB sin A 由正弦定理可得： 2sin BcosB sin B' 所以2sinC-sinB=2 sin Acos B 在△ABC中，sinC=sin兀-(A+B)=sin(A+B), 所以2sin(A+B)-sinB=2 sinAcos B,化简得：2 cos Asin B=sinB, 10/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 由于B∈(0，元)，则sinB>0,则cosA= 又A∈(0，)，所以A=元 3 (2)由余弦定理a=b°+c2-2 bc cos A=8+5-2×8x5×149, 所以a=7,则cosB=a+c2-b72+52-821 2ac 2×7×57 又B∈(0，m,所以sinB=-cosB=45, 7 所以sin∠CDB=sng+B=sinc+cossin B=×}+5×4N5_13 6 6 6 2727-141 CD 7 在△BCD中，由正弦定理CD sinBsin∠CDB'即4313，解得cD-563 CB 714 13 D 题型2多三角形问题（需联立求解） 6.在a,1Bc中，点D在边4C上，ABD-,<DBc-吾，B=1. (I)若BC=2,求AD; (2)若AD=2CD,求AD. 【答案】 2 ⊙g 【分析】 【详解】(1)在△ABC中，∠ABC=2 由余弦定理， AC2=AB2+BC2-2AB·BC.cos.∠ABC=1P+2-2×1×2co 2=1, 得AC=√7， 11/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以cos∠BAC=4B+AC3-BC-1+7-4_2V万 2AB·AC 2x1xv7 7 所以在RAABC中，AD=B:↓= c0s42V72· 7 (2)设CD=t,AD=2t,(t>0),在△BCD中， 由正弦定理得 in-CBD-sin∠CDB'又因为sin∠CDB=sin∠ADB=AB_1 CD BC AD 2t t BC 代入上式有： 1,得BC=1. 6 _2t 由余弦定理得AC=,1+1-2co 2n-5, 综上D号4C-子 7.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,BC=3 D B 洁4号，C=年求m∠B0C的值： (2)若CD=1,cosA=3cosC,求△ABD的面积. 【答案】()6 4 2v2 3 【分析】 【详解】(1)在△ABD中，AB=AD=2,A= 3 由余弦定理得BD=AB+AD2-2AB·AD cos.∠A=4+4-2×2×2× 所以BD=2N3, 在ABCD中，BD=2N5,BC=3,C= 4, 所以由正弦定理得 n∠BDC=sinc,得BDsin∠BDC=BCsinc, BC BD 12/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2V3sm∠BDC3x2,得smBc6 4 (2)在△ABD中，AB=AD=2, 由余弦定理得co4=AB+AD-BD8-BD 2AB·AD 8 在△BCD中，BC=3,CD=1, 则余弦定理得cosC-BC+CD:-BD:10-BD 2BC.CD 6 因为coA=3cmC,所以8-D-3x10-D_10-BD,解得BD-32 8 6 2 32 所以sA=8-D=1-=1-4- 8 8 33 因为A∈0，，所以sinA=-cosA=h-g3 _1-2v2 所以△4BD的面积SAB AD-sin42x222-的 1 3 3 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知V3sinB+-sincsin 4+-snB a-b (1)求A; (②)若D是BC边上一点，且AB⊥AD,2CD=3BD,求sin∠ADC的值. 【管案】0活 R5 14 【分析】 a-b 【详解 】(1)因为3sinB+sinc sin4+snB' a-b=c 由正弦定理可得5助+ea+6,即a-b=V56c+c, 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 所以cosA=-5 ),又A∈(0，π)，所以Aπ 6 (2)因为∠D4C=∠B4C-∠DMB=号记∠ADC=a,则∠ADB=X-a, 因为2CD=3BD,设BD=2m,CD=3m(m>0), 在Rt4BD中，sint-e),即sina= 2m 13/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b 3m AC CD b 在△ADC中， sina sin∠CAD 所以sinav5,所以sinx= 23m 2 b 听以。三。万·即b=√5c, 在△ABC中由余弦定理有25m2=3c2+c2-2×V3c×c× 3 2 整理得25m=7c,即=5 所以sina= c=5W7,即sn∠ADC=5N7 2m14 14 B 9.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4,BC=6. D (0若4=否，C-否，求n∠BDC的值： (2)若CD=2,cosA=3cosC,求四边形ABCD的面积. 【答案】()4 (②16V2+8v5 3 【分析】 【详解】(I)在△ABD中，AB=D=4,4径，则∠ADB- 6 BD=2 4D cos∠ADB=2×4×cosT=4V5, 6 在ABCD中，由正弦定理得，BC=BD sin∠BDC sinC sn∠BDC=BCsinC6sin2 33 BD 43 4 (2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADc0SA=42+42-2×4×4×c0SA=32-32c0sA, BD2=CB2+CD2-2CB.CDcosC=62+22-2×6×2×cosC=40-24cosC, 14/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得4cosA-3c0sC=-1,又cosA=3c0sC,得cos4=- 3.cosC=-1 91 则sinA=2v2 3 ，snC=4v5 9 四边形ABCD E的面积S=8m+Sw号in4+号CB.CD-simC =2×4×4x221 1 6×2x45_165+8w5 32 9 3 10.如图，在四边形ABCD,AD=2N2BC,∠BCD=45°，∠ADC=120°. D B (I)若BD=10N2,CD=20,求AC; (2)若∠BAD=30°，求tan∠BDC的值 【答案】(1)20v7 (②)4+5 13 【分析】 【详解】(1)在△BCD中，由正弦定理得，CD BD sin∠CBD sin∠BCD' 即 20 10w2 sin∠CBD sin45° 解得sin∠CBD=1,所以∠CBD=90°， 则△BCD为等腰直角三角形，所以BC=BD=10V2, 则AD=2V2BC=40. 在△ACD中，由余弦定理得 AC2=AD+CD2-2AD×CDcos.∠ADC=40+202-2×40×20× 2800, 所以AC=20V7. (2)设∠BDC=0,则由题意可知∠ADB=120°-0，∠ABD=30°+B. BD AD BD AD 在△ABD中，由正弦定理得 m∠BADsin∠ABD'即sin30sin30+可' 即 D=2sim(30°+0）， B 在△BCD中，由正弦定理得 BC sn9sn45,即BC= sn∠3DC sin∠BcD'即CBU BD =v2sin0, BD 15/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又AD=2√2BC,所以2sin(30°+0)=2W2×V2sin0, 所以cos0+5in0=2sin0,解得m0=4+5,所以an∠BDC-4+5 2 13 13 题型3与三角函数的结合 1.已知函数f)-V5amx+<到的图象经过-月 (1)求函数f(x)的表达式； (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,已知a=2V3+2,b=4,f(A-B)=-3,求tanC. 【答案】0f)-5tamx+到 23 3 【分析】 【详解】1)函数f()=V5amx+列的图象经过（及-，所以-1-5am[行+， 所以tan 所以元+4=5 2 ,所以=3' 6 即得f()=V5anx+3) ,元 (2)在A4Bc中，5tm4-B+写}-3，所以um4-B+}=-5. 且A-B∈(-元，元)，且a>b,所以A>B,即A-B∈(0，元)， 所以4-B+子径即得A8 3’ 2V5+2 4 b 由正弦定 a sin4sinB,所 snB+元 sin B, 3 2N3+2 所以 nB×,+cosBx5snB,即得(2W5+2s小inB=sinBx2+cosB×2W5, 2 2 所以sinB=cosB, 即得tanB=1,B∈(0，元)， 所以B-子 16/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以tanC=-tan(A+B)=-tan +2B=-tan 3 63 12.如图所示，曲线W:y=Acos@x(o>0)与y轴的交点为B,与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点分 别为C,D,且△BCD的面积为I,M是BC的中点. D 20 (1)证明：A= 元 (2②)若BCDM=-1 (i)求函数y=Acos @x的最小正周期； (i)设△BDM的外接圆交直线CD于点N(D,N为两个不同的点)，求BN的长度， 【答案】(1)证明见解析； ②（①22；(i)BN=130 8 【分析】 【详解】(1)设函数y=Acos @x的最小正周期为T, 因为C,D分别为W与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点， 所以CD=T-2元」 2200 因为B为W与y轴的交点，所以B(O,A), 因为△BCD的面积为1，所以.工A=1,整理得A= 20 20 20 (2)(i)由(1)知，B0,地 （_元，0 0,)c200 ,D元，0 20 所以M 40元 4’元 20’元 所以BC.DM= 3元22021 8元2 一4，整理得160 4 2g-30. 216十6=0，解得Pπ2 所以 1 2,所以0=2π 2 17/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故T=2元=22，故最小正周期为22. 由a知o,4=,做c要0停心小取回从要引 i故cD=N2,BD=M0,DM=26,BM-Io,sim∠BDC=n∠BDN-OB_25 2 4 BD 5 在aB队MD中，DM+BMP-2BM-DM cos∠BMD=BD,所以cs∠BMD=-N5 65 因为N在aBDM的外接圆上，所以cos∠BND=coS∠BMD=-VG5,故sin∠BND-86 65 5 BD BN 由正弦定理， sn∠BNDsin ZBDN'解得BN=M30. 8 1 13.设f(x)=cosx-sinx 2'x∈(0，)，设△4BC为锐角三角形，角A所对的边a=V9 (I)求函数y=f(x)的单调增区间； (2)若f(A)=0,求： C.ABC sinA+sinB+sinc的值； (3)在(2)的条件下，若角B所对的边b=5,求△ABC的面积. 【答案】(2π月 22v57 3 3)155 4 【分析】 【详解】(1)f(y)=cosx-sinx+】=cos2x+ 2 由-元+2m≤2x≤2，k∈Z,得-元+m≤x≤m,k∈Z, 2 所以了(y)的单调增区间为+kzkeZ且x∈0， 2 所以函数y=f(x)的单调增区间为2元 18/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)由(1)知，f(x)=cos2x 2 因为f(A)=0, 所以f4)=cos24+号0，即cos24= 因为0<A<元， 所以0<2A<π， 所以24即4-景又国为a=西， CABC aV19257 所以sin4+sinB+sinc sinAv33. 2 (3)由余弦定理可知，a2=b+c2-2 bccos/4, 将a=V19,b=5代入并整理得c2-5c+6=0,解得c=2或c=3. 又因为△ABC为锐角三角形， 所以cosB=a+c2-b2 >0,c>0,即19+c2-25>0,解得c>V6, 2ac 所以c=3 所以△ABC的面积为S△ABC= csm45x39-155 24 14.设函数f()=Rcos(ox-列R>00>0,0<p<2, 其部分图象与坐标轴的交点如图所示， ①若R=Lo=元D=牙，求n∠ABC, (2)在△ABC中，记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-2 ab cosB=(b-c). (i)判断△ABC的形状； (i)若b=simB,求当f(x)的最小正周期为多少时，△ABC的中线BD能取得最大值， 【答案】()8v2 5 (②（①）以A为顶角的等腰三角形，()当最小正周期为时，BD能取得最大值2 16 19/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)由题意得f)=cos》 则o8-f10-m(引9. 令fe=0将4〔0c(0, 所以tan-CBO=3V2 tan-4BO=2 3v2,V2 所以tan∠ABC=44 8v2 1-32xV2 5 44 (2)(i)在△ABC中，由余弦定理得cosB=+c-b 2ac 所以c-2（e*e-）-6-g 展开整理，有(b-c)川a2-b°-c2) 若。=6+6，那么有4=，由图知4<受矛蔗。 所以b=c,则△ABC是以A为顶角的等腰三角形 ()因为历-号a+B0),平方得BD-e+a+2acoo) 在△ABC中，由正弦定理可得a=b sinA sinB sinc 所以a=sinA=sin(π-2B)=sin2B=2 sinBcosB,c=sinC=sinB, 于是BD=1 mB+nosi8+niBas-n8(asB+-n8(o-n) 故BD?=sin2B (9-8 sinB-812B98sinB)≤328s1nB+9-8s1nB） 81 4 2 128 3 当且仅当sinB=2时取等. 4 3 此时4C=b=sinB=又因为最小正周期T=24C, 所以当最小正周期为时，D能取得最大值3 16 15.已知函数f(x)=2V3sin'x+2 sinxcosx--V3,xeR (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； 20/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(4)=0,A>T,且asinBsinC=V5sin4求A4BC面积的最 2 小值 【答案】(1)π， 5+km 12 ，1l元+k标，k∈Z 12 (2)3V5 【详解】(1)f(x)=2V3sin'x+2 sinxcosx-5 sin 2x-3 cos2x=2sin 2x 故最小正周期7=2π=元， 2lm+T≤2x-xs2lm 2 3 3沉，keZ 故元+阮≤x≤+ lnkeZ 12 单调递减区间 Sπ+km,km+lπk∈Z 12 12 (2)由f4)=0,则2sn24-写到=0， 所以2A-骨=keZ即2A-胥akeZ, 由14是三角形内角，且4>受故4。 3， 由正弦定理和asin Bsinc=V5sin4,则a×力×9-5% 2R2R 2R 则c-2iR-5A552a 2 由余弦定理，a2=b2+c2-2bcc0sA=b+c2+bc≥3bc, 即a≥6，当且仅当b=c=2V5时取等号， 此时面积最小值为S=bcsinA=3V5 2 题型4中线问题 16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量p=(a,c-2b),9=(cosC,cos4,且p⊥9 (1)求角A的值： (②若c=3D是BC边上的中线，AD= 3N ,求△4BC的面积. 21/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】04骨 ②36 2 【分析】 【详解】(1)因为p1互，所以pq=0, 所以acosC+(c-2b)cosA=0, 由正弦定理得sinAcosC+cosAsinC=2 sinBcosA, 即sin(A+C)=sinB=2 sinBcosA,且0<B<元，则sinB>0, 可得c0s4=】,因为0<A<元， 2 所以4-骨 (2)由题意得D=4B+4C) 则D=a+4C+2a4Cos4: 即有19=c2+b2+bc,且c=3, 解得(b-2)(b+5)=0, 所以b=2, 故△1c的面积为S-an42x3,-35 22 17.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知bsinC+v5 ccos B=V3a (1)求角C的大小； (2)若c=V2a,求cos(2A-C); 何若c=2反，血4smB},求AB边上中线cT的长 【答案】()3 (21+35 (3)2 【分析】 【详解】(1)由b sinC+√3 c cos B=5a, 22/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sin BsinC+3sinC cos B=3sinA=3sin (B+C) =3 sin BcosC+3sinC cos B, sin BsinC=v3sin B cosC, 又B∈(0，π)，故sinB≠0，则sinC=√5cosC, 故mC=5,又Ce(Q,故c-吾 元 (2)由c=V5a,则sinC=2snA,则sin4-smC_sn 3v6 24 由c=V2a,则A<C,故cosA>0,则cosA= 6)月 v10 4 cos(24-C)=cos2A4cosC+sin 2AsinC=(2cos24-1).cosC+2sinAcos.AsinC 442=8 b c 22 46 (3)sinA sin B sinC 33, 2 3 sin 4.4V6 则ab=4v6 3 sinB=323 ×-=4, 38 c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-4=8,则a+b2=12, 又c7-@+c函)， 则c=++2cac网cosc46+a+ab), =402+4)=4,故C7=2 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D为线段AC的中点，A,C满足 (sinA-sinC)=sin(+C)-sinAsinC. (I)求B: (②)若△ABC的面积为V5,b=3,求中线BD的长. 【答案】(1)B=60° 2 2 23/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)因为A+B+C=元，所以，sinA-2 sinAsinC+sinC=sin°（π-B)-sin4sinC 又因为 b sinA sinB sinc 所以，a2-2ac+c2=b2-ac,得b2=a2+c2-ac, 所以，由余弦定理得cosB=+c-b-ac_1 2ac 2ac2' 又B为三角形内角， 所以，B=60 (2)因为△ABC的面积为5，b=V13,B=60°， 所以，csnB=5,所以ac=4,又a+c-+c=17, 因为BD为△ABC的中线，所以，BD=)(⑧A+BC), 所以D-e++ao-7-24} 21 所以网阿 19.在锐角△ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知a=5且 sin2B+sin2C-sin24=sin BsinC. (1)求角A: (2)求△ABC周长的取值范围； (3)求边BC上的中线AD的取值范围. 【答案】①4-号 (2)3+V3,3V3 4D( 【分析】 【详解】(1)因为sinB+sinC-sin2A=sin BsinC, 由正弦定理得，b2+c2-a2=bc, 又由余花定里有，mA纸气行故4 3 a b (2)由正弦定理得 sin A sin B-sinc=2, C 24/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2π 3 b+c=2(sin B+sin C)=2 sin B+sin B 3 2 cosB =+ 6 0<B< 2 又因为△ABC是锐角三角形，故 解得B< 2 0<C= 2元-B<2 ∴.b+c∈3,2V3∴.a+b+c∈3+V3,3V3， :aABC周长的取值范围为(3+V3,33. ③)由余弦定理得，cos4+c-a=6603-即b+c=bc+3一 2bc 2AD=AB+AC,两边平方得4|ADAB+|ACP+2AB·AC=b+c2+bc=2bc+3. b :a=V3 由正弦定理可知，inBsinc=sin店=2，故6=2m:c=2mc, 2 因此2c+38s8smC+3=8nBsm答-到+3=8snBC9csB+na+3 3 -45sin BcosB+4sinB.25sin2B-2602B5 2 =4(sin2B.- 3 cos2B+5=4sin(2B-+5 6 0<B<元 2 又因为△ABC是锐角三角形，故 0<c= ,解得刀<B< 3π-B< 6 2 2 故2B-e(径及，sn(2B-3e(5l,4sn2B-3+5e(a,9, 666 6 6 即4ADF∈7，，则AD∈. 20.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=V3,2V3cosC=2a-c (1)求角B; (2)若a+c=2,D是AC上的点，BD平分∠ABC,求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 【答案】()3 25/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 of 53 322 【分析】 【详解】(1)已知25c0sC=2a-c,由余弦定理可得254+6-c =2a-c, 2ab 因为6=5，代入25a+c=2a-c中，得+6-c =2a-c,化简得a2+c2-b2=ac, 2ab a 则cosB=a+c-b-,因为B∈(0，，所以B= 2ac-2 3 3,b=V3,由余弦定理得b=c2+a2-2 ac cos (2)B= 即3=c2+d-ac=(a+c)-3ac,又因为a+c=2,所以ac=3 由面积关系SMABC=SMABD+SABCD可得， csinsin 1 2 2a-BD.sinB B 2 13 所以acsn子=BD-(a+e小smg,即BD-5之-点 1 2*2 6 (3)因为E是4C的中点，所以酝=(+C), 则BE=（ A+2BAC+)=+a+ac)= +2ac 4 b 由正弦定理得，ac= -sin 4.- b -sinC=4sin AsinC=4sinAsin Sin B sin B -23in eos+sin2-co+2sin1 6月 因为AeI0,π，C=红-AE0,,所以4e0,} 3 所以2A-元∈元7π 6 6’6 所以m24, 所以ac=2si 24-1e(0引，所以E-3+2acc39 -E 4 (4'4 所以BE∈ 33 33 22 即边AC上的中线BE的取值范围为 22 题型5角平分线问题 26/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a+c b 21.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且snB+sinC+sin(B+C)snA· (1)求角B的大小： (②若b=37,AC边上的中线BM=M,求∠ABC的平分线BN的长. 2 【答案】()3 元 号 【分析】 a+c b 【详解】D由snB+sinc sin(B+Cmd'得a+C sinB+sinC sinA sin4' 所以a+e+-b,可得a+c-6-c, ,所以(a+c)a=(b+c)(b-c), b+c aa b+c a 所以b-c2=a+c,所以cosB=a+c-b-1， 2ac 2 又因为0<B<元，所以B=2π， 3: (2)若M为边4C上的中点，则BM={⑧+BC), 所以BM=4(BA+2BA-Bc+Bc）4(c+2 cacos.∠ABC+ar)4c-ca+a） 所以c2-ca+a2=4x13-13,又62-c=a+ac,所以37-c=a+ac, 所以c2+a2=25,ca=12,所以(c+a)=49,所以a+c=7 又SBM+Swc=SACB,且BN是∠ABC的平分线， 所以AB.BNsin.∠NBA+BC-BNsin.∠CBN=LBA·BCsin∠ABC, 所以。c×BN×sin n3+2 ax BNx sin元 2元 "3-2cx asin 2 元1 所以BN(a+e)ae,所以了aN-6,所以BN-号 22.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-b)cosC=c.cos B (1)求角C的大小： (2)若c=4,△ABC的面积为4vV5,求该三角形的周长 (3)若a=5,b=3,CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 【答案】0)C-骨 27/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)12 (3)cD=15V3 8 【分析】 【详解】(1)因为(2a-b)cosC=c.cosB, 由正弦定理得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB, 所以2 sinAcosC=sin BcosC+sinC cos B=sin(B+C), 因为A+B+C=元，所以2 sinAcosC=sin(B+C)=sinA, 因为4∈(0，)，sinA≠0，所以2cosC=1,即cosC=}, -2’ 又因为C∈(0，)，所以C=工 3 (2)由(1)知C=元， ，又△1BC的面积为45， 则absinC-1ab×5-4W5,可得b=16, 2 2 因为c=4,由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC, 得16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-3×16, 则(a+b)2=64,解得a+b=8, 所以△ABC的周长为a+b+c=8+4=12 (3)因为CD为∠ACB的平分线， 由(1)知C=于，则∠ACD=∠BCD= 61 又S△ABc=S△AcD+S△BcD, 则bsmc-动D0 6 又a=5,b=3, 所以x5x3x5-×3xcDx+x5xCDx 22 22 整理得2CD-155,所以CD=153 4 8 28/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B 23.在△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,且tanA=-V3 (1)求角A的大小： (2)若b+c2-a2+10b=0,S。8c=15V5 ①求边b的值； ②若∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长 【答案】（①）4=2红 3 2②①b=6;②4 【分析】 【详解】(1)amA=-3,:0<A<,A= 3 (2)①由余弦定理可得b2+c2-a2=2 bccosA=-bc, 又b2+c2-a2+10b=0,可得10b-bc=0,可得c=10, 又bcsind=b05角 4 所以bc=60,则b=6; ②由题意SABc=SABD+SAcD, 即bcsin 2π1 n元+b-AD sin3' 3-2e4Dsin3+ 所以AD=bc=60_15 b+c164 B D 24.△4BC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,己已知2 bcosC=aC -2ccosB. (1)求c; (②)若∠ACB=60°，AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB的平分线，求CD的长， 29/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)c=23 ②v6 【分析】 【详解】(1)因为2 bcosC=ac 5 -2ccosB, 由正弦定理可得2 sinBcosC-5 -csinA-2cosBsinC, 3 则2n(B+C9)-=年en4,又snB+C)=sn 所以2sn4= 3 csin4, 因为在△ABC中，sinA>0,所以c=2v5 (2)由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-ab,即有a2+b-ab=12①： 设M为AB的中点，即cM=2,又因为CM=C+CB), M D B 所以CM=C+CB°+2CA.CB,即a2+b+b=16②， 由①，②得：a2+b=14,ab=2, 所以(a+b)2=a°+b2+2ab=18,所以a+b=3V2. 因为CD为∠ACB的平分线，所以SAcD+SBCD=S。Ac, 则CD:sn30°±2a-CD:sin30°absn60 即cD=3ab=23_v6 a+b3v231 25.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(csinAcosB+sinB)=asinA-+csinC. (1)求b; 1,1 (②)设角B的平分线交4C于点D,且BD=1,求a十e+4ac的值. 30/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)2 1 1 (②(a+c 4ac 4 【分析】 【详解】(1)由2(csinAcosB+sinB)=asin4+csinC, 结合正弦定理得2(cacosB+b)=a2+c2, 整理得2b=a2+c2-2 accosB, 由余弦定理得2b=b2, 解得b=2. (2)如图，由题意得S△ABC=S△ABD+S△BCD, 即acsin∠ABC=lBD-csin∠1BC+BD·asin∠ABC 2 2 2 因为BD=1,mC￥0,5m∠A8C=2sn∠ABC、 2 2 代入化简得：2acos∠BC=a+c,即cas∠ABCa+c 2 2 2ac 由余弦定理得cos∠ABC-a+c-4,又因cos∠ABC=2cos:∠4BC-1, 2ac 2 则2cs∠48C-1=2a+e-1=。+c2-4, 2 2ac 2ac 整理可得(a+c)+4ac=ac(a+c), 1 4 两边同除以ac(a+ci,得ac+a+cl, 1 11 十 即(a+cy4ac4 题型6利用基本不等式求范围 26.已知a=（V3sinx,-cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=a.b. 31/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求函数f(x)的解析式及最小正周期； ②设△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若f(6)=号且b=5,求△BC周长E的最大值。 π)1 【答案】(1)解析式为f(x)=sin2x- 6厂2：最小正周期为元 (2)3V5 【分析】 【详解】(1)由a=V3sinx,-cosx),b=(cosx,cosx), 则/国=i6-nco-6osx-m2x-s2xl)=sn2x-a）- 6厂21 所以f()的最小正周期为T=2元 a)由r)-片即203即m26}-1 又B为△4BC的内角，则0<B<元，则-元<2B-元<11π 6 66 所以26名子，解得8 3, 又b=V5,由余弦定理有b2=a2+c2-2 ac cos B,得3=a+c2-ac,即(a+c)-3ac=3, 由均值不等式有(2空生八，则a-3(生)s3 即a+c≤3，即(a+c)s12,解得a+c≤25， 当且仅当a=c=V3时取等号，此时△ABC为等边三角形， 所以△ABC周长的最大值为a+b+c=2V5+V5=3v5. 己知函数fs三=3sin+，将f的图象向右平移)个单位，得到函数gc)的 12 (I)求g(x)的单调递减区间； ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若a号，g(4)=L,求△ABC面积的显 【答案】0名+红 +kc,k∈Z 3 48 32/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】（1)由f)=sinco-5snx+5-)n2x-V5.1-cas2s+5 2 2 =sin 2x+3 22 2c0s2, 所以f=2x+引则sem引m2x+ 令元+2≤2x+≤。+2阮，k∈Z,则+阮≤x3 62 6 kkZ, 3 所以函数g(x)的单调递减区间为 .kez 6 2由)可知：8)-m2x+引，又84)-1，所以sm24+}-1, 因为40列.所以24+君（后），所以24+g34 62 6 由a=5+c2cos4=b+c-2cosg-b+c-5c,a= 2 1 所以a2=b+c-V5c≥(2-5)bc,即bc≤，2 3有1+3，当且仪当bC时叹等号》 2 311,V5 1+ 2 224+8 28.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2+ab cosC=bccosA-+accos B+二ab 2 (1)求C (2)若c=6. (I)求△ABC周长的取值范围； (Ⅱ)求△ABC面积的最大值. 【答案10)C-号 (2)(I)(12,18]:(Ⅱ)9V5. 【分析】 【详解】(1)因为c2+ab cosC=bc cosA-+accosB+二ab,sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 所以由正弦定理得， sin C+sinAsinBcosC -sinBsinCeos4+sindsinCco+sindsinB =sinC sin(+B)+sin Asin B=sinCsin Asin B, 2 33/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 cosC-sin4snB,由4B.CE0x,得sin AsinB≠0，所以cosC 3 a b c 6 =4V3 (2)(I)由正弦定理得，sinA sin B sinC3 2 a=43sinA,b=43sin B=43sin(A+C)=4/3sin+ 3 △4c的周长=a-6c=64sm+n4-64小5m4+cs +号cosA6+12sm4+ 由4=-B-CB<，得40 3 所以△ABC的周长的取值范围为(12,18]. (Ⅱ)由余弦定理得c2=36=a2+b3-2 abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 所以ab≤36，当且仅当a=b=6时等号成立 所以8 binc5, 所以△ABC面积的最大值为9V3, 29.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且2sin°A+cos(B+C)=2sin2B+2sinC+cos(B-C). (1)求A; (②)若a=4,求△ABC外接圆的面积； (3)若ac cos B+abcosC=2b2+2c2-4,求△ABC面积的最大值. 【答案】0)4 、16元 23 (3)5 【分析】 【详解】(1)因为2sinA+cos(B+C)=2sinB+2sinC+cos(B-C), 整理可得sinA=sinB+sinC+sin BsinC, 由正弦定理可得a2=b2+c2+bc,即b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理可得cosA=b+c-a--bc。1 2bc 2bc-2' 34/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且A∈(0，)，所以A=2如 3 a 44 (2)由正弦定理可知△ABC的外接圆半径 2sin4 2x, 2 所以△4BC外接圆的面积为r'=16元 3 (3)因为ac cos B+ab cosC=2b2+2c2-4, 由余弦定理可得ac×+c-方+bx0+c-26+2c-4, 2ac 2ab 可得a2=2b2+2c2-4, 由(1)可得a2=b2+c2+bc,即2b2+2c2-4=b2+c2+bc, 整理可得b2+c2=4+bc, 且b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,解得bc≤4， 当且仅当b=c=2时，等号成立， 则sac-cm4 x4x5-5 Γ22 所以△ABC面积的最大值为N5 30.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，a=2N3且V3 asinC+acosC=b+c. (1)求A; (②)已知D是边BC的中点，求AD的最大值 【答案】04-号 (2)3 【分析】 【详解】【小题1】因为V5 asinC+acosC=b+c, 由正弦定理得：V3 sin AsinC+sinAcosC=sinB+sinC, 因为sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C,所以V3 sinAsinC=cosAsinC+sinC, 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,所以3sinA-cosA=1, 所以24-1,48- 6 因头40)，所以-<A-66’所以A-”. 6 66’所以A=” 3 35/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【小题2】因为os:t4-号，a=25,所以6+e-12+e 2bc 因为D是BC的中点，所以而-亚+西，所以而-号@+C+2孤40 4e2+b+2bcos4)462+c+io）42+2bc) 因为b2+c2≥2bc,所以12+bc≥2bc,即bc≤12， 所以40=42c+12)≤4(12+2x12)=9, 当且仅当b=c时，等号成立，所以AD的最大值为3. 题型7与角度有关的范围问题 31,在①(b+a)(b-a=ac;②(a+b+c)(a-b+c)=4 accos"A;③a+c=2 bcosA这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并作答.己知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,，c,且_ (1)证明：B=2A; ②)若△1BC是锐角三角形，求】+1。的取值范围 tan tanB 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1)证明见解析 3 ,3 【分析】 【详解】(1)选①，由(b+a)(b-a=ac可得b2-a2=ac,即b2=a+ac, 因为b2=a2+c2-2 ac cos B,所以a2+c2-2 ac cos B=a2+ac, 化简可得c2-2 accos B=ac,即c-2 a cos B=a, 由正弦定理可得sinC-2 sinAcos B=sinA, 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A)=sinA, 所以B-A=A或B-A+A=B=π（舍去）， 所以B=2A; 选②，由(a+b+c)(a-b+c)=4 accos°A可得(a+c)-b=4 ac cos2A, a2+c2-b2 4accos2 A-2ac, 36/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为a2+c2-b2=2 ac cos B,所以2 ac cos B=4 ac cos2A-2ac, cos B =2cos2 4-1=cos24, 因为y=cosx在(0，π)上单调递减，所以B=2A; 选③，由余弦定理可得cos4=6+c-a 2bc 所以a+c=2 bcosA=6+c2-a ,即b2=a2+ac, 因为b2=a2+c2-2 ac cos B,所以a2+c2-2 ac cos B=a+ac, 化简可得c2-2 accos B=ac,即c-2 a cos B=a, 由正弦定理可得snC-2 sinAcos B=sinA, 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos AsinB, 所以cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A)=sinA, 所以B-A=A或B-A+A=B=元（舍去）， 所以B=2A; (2)△ABC是锐角三角形， 0<A<元 2 则0<B=2A< 2 ,所以工<A< 6 4 0<C=元-A-B< 2 1 1 cosA cos B sin BcosA+sin Acos B sin(A+B) tan 4 tan B sin 4 sin B sin Asin B sin Asin B sin(π-C) sinC _sin(π-3A_sin3A sin Asin B sin Asin B sin Asin 24 sin Asin 24 sin(A+24)sin Acos24+cos Asin24 cos24,cosA sinAsin24 sinAsin 2A4 sin24 sinA cos 4-sin4 cos41-tan4 1 31 -tan 4, 2sin AcosA sinA 2tanA tanA 2tanA 2 令t=t∈同，则f0=- tanA' 22t 因为y=在区间)单调递增，y=-在区间(V3)单调递增。 2t 所以f()在区间(1,3)上单调递增， 所以f()e1 4v3 即 1 1 14v5 3 tanA tan B 3 37/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 32.设△4BC的内角A,B,C所对边分别为ab,c,B≠元且sin(B-A)+cosB=sinC. 2 (I)若a=2,△ABC的面积为N5,求△ABC的周长； (2)若△ABC为锐角三角形，求cosB+V3cosC的取值范围. 【答案】(1)4+25 13 222 【分析】 【详解】(1)△ABC中，A+B+C=π，所以sinC=sin(π-(A+B)=sin(A+B): sin(B-A)+cosB=sinC,sin Bcos 4-cos Bsin A+cosB sin Acos B+cos Asin B, 整理得cosB(1-2sinA)=0 2,所以coB≠0，则1-2mA=0,所以sinA= 又B≠ 1 由三角形面积公武得3ecm4c=5,所以6c=4小5 由余弦定理得a2=b+c2-2 be cos A=(b+c)-(2+V3)bc=(b+c)°-(85+12)， 所以(b+c)=83+12+4=(2+25,所以b+c=2+2V5 故△ABC的周长为a+b+c=2+2+2V3=4+2V3 (2)cosB+3cosC =cosB+3cos 5B=cosB+cosB+sinBcoB-c 6 2 osB+3 -sin B 2 2snB=sinB-T） 6 2,因为△1BC为锐角三角形，所以A=工 1 由(1)得，sinA= 6 所以B+C-,则C=B, 6 0<B<2 所以 0<C= 5 元 3 6 63 6 -B< 2 又y=sinx在0 不上单调递增，所以)snB元，3 2)1 62 38/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1V3 故cosB+V3cosC的取值范围为 2’2 33.在锐角△4BC中，ab,c分别为内角4B,C的对边，满足AC.AB=b-1b (1)求角C的大小： (2)求sinA+sinB的取值范围. 【答案】0)C=写 @gv 【分析】 【详解】（1)在A4BC中，由4c.征=6-a的，得6cco4=-b,即cao1=b 39, 由正弦定理得inC4=sinB2in4=sin(4+C)-2sn4=sm4cosC+cos4,sinC- -sinA, 1 0sn4cosC=2n4,而sn4>0,则cosC=),又C∈0.m】 所以C-骨 0<A<元 2 ②)由①得A+B=,由锐角aABC,得 2元 6 2 0< 3 2 因此sinA+sinB=sinA+sin 2-0=sn4+5cos4+sn4=3sn4+5 2 os4=V3sin(+), 2 6 由A+(2),得5 6 3’3 n4+名s1,即n4+ge(店， 2 6 所以sin4+sinB的范围是(. 34.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ac0sB+bc0s4=2 csinc (1)求角C; (2)求sin4+sinB+sinC的取值范围. 【答案】()C= 3 3+V33w5 2,2 【分析】 【详解】(1)由正弦定理，a=2 RsinA,b=2 Rsin B,c=2 RsinC可得： 39/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 acos B+bcos A=2R(sin Acos B+sin B cos A)=2Rsin(A+B)=2Rsin(-C), 又acosB+bcosA= 2 3 sinC, 所以2Rnx-09=2nnC行2RsmC5nC,因为mC+0. 化简可得：sinc=3, 2 因为△4BC是锐角三角形，Ce(0孕， 故C= 3 2由C-骨得4+8=经即8=行4 3 3 0<B=2T-A<不 3 2 因为△4C是锐角三角形，所以0<A<号 解得刀<A< 6 2’ m+m6-m-m4:m(子小月 2 CCos13=>sindty3 22 54+5-sn4+}+5 2 +62 代入得： 35m4}5 2 2 3+v33v5 因此sinA+sinB+sinC的取值范围为 2,2 35.如图，△1BC中，角4，B,C的对边分别为0，，c,C=号2a=36,点D在BC延长线上. 40/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)若a=3,∠ACB的角平分线交AB于点E,求线段CE的长； (2)求sin∠ADC+sin∠CAD的取值范围. 【答案】)cz=65 5 【详解】(1)如图： 因为S△A8c=S△4cg+S△Bcs,又a=3,则b=2, 所以号434 i爱+5 sin 解得cE=6v5 5 (2)因为D在BC的延长线上，故∠ADC+∠CAD=元 所以sin∠ADC+sin∠CAD=sin∠ADC+sin -∠ADC 3 =sin∠ADC+5。os 3cos∠ADC-1sin∠ADC 2 2 2sin∠ADc+V5 cos∠ADC=sin∠ADC+ 3/ 因为∠ADC∈0,3 所以4c骨）得40c+引e91. 3 所以sin∠ADC+sin∠CAD的取值范围为 题型8化边为角的范围问题 36.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=6,V5 a cosC+asinC=V5b. (1)求角A的大小： (2)若AD平分∠BAC交BC于D,且AD=1,求BC边上的高； (3)若△ABC为锐角三角形，E为边BC的中点，求中线AE长度的取值范围， 41/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】04骨 四号 143v2 622 【分析】 【详解】(l)由正弦定理得√3 sinAcosC+sin AsinC=v3sinB sin B=sin[-(+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos AsinC, 3sin AcosC+sin AsinC=v3 sin Acos C+3 cos AsinC, 所以sinAsinC=V3 cosAsinC, 因为sinC≠0，所以sinA=V3cosA,即tanA=V3, 又4@动所以4=骨 (2)因为AD平分∠BAC交BC于D,所以∠BAD=∠CAD=T 6 π1 又Saac=Sa8D+SacD,即号xb×exsin 3~2文c×1×sin元+三×b×1×sin7 62 化简得3bc=b+c. 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-bc,即b2+c2-bc=6, 所以6=(b+c)2-3bc=3bc)2-3bc,解得bc=2. 又besinA=)oh,所以h-besin4_ xsin 2 32, a V6 2 所以BC边上的高为2 2 (3》因为E为边BC的中点，所以征=号〔B+AC, 所以=号E+aC+2丽aC)e++b9)6+bc+bg-c, 22 b c。6n-2万，所以6=22snB,c=25smC: 由正弦定理得sinB sinc sin 3 所正22622C4m6snC+6mBmB不 2 3 42/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 sin sinBcoscos 元 元3 +2sin2 B+2v3 sin B cos B 3 3 3 ∠·下一X7+之 2 5sm2B-cos28-2sm2B君 2 0<B<π 2 因为△ABC为锐角三角形，所以 0G2B元即。元 6 3 2 所以g28-，所以m2B引}1， 所以7<4E=+2sn2B-s9 2 -所以9 2 V143V2 所以中线AE长度的取值范围是 2,2 37.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sinC+V3cosC=a,b=V5 (1)求角B: (2②若△ABC的面积为V ,求a+c的值； 4 (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 【答案】0B=号 (2)a+c=V6 V53V5 62,4 【分析】 【详解】(1)由正弦定理得a=bsn4 sin B 由sinC+V5cosC=a及b=V5,得sinC+cosC=b 5 snA= nB Esin BsinC+3sin B cosC=3sinA, 因为sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC, sin Bsin C+3 sin B cosC=3sin Bcos C+3 cos BsinC, 所以sin BsinC=V3 cos BsinC,因为C∈(0，π)，sinC≠0， 所以sinB=V5cosB,所以tanB=V3, 43/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为BeQ列，所以B-子： (2》由余弦定理得6=a+e-2 co,即3=d+c2-2acos写，所以a+e2-ac=3 又△ABC的面积为S=acsin B=acsn-5,所以ac=1 2 2 34 所以(a+c)=a2+c2+2ac=3+3x1=6,所以a+c=V6; 3》由1知8-行6=5，则2R=ACb。5-2 sinA sinc sinB sin 3 所以a=2sm4,c=2snC,所以Se号esn5A2sn4.2 2sinc8m4sn4+☒ 4 4 42 0<A<2 由 ,得刀<A< π 0<C-2-A< π 6 2 3 2 所以2A+T∈2n4r) 3(33 所以m24+[1-》 所以55 242 所以△ABC面积的取值范围是 53V3 24 38.已知锐角三角形△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,C,且满足 b tan B cosC+csin B=2atan Bcos A. (1)求角A; (2)若c=1,求△ABC面积的取值范围； ③)求2办+c的取值范围 bc 【答案】四写 33 ②82 44/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 o 【分析】 【详解】(1)因为tan B cosC+csin B=2 a tan BcosA, 所以bcosC+csinB.cosB sin B =2acos A, 即bcosC+ccosB=2 acosA,所以a=2 acosA, 即cosA=1, 因为A是锐角，所以4=号 (2)因为c=1, 无-5b 所以S=x bxIxsin 34 <B月 因为 ,解得工<B< 0<C= 6 2 1×sinB b=- 由正弦定理可得 (2-B sin (3 因为sin 2 3 -B -cos B+sin B, 2 所以= sin B v3 1 cosB+二sinB 3 2 +1 2 tan B 下2，可知 由T<B<元， 6 3<tanB,所以0< 3 3 tanB 所以}b<2,所以s=56e55 4 8’2 （3)由26+c-2为+，可设1=>0)， bc c b 则f()=2+1, b sin B 由正弦定理， c (2-B sin (3 5+11 tan B 45/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由对勾函数的单调性知，f(t)在 12 2’2 上单调递减， 在2 2上单调递增， 所以当t=】 ,f0f-2=w5 所以25≤10号即2°的取值范周为25》 9 bc 39.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-V3 bsinC-bcosC=0. (1)求B; (2)若c=2V3a,且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积； 间若D为边，4B上一点，且∠4C0-号求0的装大独 AD 【答案】08-君 月 14 3号 【分析】 【详解】(1)因为a-√5 bsinC-bcosC=0,由正弦定理可得sin4-V5 sinBsinC-sinBcosC=0, 又A=π-(B+C),则sinA=sin(B+C), sinBcosC+cosBsinC-V3sinBsinC-sinBcosC=0, 即sinc (cosB-V3sinB=0,又0<C<元，则sinC≠0， 所以cosB-V3sinB=0, 所以anB=5,由0<B<元，得B= 3 （2)由b=2R=2,得6=1， sinB 由6=a+c-2acoB,得1=a2+12a-2a2v5a5,可得a=号 2 71 所以w方aomd-号2idsn8-语 2×7-14 46/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)因为8-名∠4CD- 61 所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=元-A-工-元- -A, 623 BD 在△BCD中，由正弦定理得 CD,所以BD=2 CDsin sin∠BCD sinB A】 3 又在△ACD中，AD=CD sinA 所以 =2sinAsin AD -m-sm4-5m24+o24-}如24r君引2 2 因为BD>0,所以4e(0写， 当2A+工=元即A=下时， 62 6 的最大值为}， BD AD 知高考·真题探源 cos(4+C)+sin4sinc=1. 3 1.(2026全国二卷·高考真题)在△ABC中，已知cosB= (1)证明：△ABC为钝角三角形； (2②)若△ABC的面积为万， 求△ABC的周长. 4 【答案】（①i证明：由A+B+C=元，则c0s(4+C=-cosB=-3 4 又cas1+C+sm4snC-1,海，2+sn4snC=1,则m4snC-7 16 3 由两角和的余弦公式，cos(A+C)=cos4cosC-sinAsinC=- 4 结合sin4sinC=乙可知cos4cosC:-5<0, 16 16 则cosA,cosC异号，必然一个为负，一个为正 又A,C∈(0，)，即A,C中必有一个是钝角； (2)3+V2 【分析】 【详解】(1)略 (2)方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， 47/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 S.ab sinC=(2Rsin A)(2Rsin B)sinC=2R'sin Asin B sinC, (R是△ABC外接圆半径) 7 3 又sinAsinC= ,，snB= 5,则5=2R.77,解得R=24, 16 4 4 4 64 7 又sinB=V7 L,则b=2 Rsin B=2, 4 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B,即a+c2-3。 2ac=2, ,则ac=2, 8 4 于是a2+c-3aG 2c=2,即a2+c=5, (a+c)2=a2+2ac+c2=9,解得a+c=3, 故△ABC周长为(a+c)+b=3+V2 方法二：由cos(A+C)+sin4sinC=1,则cos2B+sin AsinC=1, Esin AsinC=1-cos2B=sin2B, 由正弦定理可得，ac=b, 由三角形面积公式，SAc= acsin B-acx7 1 2 x4=4 得到ac=2,则b=V2,其余同上 2.(2025·上海·高考真题)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c=5. 0若品册c- 2’求a; (2)若ab=20,求△ABC的面积的最大值. 【答案】(1)a=2v5 255 4 【分析】 【详解】(1)由正弦定理可得0s1nB,即a=26, 4b sinA a 又C-子所以a+b=c=25,即56=25，解得6-5， 所以a=25 48/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)因为S.A8c=7 ab sinC=10sinC，且ab=20,c=5, 2 所以cosC=a+b°-c22ab-253 ,当且仅当a=b=2V5时等号成立， 2ab 2ab 8 当cosC取最小值时，sinC取最大值，最大值(sinC)mx=、 V55 8 8 所以△ABC的面积的最大值为5V5 4 3.(2024新课标I卷·高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 sinA+v3 cos 4=2. (1)求A. (2)若a=2,V2 bsinC=csin2B,求△ABC的周长.。 【答案】()A= 6 (2)2+V6+3v2 【分析】 【详解】(1)方法一：常规方法（辅助角公式） sin4+N3cosA=2可得sm.4月 2cosA=1,即sin(A+=1, 31 由于4e@网p4骨e停学，故4+骨至解得4-君 3 6 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由sinA+v3cosA=2,又sinA+cos2A=1,消去sinA得到： 4cosA-4v5c0s4+3=0台(2cosA-V=0,解得cosA= 2 又4∈(0，)，故A= 6 方法三：利用极值点求解 元 设f)=sinx+5cos0<x<利，则f)=2sinx+30<x<, 显然x=兀时，fw)mm=2,注意到f(4A)=sinA+V5cosA=2=2sin(A+), f(x)mx=f(A),在开区间(0，)上取到最大值，于是x=A必定是极值点， 即f4=0=cosA-3smA,即tanA=5, 3 49/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又A∈(0，)，故A=刀 6 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设a=1,v3),b=(sinA,cos),由题意，a.b=sinA+V3cosA=2, 根据向量的数量积公式，a.balb1cos(a,b)=2cos(a,b), 则2cosa,b=2台cosa,b=1,此时a,b=0,即a,b同向共线， 根据向量共线条件，1-c0sA=V3sinA台anA=5 3 又A∈(0，)，故A= 6 方法五：利用万能公式求解 设f=an2,振据万能公式，sin4+5cosA=2=,2+V30-户， A 1+t21+t 整理可得，t2-2(2-V3)t+(2-V3)2=0=(t-(2-V3)2, 解得an=t=2-V5,根据二倍角公式，tanA=」 2t3 =1-=3 又A∈(0，)，故A= 6 (2)由题设条件和正弦定理 26sinC=csin 2B2sin BsinC=2sin C sin B cos B, 又B,C∈0，，则sin BsinC≠0，进而cosB=5,得到B=, 2 4 于是C=元-A-B=7m, 12’ sinC=sin(-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A= v2+V6 4 2 b a b C 由正弦定理可得， 7π， sin=sinB sinc'sin 6 sind sin 12 解得b=2V2,c=6+V2, 故△ABC的周长为2+N6+3V2 4.(2023·全国乙卷·高考真题)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2,AC=1. (1)求s1n∠ABC: (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积. 50/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】（①）V21 14 ②3 10 【分析】 【详解】(1)由余弦定理可得： BC2=a2=b2+c2-2bccosA =4+1-2×2×1×c0s120°=7， 则BC=V7,cosB=a+c-b°-7+4-1-5V7 2ac2×2xV714 ,25_V21 sin LABC=v1-cosB=11-28=-14 (2)由三角形面积公式可得S△42=2 AB×AD×sin90 三4， S△ACD 2×4AC×AD×sin30: 11 52 ×2×1×sin120 5 10 5.(2022天津·高考真题)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c.已知 a=v6,b=2c,cosA=- 1 4 (1)求c的值； (2)求sinB的值； (3)求sin(2A-B)的值 【答案】(1)c=1 (2)sin B=10 (3)sin(2A-B)=V 8 【分析】 【详解】(1)因为a=b+c2-2bc0sA,即6=b+c2+bc,而b=2c,代入得6=4c+c+c,解得： c=1. (2)由(1)可求出b=2,而0<A<元，所以sinA=-cosA=5,又a,=b 4’ sin4 sinB'所以 51/68 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin B=bsinA 2xi5 4 v10 a 6 4 (3)因为c0s4=-」 所以牙4<元，故0<B<行，又mA=McsA=小 所以 2 4 sin 2A=2sin Acos A=2x -1155,c0s2A=2cosA-1=2x-1E7 44 16 名，而snB=0,所以 4 cos B=1-sinB=6 4 sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= V156,710V10 8 4848 6. (2022新高考全国I卷·高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos4 sin 2B 1+sinA 1+cos 2B 0若C=2,求B: 2求“+6的最小值。 【答案】0： (2)4v2-5. 【分析】 【详解】(1)方法一：直接法 cos4 sin 2B 可得cos4cos2B+cosA=sin2B+sin Asin2B, 1+sinA 1+cos 2B cos Acos 2B-sin Asin2B+cos 4=sin 2B,cos(A+2B)+cos A=sin 2B, 注意到A+B骨于是co(胥+的+co行)-sm2B, 1 展开可得2c0s3cosB=2 sin B cosB,则simB2 又0<B<?，B=π】 6 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为7cosA-,sim2B=2 sin BeosB_sinB 1+sin 4 1+cos2B 2cos-B cos B' 1 Esin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cosC=- 、而O<B≤5，所以2刀 6: 52/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方法三：导数同构法 coS -2B 根据cosA sin 2B cos4 2 可知， 1+sinA 1+cos2B 1+sinA 1+s1n /兀-2B 设f()=1+sinx 0r0<x<2,f'(9=n9-cosX <0 (1+sinx)2 1+sinx cos4 则f(x)在0， 上单调递减， -2B 、 1+sin 4 1+sin 2 故A+2B=T 结合A+B= 3 解得B=π 6 方法四：恒等变换化简 A A cos4 sin 2B cos24 -sin2 4 2sin B cos B COS 2 2 -s1n 2 =tan B 1+sin 4 1+cos2B +sin A 2cos-B CoS 2 c0 -sin 2 1-tan4 πA =tanB台tan tan B, A 1+tan （42 2 结合正切函数的单调性，灭4=B,则A+2B=, 42 3, 结合A+B= 解得B=π 6 (2)由(1)知，simB=-cosC>0,所以元<C<元0<B< 21 而aB-sC=如C-引 所以c-+8,即有4受2，所以B0}c(经 所以由正弦定理得0+6_sin4+sin'B0s22B+1-cos°B sin'C cos-B (2cos2B-1)°+1-cos2B =4cos2 B+ -5≥2V8-5=4V2-5. cosB cos2B 当且仅当cos2B= 5时取等号，所以+ 的最小值为4v2-5. c 练好题·提分培优 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,己知V3 asinB=bcos4+b, 53/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求A: (2)若a=7,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC最 长边上高线的长 条件①：snC条件②：△BC的面积为10N3:条件O：6D 【答案】(1) π 3 (2) 选条件①时高线长为5y5,选条件②时高线长为55，条件③对应的三角形不存在 【分析】 【详解】(1) a b =2R,∴.a=2Rsin4,b=2 RsinB,∴.V3×2Rsin4sinB=2 RsinBcosA+2 RsinB, sinA sinB :B∈(0，元).sinB≠0，∴.V3sin4=cos4+l,V3sin4-cos4=1, 银据辅期角公式可得24君)-1m4君)}：4(@列小A-名名4号 3 (2)选择条件①sinc53,a=7,A=3，由正弦定理”=C 14 sinA sinc,代入得c=5, 由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA,得49=b2+25-5b,解得b=8(负值舍掉)， b边最长设其商线是△，所以csn1=的，代入得×8×59n行×8xh,解得h=5y5 2 32 选择条件②，由面积公式S=Lbcsin4=5bc=10vN5,得c=40, 2 4 由余弦定理a2=b+c2-2bcc0sA,得49=b+c2-40,即b+c2=89, 联立得化或伦两种情况最长边均为8，面积均为105， 故最长边上的高h=2S_5V5 82 选条件国，由正弦定理ab。-c=2R得snB=sim4_5y31. sinA sin B sinC 不符合三角函数值域，故△ABC不存在. 2.已知函数)=mx+君司 (1)讨论f(x)在区间[0，π上的单调性： ②在锐角△ABC中，角4，B,C的对边分别为，，c,若fA)=5,a=V5,求△BC周长的最大 2 54/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值. 【答案】(1)递增区间0， 递减区间 5π11π 12’12 (2)3V5 【分析】 【详解】(1)由题意得 sinxcos+sin cosx= sinsinwcoin2 3 1 f(x)=sir· 1 6 6 -cOs 2x+V3 1 4 42sn2-元）+5 -3+4 令2x-元=t,当x∈[0，列时，t∈ π5π 3 3’3 32即xe0 元π 当t∈ 元 12 时，snt单调递增，f(x)单调递增； 当t∈ π3π [5元11π 1212 时，sint单调递减，f(x)单调递减； 当te 3m5π 23 即xe 12,元时，单调递增，f)单调递塔 2)f4)=5 33,即4= 4》2-司24 :a=V5,.3=b+c2-bc=(b+c)-36c, 由基本不等式得3≥6+e-3色9-位+c,解得6+es25, 2 4 当且仅当b=c=V5时等号成立， 此时△ABC为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为3√5 3.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+V3 asinC-b-c=0 (1)求A; (2)若a=2,且△ABC的面积为V5,求b,c. 【答案】0A=骨 (2)b=c=2 【分析】 55/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)由acosC+3 asinC=b+c, 结合正弦定理可得sinAcosC+V3sin4sinC=sin(A+C)+sinC, 展开右侧三角式得sinAcosC+cosAsinC+sinC, 消去同类项后化简为V3sin4-cos4=1, 整理得2c0sA+ =-1, 3 由0<1<元，得A+2,解得4= 33 3 (2)由三角形面积公式号besin4=V5, 代入sin元=V3,得bc=4, 32 由余弦定理a2=b+c2-2bcc0sA, .元1 代入a=2、cos32,得6+c=8, (bc=4 联立 b+c2=8'解得b=c=2】 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知a>c,a2+c2-b2=ac,a+c=6,S.ABc=23 (I)求角B; (2)求a,c,b的值； (3)若BD为∠ABC的平分线，且D在边AC上，求BD的长. 【答案】(1)B=60 (2)a=4,c=2,b=23 (6③)BD=4V3 3 【分析】 【详解】(1)由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B,即a2+c2-b2=2 ac cos B. 又由题设a+c2-b=ac,则得2 ac cos B=ac 即casB-因8e(0180,则8=6 2》由sm-ain8-5。 4 c=2V5,可得ac=8, 又a+c=6,则可将a,c看成方程2-6u+8=0的两个根， 56/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得u=2或u=4.由于a>c,所以a=4,c=2 再由余弦定理，b=a2+c2-2acc0sB=16+4-2x4×2×-12, 则b=25 (3)因为∠ABC=60°，BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=30°， 又SABc=SABD+S4CD, 则7 e.BD-sin30°+7aBD·sin30°=2V5, 则BD=8V5-83_4v5 a+c 6 3 5.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C,己知a=2,ABAC=aC+BA·BC. (1)求证：B=2A; (2)若d为△ABC的AB边上的高，求b+4v3d的取值范围. 【答案】(I)由AB.AC=aC+BA.BC得bccosA=ac+accosB, 两边同时约去c,并由正弦定理得：sinBcosA=sinA+sinAcosB, 所以sinBcosA-sinAcosB=sinA,即sin(B-A)=sinA 在△ABC中，因为A,C为内角，所以B-A=A,或B-A=π-A 若B-A=元-A,则B=π（舍去）. 故B-A=A,即B=2A.证毕 (2)(16,24 【分析】 【详解】(1)略 (2)由(1)知B=2A,由正弦定理得，b=asinB-sin2 sinA sinA =2 acosA=4cos4，又d=asinB=2sin2A, 所以+4w5d-16cos4+8v8n24=8+8eo24+n2刘-8+16sn24+君) 由三角形内角A,B,C均为正数，即A>0,B=2A>0,C=元-3A>0,解得A∈0 3 57/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以24后，m24引 所以b2+4v3d∈(16,24 C中，A=X,AB=2,AC=4,D为4C的中点，E,F分别在边AB,BC上， 3 (I)若DE=5,CF=FB,求2的值； (2)求DEF面积的最小值， 【答案】(1)2 (2)6-3v5 【分析】 【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·4C.cos4=2+4-2×2×4 1二12， 解得BC=25,所以AB+BC=4C,则B=,C= -6 sin∠4 D sin4冫所以sin/AED=sn42,3 在△ADE中，由正弦定理得。D三DE 2=1 DE 3 即∠AD-子，则∠ADE- 6 因为∠4Dr-∠4DE+∠BDr-吞胥子所以<CDr-号 在R△CDF中，CF=CD-45,则BF=BC-CF=2N5 cosC 3 3 又CF=FB,所以=2. (2)设∠ADE=6,0∈0，， 13 则∠AED=2T-6,∠CDF=2T-6,∠DFC=T+8, 3 3 6 在△MADE中，由正弦定理得DE sin4 sin乙AED,整理得DE= AD 5 2 sin -0 3 在△CDF中，由正弦定理得DP CD DF= 整理得 元 sinC sin∠CFD sin+ (6 则Ss号DE-DF-sn∠BDF 1 -X 4 sin2元-日sn + 6 。3,1 58/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以mom+ 6 +)sin2×π）=2+5 max 42 4 4 313 所以8e-42+52+56-35 4 A D B F 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(sin4,sinB),n=(cosB,cosA),且 m.n=sin2C. (1)求角C的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，c=V3,求a+b的取值范围； (3)设△ABC的面积为√5，AB边上的中线CD长为2，求c的长. 【答案】0C-骨 ②(3,23 (3)c=2N2 【分析】 【详解】(1)由题意m,n=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC, 又m·n=sin2C,所以sinC=sin2C. 又C∈(0，元，所以C=2C或C+2C=元，所以C (2)因为C=元， ’c=V5, a b 由正弦定理得：sn4 sinB sinc sin =2,a=2sinA,b=2sinB. 32 易知B=元-A-T-2T-A, 33 所以a+b-2m4+2am答-m4ad-2m4引 59/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0<A< 因为△ABC为锐角三角形，所以 2 ,解得<4<牙 0< 2 所以写4+君子所以 <sin4+s1,3<2sin4+s23. 3 6 6 所以a+b的取值范围是(3,23. (3)由题意知，S=1 absinC=3ab=V5,所以ab=4. 4 因为D为AB中点，所以CD=CA+C网， 两边平方得：4=（仍+a2+2 abcosC), 代入并整理：a2+b=12, 由余弦定理：c2=a2+b-2 abcos元=a2+b-ab=8, 3 所以c=2√2. 8.△4BC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足，1+ 23 tan4 tanB tanC' (1)求证：a2+2b2=3c2: (2)当角C取得最大值时，△ABC的面积为V4,求a. 【答案】(1)证明见解析 (2)a=V6 【分析】 12 3 【详解】(1)由 tan4TmD=m云，可得兰+0s5一3c0sC sinA sinB sinC 由正弦定理可得os4+2c0sB3c0sC b bccosA+2accosB 3abcosC. 由余弦定理可得)(6+c-a)+(a+c2-b)=(a+b2-c) 化简得a2+2b2=3c2. (2)因为角C取得最大值，所以A,B为锐角，tanA>0,tanB>0, 因为，1+2.3 an4 nB=anc,所以，+，2 an4anB0,所以、3 20 tanc 所以tanC>0,所以C为锐角， 60/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则--+6o+26） 2, 2ab 2ab 2ab 3 鸟且仅当号Qb即b=V2a时取等号 此时c最大，且sinC=V 3 所以S.uc=absinc=y2 .7-4. 2 2 3 解得a=v6. 9.在锐角△1BC中，角AB,C所对的边分别为a,bc,满足a-b=c-b。 ,且a=2. sinC sin+sin B (I)若⊙0为△ABC的外接圆，求⊙O的半径R; (2)求锐角△ABC周长1的取值范围. 【答案】()25 3 (2)(2+2N5,6 【分析】 【详解】(1)由正弦定理原式Q-b=,c-b sinC sinA+sinB 可化为：a-b=c-b c a+b 整理得：a2-b2=c2-bc, 即b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 由余弦定理coSA= 代入得cosA= bc 1 2bc 2bc21 因为△BC是锐角三角形，故4=子 由正弦定理可得2R=0, 24V3 sinA 33, 2 所以O0的半径R为25， 3 (2)由1)得A=子则B+C=受 3 即sinC=sin 2红-B= cosB+IsinB, 3 2 由正弦定理可知b-asnB4 sin4 3 sinB,c=asinc 4 61/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 所以b+c= 4 v3 (sinB+sinC)= sinB+3 osB+sinB sinB+ -cosB 2 4sinB 6: 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<行，0<，-B<元 2 2 则<B<死，<B+元沉 2’ 3 63 则sin 则a+b+c∈(2+25,6， 故△ABC的周长的取值范围为2+2V3,6: 10.己知三角形ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,且b=2, b+cc0sB=a,延长BC到点 D B D (1)若CD=3,求AD的长； (2)若∠B=2∠D,3BC=4CD,求AD的长. 【答案】(1)19 (22v39 5 【分析】 【详解 】()由b+cosB=a和正弦定碧，可得snB+5n∠4 CBcos/B-sn∠B1C, 因sin∠BAC=sin(∠B+∠ACB)=sin∠Bcos∠ACB+cosBsin∠ACB,代入可得，sin∠B=sin∠Bcos∠ACB, 因为sin∠B≠0，所以cos∠4CB=),由因0<∠4CB<元，所以∠ACB= 3 在△4CD中，CA=b=2,CD=3,∠ACD=元-元=2T, 33 由余弦定理，AD=CA+CD2-2CA-CDc0s∠ACD=2+3-2×2×3x 所以AD=V19 62/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)设∠D=x,则∠B=2,设BC=4t,则CD=3t. 4t 2 在△4BC中，∠BAC=27-2,由正弦定理，得 sin 2 (1), 3 sin 2m-2 3t 2 在△ACD中，∠C4D三x，由正弦定理，得snπ sina (2) -a 3 sin -a ① 4t 得 3 2 sina 由② 3t sin 2-20 sin2a 2, 3 sin -a 4 “(3 sina 整理得： 2sin 元 3 2sinacosa 3 a cos 可得3cos cosa→4coS=3 cosa+ -sina 3 -d 2 2c0s= V 55V5 2sin→tana= 2 又ax为锐角，所以sinx= 5v13 26 在a4CD中，由正弦定理，可得，AD AC sin∠4CD sin∠D 所以AD=AC 2sin 2r ·sin∠ACD= 3-5-2w39 sin∠D sina 5v13 5 26 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的面积为S,且4V3S=a2-b-c2. (I)求A的大小： (2)已知点D在BC边上，AD=d,且in∠BAD+sin∠CAD-3 ,证明：a=3d. b 2a 【答案】①4=6 5π (②)证明见解析 【分析】 【详解】(1)因为S=besinA,又4N5S=a2-6-c,所以4V5×besin.4=a-b2-c2, 23bcsin A=a2-b2-c2. 63/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccos A,即a2-b2-c2=-2 bccosA. 所以2N3 bcsinA=-2 bccos 4, 所以tanA= 5,又0<A<,所以4= 6 (2) B D 在△ABD中，由正弦定理得sin∠BAD_sinBsinB BD AD d 则sin∠BAD= BDsinB d 在a4CD中，由正弦定理得sin<CAD_sinC_sinC CD AD d 则sin∠CAD=CDsinc 因为sin∠BAD+sin∠CAD3 一十 b 2a 所以sin∠BAD+sin∠CAD_BDsinB CDsinc_3 b c bd _cd 2a 在△ABC中，由正弦定理得，a SmR4C SinR-sC即sn∠1C_sn6-snC 所以 1 BDsin B CDsinC BDsin.∠BAC+CDsin∠BAC_(BD+CD bd cd ad ad ad sn∠BAC=2=1, d 2d 1 3 所以2a2a,即a=3d. 12.在△BC中，内角4B,C的对边分别为a,bc,且满足acos B--b+c (32 (1)求角A的大小： (2②若△4BC为锐角三角形，且外接圆的半径为5，求b+c的取值范围 bc 【答案】04骨 2 【分析】 64/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】（)因为ocos分-》°，由正孩定理可得2nosB- 3 sinB+sinC sinA(cosB+3sinB)=sinB+sinC,sinAcosB+3sinAsinB=sinB+sinC, 又因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, sinAcosB+3sinAsinB sinB+sin Acos B+cos Asin B, 3sinAsinB-cosAsinB=sinB, 且分ca列，则smg=0,即、6n4-cas=1,可得4-君)- 又因为A∈(0，)，则A-灭∈元5远） 6(66 可得A-工=元，所以A= 66 3 (2)由正弦定理得a=6=c =2V3,则a=3,b=2√5sinB,c=2V5sinC, sinA sinB sinc 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos4得9=b2+c2-bc,即b3+c2=9+bc, 可得+c_9+bc-1+ 9 bcbc bc 又因为bc=12 sinBsinC=12 sinBsin(A+B)=12sinB 3 cosB+ 2 =6v3 sin Bcos B+6sin2 B=33sin 2B-3cos 2B+3 56sim2B-6中3 0<B<元 因为△ABC为锐角三角形，则 B<'解得县B子 6 0< 3 2 则<2B名0，可得m2B ≤1， 66 6 ，95 则6<bc≤9，可得1≤ h众<，即2≤1+ bc2’ 所以二的取值范围为2引 bc 13,如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=V3,∠ABC=120°，∠ABD=∠BCD 65/68 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠ABD=45°，求AD的长： (2)当四边形ABCD的面积取最大值时，求∠ABD 【答案】(I)AD=V5-2V5 (2)∠ABD=75 【分析】 【详解】(1)由题得∠DBC=75°，∠BCD=45°， 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=60°， BC BD 在△BCD中，由正弦定理得 sin∠3DC sin.∠BCD v3x② 所以BD= BCsin∠BCD V5sin45° 2= sin∠BDC sin60° 2 在△ABD中，由余弦定理得： 4D:=4B+BD:-24B.BDCOSLABD=3+2-2xxx2=5-2 所以AD=V5-25 (2)设∠ABD=∠BCD=x,x∈(0°，120)， 则∠DBC=120°-x,∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=60°， 在△BCD中，由正弦定理得BD=BCsin.∠BCD-Ssn=2sina, sin∠BDC sin60° 所以四边形ABCD的面积 S=S。ABD+SBCD -1 AB.BDsina+ 2 BC-BDsin(120°-） 1×g×2sinx+号 +xV5×2 sinasin(120°-） 2 =sin'a+3sina 3 1 2 cosa+sina 33. -sin a+-sinacosa 2 66/68 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 _33×1-cos2a+3sin2a 2 2 3(sin2a-cos2a) 44 3v5.3 -+二sin(2ax-60） 4 2 因为x∈(0°，120)，所以2x-60°∈(-60°，180)， 所以当2a-60°=90°，即u=75°时，四边形ABCD的面积取最大值 即当四边形ABCD的面积取最大值时，∠ABD=75° 14.如图，四边形ABCD中，∠DAB=120°，AD=5,AB=3, (1)若∠CDA=∠CBA=90°，求AC的长. (2)若∠BCD=60°，当四边形ABCD面积最大时，求AC的长。 【答案】(1) 143 3 (2) 8 【分析】 【详解】(1)在△ABD中，因∠DAB=120°，AD=5,AB=3, 由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB·ADC0S∠DAB=32+52-2×3×5×c0S120°=49， 所以BD=7 由题意，∠CDA+∠CBA=90°+90°=180°，则四边形ABCD内接于圆，且AC为该圆的直径 设该圆半径为R,在△ABD中，由正弦定理得AC=2R=,BD 7145 sin∠DAB sinl20°3 (2)因为∠DAB=120°，∠BCD=60°，所以∠DAB+∠BCD=180°，四边形ABCD内接于圆 形ABCD的面积8=SD+Sc0,其中Sm三)AB·ADsinl20'三7×3x5×2 要使四边形面积最大，只需-CB-CDsme60-5CBCD最大，即CB-CD最大 4 在△BCD中，由余弦定理得BD2=CB2+CD-2CB.CDcos60°，即49=CB2+CD?-CB.CD 67/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为49+CB.CD=CB2+CD≥2CB.CD,即CB.CD≤49，当且仅当CB=CD时取等号， 此时CB=CD=7,△BCD为等边三角形 在△ABD中，由余弦定理得c0S∠ABD=4B+BD-AD_3+72-53_9+49-25_331 2AB·BD 2×3×7 42 4214 因为∠ABD∈(O,180),所以sin∠ABD=V1-cos2∠ABD (11=55 14 14 因为△BCD为等边三角形，所以∠DBC=60°， 所以cos∠ABC=cos(∠ABD+60)）=cos∠4BDcos60°-Sin∠4BDsin60°=-1 7 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB+BC2-2AB·BCcos∠ABC=32+7-2×3×7× 1 7 =64, 所以AC=8. 68/68