第01讲 平面向量的取值范围问题及四心问题（培优讲义）新高二数学人教A版

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第01讲平面向量的取值范围问题及四心问题（暑假培优讲义） 析知识讲要点.… 知识点01平面向量求最值与范围的常用方法 知识点02三角形四心的向量表示.… 剖题型。讲技巧 6 题型1平面向量求取值范围（定义法） 年●年。●年●泰●原。●单●单●年●●原●●●年●●年●●●●单年年单年●●单象●单●●年 6 题型2平面向量求取值范围（基底法） 11 题型3平面向量求取值范围（坐标法） 15 题型4三角形的重心 20 题型5三角形的垂心 23 题型6三角形的内心 26 题型7三角形的外心 29 知高考真题探源 33 练好题提分培优 41 课标要点 1.掌握平面向量的各类运算方法，熟练运用定义法、坐标法、基底法等求解向量最值与范围，夯实向量运 算基础，提升代数运算能力。 2.理解三角形重心、垂心、内心、外心的几何性质，掌握四心对应的向量表达形式，能借助向量判断动点 轨迹与三角形特殊点的关联。 3.学会以向量为工具解决平面几何问题，运用数形结合思想实现几何与代数的转化，培养直观想象与逻辑 推理的数学核心素养。 1/52 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 析知识·讲要点 知识点01平面向量求最值与范围的常用方法 1、定义法 依托平面向量数量积的概念与运算律对原式进行变形转化，将向量问题梳理为代数形式，再结合基本 不等式、二次函数的图象与性质，求解代数式的最值或取值范围。 2、基底法 选取合适的一组基底，把题日中所有向量统一用该组基底表示，借助向量运算法则化简日标表达式， 最后结合二次函数、基本不等式、三角函数等知识求解结果。 3、坐标法 根据题设条件建立平面直角坐标系，写出相关点与向量的坐标，将向量运算全部转化为坐标运算，再 利用二次函数、基本不等式、三角函数等常用方法计算最值与范围。 练习1.如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点0且三组对边分别平行，如图 2,点A,B是“六芒星”的两个顶点，动点P在“六芒星”内（包含边界），则OB.AP的取值范围是() 图2六芒星 图1 A[为B[引 c.[-55] D. [ 【答案】B 【详解】如图，作AM=OB, 2/52 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则OB.AP=AM·AP=AM AP cos(AM,AP), =o丽=×号1，Fcos(,P）为示在上的投影， 故当点P与点C或点D重合时，OB.AP取最大值， 即(OB·AP)=AW.AC=AM AC cos∠CAM=AMAW, 又N-x3=子所以o 由对称性可则O丽丽=一} 所O丽，不的照恤南销[引 2.在矩形ABCD中，AB=L,AD=2,点P为矩形ABCD所在平面内一点，则PA+PC)PB的最小值为 【指关18 【详解】如图所示，以A为原点，以AB,AD所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，则 A0,0),B1,0,C(1,2 设P(xy),则PA=(-x,-y),PC=(1-x,2-y),PB=(1-x,-y), 所以PA+PC=(1-2x,2-2y), +网m=-22-2-x=2-+ 当且仅当x=}时，（网+P风-P丽取得最小值令 识点2三角形四心的▣量表示 设点0、P为平面内任意一点，结合向量形式区分三角形重心、垂心、内心、外心四类特殊中心，对应 向量公式及结论如下： 3/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1、重心（三条中线较点） 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有 ①0A+0B+0C=0: ②P0=1(PA+PB+PC) ③若AP=2(AB+AC),入∈[0，+∞)，则动点P的轨迹经过三角形的重心 ④若AP=入 AB AC ,入∈[0，+o),则动点P的轨迹经过三角形的重心 AB sin B AC|sin C 2、垂心（三条高线交点） 若O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有： ①0A.0B=0B.0C=0C.0A: @04+BC=OBP+CAP=OCP+ABP AB AC ③AP=λ ,入∈(0，+0)，则动点P的轨迹通过△ABC的垂心 |AB cos B AC cosC 3、内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） 若I为△ABC的内心： 若O是△ABC的垂心，则有：①AB PC+|BC1PA+|CAPB=0 AB AC ②AP=λ ∈[0，+0)，则动点P的轨迹经过三角形的内心 4、外心（三条垂直平分线交点，外接圆圆心） 若O是△ABC的外心，P为平面内任意一点，则 OA0B OC04=0B'=0C2 ②(OA+OB)AB=(OB+OC)·BC=(OA+OC)·AC=0 ③OP= OB+OC AB AC 2 .+入 ,入∈(0，+0)，则动点P的轨迹通过外心O. AB cos B AC cosC ④若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0 练习3.（多选）已知点O为ABC的外心，点H为ABC所在平面内一点，则下列结论一定成立的有() A.OA.OH=OB.OH=OC.OH B.若A0.AC=2AH,则AH s AO 4/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若3OF=OA+OB+OC,则点H为ABC的重心 D.若OH=OA+OB+OC,则点H为ABC的垂心 【答案】BCD 【分析】 【详解】已知O是ABC外心，故0角00厨0OG=C(外接圆半径) 选项A,若0A.0正=0B.0丽=0C.0i, 整理得0A-0B0H=0,0B-0C0H=0, 即BA⊥OH,CB⊥O万，仅对特定H成立，不是对任意H一定成立，故A错误： 选项B,如图所示，取AC中点M,OM⊥AC, 放40aC-(W+Mo列ac=4M.4C-40由题40-04， 得A历=A .由正弦定理：AG=2 RsinB, 故A历币=RsinB≤ROAO,即A而A@,B正确 选项C,对于任意点0.重心G的向量性质为：0G-O1+0B+0C, 即30G=0A+0B+0C,题设30i=0A+0B+0C,故H与G重合， 即H是ABC重心，C正确； 选项D,若0H=0A+0B+0C, AH=OH-0A=0B+0C.BC=0C-0B AH.BC=00200B2=R2-R2=0故AH⊥BC, 同理可得BH⊥AC,CH⊥AB,即H是垂心，D正确 4.已知P,Q分别是ABC的外心和重心，且AB=4,AC=6,则PQ·BC=· 【答案】 5/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 3 【详解】已知PO=A0-AP,因此P0BC=AQ-AP列·BC=A0.BC-AP.BC 已知Q是s48C的重心，满足A0-号（丽+A©，且BC=AC-B,代入得： 408c-@9®)6-4到-9 取BC中点M,P是外心，故PM⊥BC,即MP.BC=0,且AP=AM+MP, M是BC中点，故4W=(西+C),代入得 D.c=c=(丽+Cac-=@9)40 P0-BC-20-10=-10 因此 3 剖题型·讲技巧 题型1平面向量求取值范围（定义法） 1,由六个边长为1的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点A,B,C均为正六边形的顶点， 且A,B的位置如图所示，则AB.AC最小值、最大值分别为() A 545 2’2 B.3,25 D.3, 2 【答案】C 【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得： D 6/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正六边形边长为1，则CD=2,Ef=V5,正三角形任意底边上的高为 2 以AB中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示， 则4引0》=0- B 设AB与AC的夹角为O,AB.AC=4B AC cos0=5 ACcose0, 其中ACcos0表示AC在AB方向上的投影， 由图可知，当C点取C时，AC在AB方向上的投影长度最短， C点取C(-5,引时，4C在方向上的投影长度最长， c取c(小，c兽-引时不石-号( 为最小值： C点取C(5,》时，4C,=5-5小，此时孤aC=5×0+-5x-列=25，为最大值。 故B4C的最小值、最大值分别为)，25 2.己知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,设N是DC的中点，M是 梯形ABCD内或边界上的一个动点，则AM.A的最大值是()· A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 7/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】在直角△ADN中，AD=2,DN=1,所以AN=√5， 只要看AM在AN上投影的最大值，可知当点M在点C处时投影最大， 过C作CH⊥AN交AN延长线于H, NH CN 1 可得aCHN~△ADN,所以 DN==后，所以NH三，所以H的 5 即投影的长度最大为5，所以丽._65x5=6, 5 故选：B H 3.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从 该窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH内角和为1080°，若 AE=入AB+μAF(入，H∈R),则元+μ=； 若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形八条边 上的动点，则AP.AB的最大值为 G 图1 图2 【答案】 4+22 【详解】AF⊥AB,以点A为坐标原点，分别以AB,AF所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系， B 8/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正八边形内角和为(8-2)×180°=1080°，则∠HAB=二×1080°=135°， 8 所以，A(0,0,B(2,0),C2+2,V2),E(2,2+2W2),F(0,2+2V2),H-2,V), AE=(2+22),AF=(0,2+22),AB=(2,0), 因为AE=元AB+uAF,则(2,2+2)=元(2,0)+μ(0,2+22)， [2=21 所以 2+22=2+2)4'解得2=1，u=l,所以元+u=2: 设P(x,y),则-√2≤x≤2+√2，AP=(xy),AB=(2,0), 则AP.AB=2x≤4+2√2， 所以，当点P在线段CD上时，AP.AB取最大值4+2√2， 故答案为：2；4+2√2 4.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象 征各国、各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世 界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.己知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包 含边界)，则APFC的最大值是 E 【答案】3 【详解】由己知，正六边ABCDEF中，得AP.FC=2AP.AB, 作PP'⊥AB,垂足为P, 要使AP.AB最大，必须让cos(AP,AB)>0, 所以AP.AB=.cos(AP,AB)=APAB, E 9/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图可知，当P在C处时，AP最大，从而A正.AB最大， 此时1H4C=V5,(D,A)=,PB=5x1x5_3 6 22 所以AP.FC的最大值是3. 故答案为：3 5,如图，在菱形ABCD中，BC=2,∠ABC=60°，以BC为直径的半圆与AB交于点M,P是半圆上的动 点，则BM·BD=；BPBD的最大值是 M B 【答案】 3+2√5/2√5+3 【详解】 D 如图所示，取BC中点O,连接OM, 因为四边形ABCD是菱形，BC=2,∠ABC=60°， 所以∠BCD=120°，∠MBD=30°，所以可得△B0M是等边三角形，所以BM=1. 在△BCD中，由余弦定理可得 C+CD-28C-CDc0/BCD-2+-2x2x2*12 所以BD=25,所以BMBD=BMBDcos∠MBD=1x2V5x5-3: D 如图所示，取CD中点E,连接OE,交半圆于点N, 10/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则0E=,BD=5,BD=20E 所以BPBD=OP-OB20E=20P0E-20B0E =2OPOE cos ZPOE-2OBOE cos ZBOE -21x5xos∠0E-2x155 =3+2V5cos∠P0E, 因为0°≤∠P0E≤150°，所以当∠P0E=0°，即点P与点N重合时， cos∠POE取到最大值1，此时BP.BD取到最大值3+2√3 题型2平面向量求取值范围（基底法） 6.已知正六边形ABCDEF的边长为2，P在梯形CDEF的边上及其内部运动，则PA.PB的取值范围为 【答案】[2,12] 【详解】取AB中点M,CF中点O, PA.PB =(PM+MA)PM-MA)-PM-MA-PM-1, 由P在梯形CDEF的边上及其内部运动， 易得PM=MD=ME=VBD+M=5BC+P=, PM-Mo--x2x3-3 即PMe[V5,3],故PAPB∈[2,12] E 7.如图，在梯形ABCD中，AB/ICD,且AB=2CD,设AD=a,AB=b D B (1)试用a和五表示BC: 11/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2若点P满足BP=a+汤，且B,D,P三点共线，求实数元的值， (3)若AD=2,AB=4,∠DAB=60°，且点E是线段AC上的动点，求DE.BE的最小值 【答】0威-0- @ 网号 【分析】 【详解】(D因为4B1CD,且4B=2CD,所以Dc-号48， 则BC=BA+AD+DC=-AB+AD+AB=D-AB=a-五 2因为即-0+话，所以D=6+8=B+0+i4-0+a+, 3 因为8，D,P三点共线，所以+久+D=山，解得九高 (3)因为AD=2,AB=4,∠DAB=60°，所以a2=4,2=16, a-万-AD.AB=AD AB cos∠DAB=2×4×cos60°=4， AE-HAC-(D+DC)-a+605 2 则死-i+证=i+个a+-u-小a+6, 8E=8i+正=-6+a+a+传-]5. 所以DEBE [a-a+e-G-月 =以-a+a-6-a6+6-i+r-5 =4a-小+4u-3-22+8n-可 =4μ2-4μ+2μ2-6u+4+2μ2+4μ2-8μ =12u2-18u+4 12/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 因为0≤μ≤山，所以当时，DE,BE的最小值为 4 8.己知正三角形ABC的边长为2，动点P满足PC=1,则PAPB的最小值为 【答案】3-2√3 【详解】因为动点P满足PC=1,所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设D为AB的中点， PA.PB=(PD+DA)(PD+DB)=PD-DB=PD-1: 所以当PD取最小值时，PAPB取得最小值： PDL=CD-1=3-1, 所以PA.PB=PD-1≥(V5-1-1=3-25 故答案为：3-25 9.在边长为6的正方形4BCD中，E,F分别为边AD,DC上的点，且满足15-CF=2,G是正方形 ED FD ABCD边上的任意一点，则GE.GF的最大值为 【答案】48 【详解】连接EF,取EF的中点O,连接GO,由题意知DE=DF=2,所以EF=2√2， 则GE.GF=(G0+0EG0+0F)=(G0+0E)G0-0E)=G0-0E=G0-2· 易知当点G与点B重合时，GO取得最大值，且DF=,DC, 故由正方形的性质知Go-o-Dx6万=55。 所以GE.GF的最大值为(5√2)2-2=48. 13/52 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B 10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且P=2AC,则 D M (I)求DP.BP的值 (②)若点M为线段BD(含端点)上的动点，求MP.MB的最小值. 【答案】()DP.BP=-48 25 回号 【分析】 【详解】(1)由题意可知：P=AC,ABAD=0: DP-4P-AD-24C-4D-24D+24B-4D--34D+24B, 丽=-孤-号c-西-号0号孤-孤-+号而， 所以DP.BP=- 48 25 (2)因为点M为线段BD(含端点)上的动点，设BM=mBD,0≤m≤1， 则MB=-mBD=-mAD+mAB, MP=MB+BP=-m4D+m4B-34B+24D 5 5 其中AB·AD=0, 14/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可得源-m+m西[割丽+仔而 故当m=4时，MP.M5取得最小值，最小值为 2 题型3平面向量求取值范围（坐标法） 11.四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E,使得CD=4DE,若点F为线段AE上的动点，则 FB.FC的最小值为() A, B. 16 17 C.1 D. 25 64 16 【答案】B 【详解】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系 A B 则40.0，B1o,C,E4 做F=证=(（小0ss1 则历=-F=0-（4小+ =4ac-F=-（41+1-小 所以F-F=1+日+-1--1-+1. 所当1产，历元段行最个，为名含音19 故答案B正确 12.(多选)已知扇形A0B的半径为l,LA0B=120°，点C在弧AB上运动，OC=xOA+yOB,下列说法 15/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正确的有() A.当C位于B点时，x+y的值最大 B.当C位于A点时，x+y的值最小 ca.C6的取旅片刘 D. C(O-0丽到的政大做为号 【答案】BCD 【详解】我们通过建立平面直角坐标系求解：将O放在原点，OA在x轴上， 1 则0A=1,0).0B=(2:2 ),设C(cos0,sin0),0∈[0,120]， 由0C=x0A+y0B解得：x=cos0+sin9,y-2sin0 v3 5, 因此x+y=cos0+V5sin0=2cos(0-60), B 选项A,0-60°∈[-60°，60]，x+y的最大值为2，在0=60°，C在弧AB中点时取得最大值，A错误； 选项B,x+y的最小值为1，在0=0即C在A点和0=120°即C在B点都取得，因此C位于A点时，x+y确 实取最小值，B正确； 选项C,C4.CB=(0A-00)(0B-0C))0C-(01+0B)=c0s0-60, 因为cos0-60)∈，所以CA-CBel-70,c正：确 选项D,0C:(0A-0B)=cos93 2sin0=V3cos(0+30), PE[30,1501,c0s0+30)最天值为cos30三2’因此最大值为V3×)=,，D 13.正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则AP(PB+PC+PD)的取值范围为· 【答案】 【详解】分别以AB,AC所在的直线为x,y轴建立平面直角坐标系，则A0,0),B(1,0),C(1,1), 16/52 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D(0,1, 设P(x,x(0≤x≤1，则AP=(x,x),PB=(1-x,-x),PC=(1-x,1-x),PD=(-x,1-x), 所以PB+PC+PD=(2-3x,2-3x), 所亚元=2--0s 2 所以当x一3时，函数有最大值为行，当x=1时，函数有最小值为-2， 所以AP.(PB+PC+PD)的取值范围是 B末 14.在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,且AB=2CD=2,AD=√5，对角线AC与BD交于点O, 点M满足CM=入CB(0≤2≤1)，则AO.AM的取值范围是· 【答案】 48 33 【分析】 【详解】法1：以A为原点，以AB,AD所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，可得A(0,0),B(2,0),C(L,V3),D(0,V3), B 所以AC=(L,V3),CB=(1,-V3), 225 因为AB=2CD,且4B1CD,4Cn8D=0,所以A0=2AC= 3 33), 又因为CM=λCB, 17/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可得AM=AC+CM=AC+1CB=L,V3)+1L,-V3)=1+元，V5-V3元)， 所以40，AM4久士氵因为0≤元≤1，可得 4≤-4 88 入+ 3 3333' 48 所以AO.AM的取值范围是 33 法2：因为AB=2CD=2,AD=V5,可得AC=VAD2+DC2=VW32+1P=2, 又因为AB⊥AD,可得BC=VAD+(AB-DC)2=2, 所以AB=AC=BC=2,所以∠ACB=60°， 由△OCD∽△OAB,且相似比为CD:AB=1:2,可得0=2， OC 所以40-号4C-含 4 3 因为AM=AC+CM=AC+1CB, 所以A0.M=A0.AC+元40.CB=8+元×4×2xcos180-∠ACB 3 3 由05九≤1可得升≤子在氵≤氵，所以40AM的取值范围园 入+ 48 33 15.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°，AB=AD=1,当点E为边CD的中点 时，AEBE的值为 当点E为边CD上的动点，AE.BE的最小值为 【答案】 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 18/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为AB=AD=1,∠BAD=120°，所以B(1,0), 设C.由01c0,而0=0，而2】 m日9小f片小99小-00 又AB⊥BC,AB=(L,0),BC=(xc-1,yc),AB.BC=0,即xc-1=0, 得xc=1,代入①式解得yc=√5，所以CL,√5) 段证=0c0sas,0C-39,则0E-}9】 AE=AD+DE- 9号9 所以E标为9】 旺99 正证刘刘 3-3 92 33+32 + 4°4241 =32-343 2 当点E为边CD的中点时，年天方时，正E- 当点E为边CD上的动点时，当元=时，正BE取得最小值引 4 16 故答案为： 321 216 题型4三角形的重心 16.已知G为ABC的重心，过G的直线分别与边AB,AC交于点P,Q, S△的最小值为一 SABGC 19/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【客！ 【详解】 D 如图，延长AG交BC于点D,因为G为ABC的重心，所以点D是BC的中点， 则G-号0-子*+0)号+兮c 因为P,G,Q三点共线，所以可设AG=入AP+(1-2)A⑨，(0<2<)， 设AP=mAB,AO=nAC,则AG=入mAB+(1-入)nAC, 所以m=1-2刘n=写即网=汉 1 31-入)' 又因为G为ABC的重心，所以S△cc=3S 1 SAABC' 所以=Se=3x -2nesnep 2 Csin∠BHC =3mn, 11 1 1 4 3n=3× 因为 *3-刀31-刀2+1-刘3，当且仅当2=时，等号成立， 2 所以-3m的最小佰为号 SABGC 17.已知G为ABC的重心，过G的直线与AB,AC边分别交于M,N点，若AB=xAM,AC=yAN,则 1+二的最小值为(） x y B. 4 C.2 D.4 【答案】B 20/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】由G为ABC的重心，得GA+GB+GC=0,则GA+GA+AB+GA+AC=0, 整理得4G-号B+兮4C,而B=x,C=y不， 因此G-+号示，而M,GN共线，则背=， 于是+1=+x+马)=++当≥2+2-4 *y-33yx233x3 当且仅当x=y时取等号，所以+的最小值为 3 18.在△ABC中，BCG+ACGB+AB·GC=0,其中G是△4BC的重心，则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【详解】由G是ABC的重心，得GA+GB+GC=0,则GC=GA-GB, BC AC 由题中等式得GC GA GB,又GA,GB,GC均为非零向量， AB AB 所以GC由GA,GB的表示是唯一的， BC 则 故AB=BC=AC,即ABC为等边三角形 AB 故选：D 19.已知A,B,C是坐标平面内不共线的三点，O是坐标原点，动点P满足 O丽=[1-)OA+1-2刘oB+1+22)0C](入∈R,求证：点P的轨迹一定经过ABC的重心. 【答案】证明见解析 【详解】因为O丽=[1-刘O1+1-2刘)oB+1+2)oc]a∈R 所以m-a+0丽+c+c-a网+Ac-0丽a+0丽+o+c+ 所以30P-OA+OB+OC=元AC+BC, 即AP+BP+CP=-元(CA+CB, 所以CP-CA+CP-CB+CP=-1(CA+CB, 21/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设CD=CA+CB,则-CA-CB+3CP=-元(CA+CB), 即3CP=(1-)CD. 因为CD经过AB的中点，C,P,D三点共线， 所以点P的轨迹一定经过ABC的重心 20.已知PA,PB,PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，PA=1,PB=2,PC=3, 点G为ABC的重心，即点G是ABC三条中线的交点，且PG=xPA+yPB+zPC. (I)求x,y,z的值； (2)求点G到直线PA的距离， 【答案】0x-3y号月 1 1 25 6 【分析】 【详解】(1)解：因为PG=PC+CG, 因为点G为ABC的重心，所以CG=Ca+C®-PA-PC+PB-PC)=Pi+P丽-2PC), 则PGP+}P+}P元，即x=y： 3 3 PA+PB+PC+2P4-PB+2P4-PC+2PB-PC 3 i4+9+23*6- PG.PA=PA+Pi+PCP☑ +Ps-m+c.网列-+1+ PG·PA 故点G到直线PA的距离 题型5三角形的垂心 21.已知0为ABC所在平面内一点，若tan4x04+tanB×OB+tanC×OC=0,则点O是ABC的(）. A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 22/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】原式变形为AO= tanB 4B+- tanC tand+tanB+tanC tan4+tanB+tanCC A0.BC= tanB AB.BC+ tanC AC.BC tan4+tanB+tanC tanA+tanB+tanC tanB(-cosB) tanCcosC tan4+tanB+tanc ab ac+ tanA+tanB+tanC a =0, tanA+tanB+tanC (-sinBxc+sinCxb)=-sinBxac+sinCxab tan4+tanB+tanC 所以AO⊥BC,同理，BO⊥AC. 所以O是ABC的垂心， 故选：D 2.已知H是A8C的垂心，满足=AB+4C,且A=1,则丽C的值为() 4 A.、1 1 B.3 c D.-1 4 【答案】B 【详解】由丽=号孤+号C,得-（丽+到+2+C, 化简得A五=HB+2HC 左右点乘HA,得-AH-HB.HA+2HC.HA=-1, 由H是ABC的垂心，可得HA.BC=0,则HA·HC-HB=0, 所以HA.HC-HA.HB=0,即HAHC=HA.HB, 同理可证HB.HA=HB.HC,即HB.HA=HB.HC=HAHC, 所以HB.HA+2HC.HA=3HB.HC=-1 故孤c=青 23.己知点O是非等边ABC的外心，P是平面ABC内的一点且OA+OB+OC=OP,则P是ABC的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 【答案】A 【详解】 23/52 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 因为点O是非等边ABC的外心， 所以OA=OB=OC 因为平面内P满足0A+OB+0C=0P, 所以OA+OB=OP-OC=CP, 设D为AB中点，则有 OD⊥AB,OA+OB=2OD=CP 所以CP⊥AB, 所以CP在AB边的高线上 同理可得，BP在AC边高线上，AP在BC边高线上 故点P是ABC高线的交点，即为ABC的垂心 故选：A 24.设O是平面上一定点，动点P满足Op=OA+元 AB AC 1e(0,+0,且A,B,C是 4B cos B ACcosC 平面上不共线的三点，则动点P的轨迹一定通过ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】D 【详解】OPBC=OABC+入 ABBC ACBC OABC+-BC+BC )=OABC. AB cosB ACcosC 则OP.BC-OA.BC=0,即AP.BC=0, 故AP⊥BC，即点P的轨迹经过ABC的垂心 故选：D 25.(多选)在△ABC中，AB=6,AC-10,∠BAC=120°，D为BC的中点，E为△ABC的垂心，则() A.AD=19 B.AC.AD=35 24/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.cos∠BAD=i四 19 D.点E到直线AB的距离为V固 3 【答案】ABD 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 则40,860，c55,}55 所以丽=60，c-5s,0}59 Bc=(-1,53) √9，A正确： c0=-5x+55x5 3=35,B正确： 2 COS∠BAD= AB·AD =2x6 9,C错误： AB AD T6×19=381 设E-5,a,则征=(-5，a,所以4正BC=55+55a=0,得a=-115, 3 所以点E到直线AB的距离为W5,D正确， 3 故选：ABD 题型6三角形的内心 效0在让点发数小：短-向西园 」CA+C，则点O是ABC的() 25/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】B 1 【详解】因为 AB AB, AC AC分别表示与AB,AC同方向的单位向量，如图，不妨分别记为AB,AC, 故以AB,AC,为两邻边的平行四边形ABMC为菱形，则AM平分∠BAC, 因OA=x AB =xAB。+ACO=xAM,可知O点落在LBAC的平分线上； 同理由OB= 可知O点也落在∠ABC,∠ACB的平分线上， 故点O是ABC三条角平分线的交点，即三角形的内心 .C 27.设O为ABC的内心，AB=AC=13,BC=10,AO=mAB+nAC(m,n∈R),则m+n=(), 4 36 D.36 【答案】B 【详解】取BC的中点E,连AE, 因为AB=AC=13,BC=10,所以AE⊥BC,AE= -o =12 所以ABC的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为S.ABC=S.AOB+S。Aoc+SBOC, 所以4E-BC-oE(B+4C+BC. 2 所以)×12×10=，0E-13+13+10),得0E=, 3 所以40=AE-0E=12-10_26, Γ3=3 所以40=花， 18 26/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又正=(B+AC,所以a0=2B+C, 36 36 13 又已知AO=mAB+nAC,所以m=n= 36 13 所以m+n 18 A B E 故选：B 【点睛】关键点点晴：利用面积关系求出内切圆半径，进而得到A0=13AB+!3AC是本题解题关键 36 36 28.已知ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足 aPA+bPB+cPC=0,则P为三角形的()， A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】B 【详解】因为aPA+bPB+cPC=0, aPA+b(PA+4B+cPA+AC=0, →a+b+cPA+bAB+cAC=0 →aP=1baB+c4C)=c AB AC a+b+c a+b+c 所以点P在∠BAC的角平分线上 同理可得：点P在∠ABC的角平分线上 所以点P为ABC的内心 故选：B 29.设G为ABC的内心，AB=5,AC=4,CB=3,AG=xAB+yBC，则x= 【答案】075 【详解】如图：因为32+42=52，所以ABC为直角三角形 27/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2 5 G 3 设内切圆半径为r. 1 则S。ABc= ×C4xCB=4B+8c+Cr→r=3445=1 3×4 设内切圆与边CA,CB的切点分别为D,E 则花-而+元-汇+号丽-丽+Bc)-8c-丽+吕 12 又AG=xAB+yBC, 所以x=3 做答案为子 30.在ABC中，若I是4BC的内心，的延长线交BC于D,则有4B-BD AC DC 称之为三角形的内角平 分线定理，现已知AC=2,BC=3,AB=4且A1=xAB+yAC,则实数x+y=() D A.1 B. c D.2 【答案】C 【详解】因为I是ABC的内心，A的延长线交BC于D,AC=2,BC=3,AB=4, 由角平分线定理可得 D-4B=2,可得BD=BC,BD=2DC, CD AC 即AD-AB=2(AC-AD),则D=B+2AC, 3 又因为BC=3,BD=2,且BI为∠ABD的角平分线， 28/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B4 D 所以，”2，所以，而-而-C号丽c, ID BD 9 0 2 又Ai=xAB+yAC,且向量AB、AC不共线，所以， 9 2 4所以x+y= 9 故选：C 题型7三角形的外心 31.点P是ABC所在平面内一点，若AB·(CB+CA=2AB.CP,则点P的轨迹经过ABC的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 【答案】D 【详解】取线段AB的中点D,则CB+CA=2CD, 因为AB·CB+CA=2AB.CP,所以2AB.CD=2AB.CP, 则AB·CD-CP=AB·PD=0,所以B⊥PD, 则点P的轨迹经过ABC的外心 32.在ABC中，∠BAC=60°，若O为ABC的外心，设AO=xAB+yAC,则x+y的最大值为() A.1 B.3 D.5 3 【答案】C 【详解】设A,B,C所对的边为a,b,c, 29/52 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C 取AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB, 故0=6(+而列-54B,同理C.40=}4C,而0=+y4C, 则AO.AB=(xAB+yAC)AB=xAB+yAC AB cos A,， 即c2=c2+c,也即c=cx+y①， A.AC=(xAB+yAC).AC=xAC B cos A+yAC', 即时0-cr+w,也即r+@, @解路子子+少子A+ 3(3c36 会+云侵云子当组收当会苏即6：时取等号， 3c'3b 所以x+y≤ 22 333 33.已知点G是ABC的外心，2GA+AB+AC=0,若AB=(1,2),AC=(-2,m,则实数m的值为() A B C. D.1 【答案】D 【详解】取ABC边BC的中点D,则AB+AC=2AD B D(G :2GA+AB+AC=0,.2GA+2AD=0,即2GD=0,点G与点D重合，为BC的中点 又：点G是ABC的外心，，ABC是以BC为斜边的直角三角形，.AB⊥AC :AB=(1,2),AC=（-2,m,AB.AC=-2+2m=0,解得m=1 故选：D 30/52 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.己知ABC的外心0满足A0=xAB+yAC,若AB=6,AC=10,且2x+10y=5,则c0s∠BAC= 【答案】或 3 【详解】当x=0时，y=2此时，由0A=xB+yAC可得404C, 1 故ABC是以AC为斜边的直角三角形，则cos∠BAC=4B_-3 AC 5 当+0时、由而-=丽+yc得40月0小2r日4C 知阁，设=正，元=亚，则15，丽 9 由0-琴正+2F及号+2y=1,知E0,F三点共线 又由AF=}AC知F为AC的中点，故OF1AC, 所以coS∠BAC= AF 1 AE 3 踪上可知，cos∠BAC=或cosZBAC= 3 故答案为：亏或3 31 5 35.在ABC中，AC=2,BC=6,∠ACB=60.点0为ABC所在平面上一点，满足OC=mOA+nOB (m、n∈R且m+n≠1). (I)若m=n=-1,用CA,CB表示OC; (②)若点O为ABC的外心，求m、的值 【答100c.}a-}o西 3 3 m= 7 (2) 5 n=- 7 【分析】 【详解】(1)因为m=n=-1,所以OC=-OA-0B 因为OC=OA+AC=OB+BC 31/52 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以oc=o1+Ac+o丽+8C)=-0c-- 所以3oc=-1ca-c8 2 所以c:-ci-ca B (2)取CA,CB的中点分别为E,F,连接OE,OF,则OE⊥AC,OF⊥BC OCCA-CA(OE+EC)=CAEC=-C4, 2 同电0c0丽=C OC=m0A+nOB=m(OC+CA)+nOC+CB)=(m+n)OC+mCA+nCB. 所以OC=,m—CA+,n一CB】 1-m-n1-m-n 所以0cCa=C,mCA+,”CB=,m一C+,n一CAcB 1-m-n 1-m-n 1-m-n 1-m-n 因为CACB=C4 CB cos60°=6， 所以-x4=,4m+ 6n 2 1-m-n1-m-n 同理-2×36=，6m 1 36n 2 1-m-n1-m-n 3 m= m+2n=-1 7 整理得到2m3n-3解得 n=- 7 知高考·真题探源 1.(2025北京高考真题)在平面直角坐标系x0y中，0A=0BV2,|AB上2.设C(3,4),则 |2CA+AB的取值范围是() 32/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 【答案】D 【详解】因为OA=OB=√2，|AB=2, 由5=05-0平方可得，01.05=0，所以O10)-号 2CA+AB=20A-0C)+0B-0A=0A+0B-20C,0C=V32+42=5, 所以，2CA+A8=0A+0B+40c2-4OA+0B-0C =2+2+4×25-40A+0B0C=104-40A+0B0C, 又oA+0B0CsoA+0oC=5xV2+2=10,即-10≤(OA+0B0c≤10， 所以2CA+AB∈[64,144，即2CA+AB∈[8,12]， 故选：D 2.(2023全国乙卷高考真题)已知⊙0的半径为1，直线PA与00相切于点A,直线PB与⊙0交于B, C两点，D为BC的中点，若PO=√2，则PA.PD的最大值为() A.1+V2 B.1+2V2 2 2 C.1+√2 D.2+√2 【答案】A 【详解】如图所示，OA=1,0P=V2,则由题意可知：∠AP0=工 41 由勾股定理可得引PA=VOp2-OA2=1 B 当点AD位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=a,0≤a<交 则：Pa.PD-网刚Dcosa+好到 33/52 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =1x2cosacos a+4 π =√2cosa √ cosa- -sina 2 2 cos'a-sina cosa 1+cos2a 1 2 2 sin 2a 12 -22ì a-到 ,则-s2-< 0sa<r 4 4 :当2a-T=-匹时，PA,PD有最大值1 44 当点4D位于直线PO同侧时，设∠OPC=a,0<a<年 账A,历=所而ca年e =1×V2 cosa cos =√2cosa 2 cos-a +sina cosa =1+cos2a 2 sin 2a 12 m2如+ 0sa<则2+ 44 :当2a+号-受时，PA历有最大值)月 2 34/52 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上可得，PAPD的最大值为1+V2 2 故选：A 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查 了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力 3.(2026天津高考真题)已知d=a-6=l,>1,记c=ā+6.当a+6-c=0时，1+u= ,当a+b-c=1时，入+μ的取值范围为 【答案】 2 1,3] 【分析】 【详解】由题意， la=a.B=1,B>1,c=Aatub, 第一空： 当a+b-c=0时，c=a+b=元a+ub, 2=4=1, .2+4=2 第二空： 解法一：将c=aa+6代入a+6-d=1得1-)ā+1-μ)=1， 两边平方，得：[1-元)a+1-)5]=1, 展开：(1-)2|ā2+21-2)1-4)a.6+(1-μ)216P=1, 代入|a=1,a6=1,记b=t>1, (1-)2+21-2)1-4)+t2(1-4)2=1, 令x=1-1,y=1-4,s=x+y, 则原式变为：x2+2xy+2y2=1, 配方得：x2+2xy+t2y2=(x+y)2+(t2-1)y2=s2+(2-1)y2=1, 由于2>1，(t2-1)y2≥0，因此s2=1-(t2-1)y2≤1， 即|s1,解得s∈[-1，]， 35/52 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 +4=2-se[2-1,2-(-I=[1,3], 因此，入+4的取值范围为：，3]。 解法二：因为d=a-b=1,>1, 不妨设a=(1,0),b=(1,t,t≠0，则a+b=(2,,c=1a+ub=(元+u,t), 若a+b-c=1,设c=(2+cos0,t+sin0), 则2+4=2+c0s0∈[1,3] 解法三：因为d=a.=l,>1, 不妨设a=OA=(1,0),b=OB=(1,t),t≠0，即点B在直线x=1上， 且c=0C,OD=a+b=(2,t), 因为c=元a+b=(2+,4t, B 0 A x=1 x=3 若+u=m,可知点C在直线x:m上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若a+万-c=1,即CD=1,可知点C在以D(2,)为圆心，半径为1的圆上， 则圆D在直线x=1和x=3之间，可得1≤m≤3，即2+4∈[1,3， 所以入+4的取值范围为[1,3] 4.(2022浙江高考真题)设点P在单位圆的内接正八边形44，…A,的边44上，则P+PA+…+P 的取值范围是。 【答案】[12+2√2,16] 36/52 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】以圆心为原点，A,A,所在直线为x轴，AA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： A 则A(0,1),A P(x,y),于是PA+PA+…+PA=8x2+y2）+8, 因为c0s22.5°≤0Ps1,所以1+cos45 ≤x2+y2≤1，故PA+PA+…+P的取值范围是[12+2V2,16] 2 故答案为：[12+2√2,16]. 5.(2026上海·高考真题)在ABC中，D、E在边BC上，且BD=DE=EC,AD=1,AD与AE所成 的夹角为骨则B,4C的最大值为 D 【答案】 32 【详解】：AB=AD+DB=AD+ED=AD+EA+AD=2AD-AE AC=AD+DC=AD+2DE=AD+2DA+AE=-AD+2AE AB.AC=(24D-AE-AD+2AE=-2AD P +5AD.AE-2 AE P ~而=1，而与正所成的夹角为写 丽c-2+-2正 令=1>0，则4c=-2r+-2=-2- 37/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当-时，B.4C的最大值为 39 8 39 故答案为： 32 6. (2022天津·高考真题)在ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记CA=ā，CB=b,用 a,b表示DE= 若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 【答案】 3。 6 【分析】 【详解】方法一： D 31- DE=CE-CD=>b- a, 22 B AB=CB-CA=b-a,AB L DE(3b-a).(b-a)=0, 362+a2=4a.6→cos∠ACB= 胎6。之9组仅当55时取签多， 丽4啊 0<∠ACB<π， 所以∠4CB∈0爱. 故答案为： 方法二：如图所示，建立坐标系： D E(0,0),B(1,0),C(3,0),Ax,y), M B C D正=（牛3，，B=0-x,-). 2,2 多令区十3x-D+0今x++y=4,所以点A的轨迹是以0为圆心，以r三2 2 38/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 圆，当且仅当CA与oM相切时，∠C最大，此时sinC=’ Cw42<C-2 21 6 故答案为： 2 7.(2024天津·高考真题)己知正方形ABCD的边长为1，DE=2EC,若BE=1BA+μBC,其中元，u为实 数，则入+4= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF.DG的最小值为· 【答案】 4 、5 3 18 【详解】解法一：因为CE=DE,即CE=!BA,则BE=BC+CE=BA+BC, 3 可得无=有“=山，所以+u=3 4 由题意可知：BC=BA=1,BA·BC=0, 因为F为线段BE上的动点，设BF=kBE=}kBA+kBC,k∈0，]， 则=丽+丽-B+kBE-得-Ba+k8C, 又因为G为中点，则DG-D1+4G=-Bc+号F-日-1a+}-8c。 可得亚c-[居-a+ac[-a-经-c g-可小+-小-8 义周为e0小，可知：当=1形，亚DG取到最小值-高 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则4-1o,80o.c0,-小，E3月 可得顾=(-0,8c=(0,旺-（3月 39/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为BE=2BA+uBC=(-入，4，则 =一3，所以入+μ=3 -λ=- u=1 因为点F在线段BE:y=-3xxe[行0k.设Fa,-3a.ae写0] 且G为F中点，则Ga-1,-3。】 2,2 则Fca4-小-8 且a[0，所以当a=时，示D取到最小值为 3 故答案为： 45 3-18 8. (202上海高考真题)在△BC中，∠C=号AC=BC=2,M为4C的中点，P在线段4B上，则 MP.CP的最小值为 【答案】日 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建 立平面直角坐标系， 期99}c同.05ss 则99}k网-}1马1 40/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当x=2时，(.可 22 +1=7 4 24 8 故答案为：日 练好题提分培优 1.已知单位圆上两点A,B,弦AB=V3,点P为圆上一动点，则4正.AB的最大值为() A月 B.3 c多g D.2√5 【答案】C 【详解】因为4B是单位上两点，且装4-5，不纺设4小0,8分) 如图： 段90w叫，则p-om0-m0j,-9 所以AP·AB=(cos0-l,sin0) 9-- sine=3 +V3sin0-60), 2 因为sin0-60)≤1，所以3+5sin(6-60)≤3+5，当且仅当0=150时等号成立 因此示历的最大值为号+5 2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,C,P是△ABC所在平面上的一点， PA.PB=PA.PC+b,CP=C PB.PC+a-C.PB2,则点P是aABC的() h b a A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【答案】C 【详解】因为PiP丽-号PA-元+b。p㎡-台P西PC+“。P丽， h 所以PA.PB-A=A(-网，PmPm-Pm-Pm(c-P阴)， 41/52 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PA.AB=PA.AC,BA.PB=PB.BC h 所以PAccos∠PAB-P-bcos∠PAC, PBccos∠PBA=C|PB·acos∠PBC. 所以cos/PAB=cos∠PAC,cos∠PBA=cos∠PBC, 又LPAB,∠PAC,∠PBA,∠PBC∈[O,π]， 所以∠PAB=∠PAC,∠PBA=∠PBC, 所以P在∠BAC的平分线上，P也在∠ABC的平分线上， 所以点P是△ABC的内心. 故选：C. 3.(多选)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧BD(包含B,D) 上的任意一点，且AP=xAB+yAD,则下列结论正确的是() C B A.x+y的最大值为√2 B.r+y的最小值为 2 C.AP.AD的最大值为4 D.过P作PH⊥BC交BC于H,则AP.AF的最大值为5 【答案】ACD 【详解】以A为原点，AB、AD为x,y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， B 42/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则40,0，B2,0,C2,2).D0,2),设∠PAB=0,则P(2cos0,2sin9),8e0,2 AP =xAB+yAD,(2cos0,2sin0)=x(2,0)+y(0,2), 2cos0=2x x=cos0 所以 2sin0=2y' 则 y=sin0' 选项A、B:x+y=cos0+sin0=V2sin日+刀 4 由9e0, L2」 ,得0+∈「π3π 44'4 所以0+亚=时，x+y的最大值为2，故A正确： 4 2 当9+子-或受时，+y的最小值为1，改B错误： 44 选项C:AP.AD=(2cos0,2sin0)(0,2)=4sin0, 当0=时，亚而的最大值为4，故c正确： 选项D:由题意H(2,2sin0), PH (2 cos0,2sin0).(2,2sin0)=4cos0+4sin20=-4cos20+4cos0+4 1=o0ue小，0=4+4+4=- 1 +5, 所以当1=)时，0有最大值5，则P.丽的最大值为5.故D正确 4.(多选)四边形ABCD是边长为1的正方形，M是线段CD上的动点（包括端点C、D),则(） A.AM·BC=1 B.当AD+MC=AM时，M为CD中点 C.MA+MB的最小值为√5 D.IMA+MB的最大值为√5 【答案】ABD 【详解】以A为原点，分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，如下图所示 D B 因为四边形ABCD是边长为1的正方形，M是线段CD上的动点（包括端点C、D), 所以A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设M(x,1)(0≤x≤1)， 43/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 选项A:AM=(x,1),BC=(0,1),所以AM.BC=x×0+1×1=1: 选项B:AD=(0,1),MC=(1-x,0),AM=(x,1), 当初+MC=研时，可得1-=，解得x?即M为CD中点： 选项C:MA=(-x,-1),MB=(1-x,-1),则MA+MB=(1-2x,-2), 所以1+师卡0-2列+4，当x=号时，+的最小值为2 选项D:当x=0或1时，MA+MB的最大值为√5 5.(多选)四边形ABCD是边长为2的正方形，M是线段BC上的动点（包括端点B、C),则(） A.AM.DC=4 B.当AB+MC=AM时，M为BC中点 C.MA.MD的最小值为3 D,MA.MD的最大值为5 【答案】ABC 【详解】对于AAM.DC=AM.AB=AB2=4,A正确， 对于B,由AB+MC=AM可得AB-AM=-MC,故MB=CM,即M为BC中点，B正确， 对于CD,MA·MD=(BA-BM(CD-CM）=BA-BMBA+BC-BM) BA+BA.BC-BM.BA-BM.BA-BM.BC+BM'=BA+BA.BC-2BM.BA-BM.BC+BM =4-2BM+BM°=(BM-+3, 又因为BM∈[0,2，故当BM=1时，此时MA.MD取到最小值3 当BM=2或O时，此时MA.MD取到最大值4，因此C正确，D错误 BL M 6.2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.贴窗花 是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形ABCDEFGH,己知P是其边上任意 44/52 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一点，AB=1,则PA.PB的最大值为 H B C 图① 图② 【答案】3+2√2 【详解】如图，取AB的中点O, H G A B C PA.PB=(PO+04PO+0B)=(PO+04PO-04 =P0-0A =o- 当点P与点E或点F重合时，PO取得最大值， 易得正八边形的内角为135°， H G 2 可解得BE=1+2, 所以o-++-3+25. 故PA.PB的最大值为3+2√2. 45/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：3+2√2 7.(多选)在ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为ABC内的一点，AP=xAB+yAC,则下列说法正确的 是() A.若P为ABC的重心，则x+y=7B.若P为ABC的外心，则P8BC=-18 C若P为ABC的垂心，则x+y6D,若P为ABC的内心，则x+y 8 【答案】BCD 【详解】在ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为ABC内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系， C主 则A(0,4),B(-3,0),C3,0), 对于选项A:若P为4BC的重心，则。=0-3+3=0，，= 所以aP=0-氵B=(-3,4,4C=6,4, -3x+3y=0 若AP=xAB+yAC,由平面向量基本定理可得： 8, -4x-4y=- 3 1 2 解得x=y=3所以x+y=了，故选项A不正确： 对于选项B:若P为ABC的外心，其必在直线AO上， 所以PB·BC=(PO+OB)BC=PO·BC+OB.BC=3×6×(-1)=-18,故选项B正确； 对于选项C:若P为ABC的垂心，其必在AO上，设P(0,m), 则CP.AB=(-3,m)-(3,-4)=9-4m=0,解得m=4 此时=0-子孤=(34C=8. -3x+3y=0 若AP=xAB+yAC,由平面向量基本定理可得： 4r-4y=-7, 4 46/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6,故选项C正确， 1 解得x=y=32,所以x+y= 对于选项D:若P为ABC的内心，设内切圆半径为r, 则时x6x4=7x5+50,将r-}则P0: 3 此时P=0多丽=(34,4C=64. -3x+3y=0 若AP=xAB+yAC，由平面向量基本定理可得： 4r-4y=-3, 5,55 解得x=y=,所以x+少三1616=8’即选项D正确 故选：BCD 8.（多选)设O为△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是() A.若满足OA+OB+OC=0,则O是△ABC的垂心 B.若满足OA=OB=OC,则O是△ABC的外心 C.若满足Op=OA+入 AB AC (2≥0)，则P的轨迹过aABC的内心 AB AC D.若满足PAPB=PBPC=PCPA,则P是△ABC的重心 【答案】BC 【详解】记aABC边BC的中点为D,则OB+OC=2OD, 由01+0B+0C=0,得01=-20D,所以点0在中线4D上，且0A=2, OD 所以O是△ABC的重心，所以A错误； 若满足OA=⊙B=OC,则O到△ABC各顶点距离相等，所以O是△ABC的外心，所以B正确： 若满足OP=OA+入 AB AC (元≥0)，则0p-0A=入 AB AC AB AB AB 即AP=入 AC (2≥O),所以点P的轨迹为角A的平分线，所以经过△ABC的内心，所以C正确： 由PAPB=PBPC,得PBOPA-PC)=0,所以PBCA=0, 同理可得PABC=0,PCAB=0, 即PB⊥CA,PA⊥BC,PC⊥AB,所以P是△ABC的垂心，所以D错误 9.ABC中，AB=AC,BC=L,AB+AC=2AM,AP=λAM(2∈R),则AP-AB的最小值为 47/52 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案105 【详解】AB+AC=2AM,故M为BC的中点， AB-AC;BC-1.MC BM-CM- AP=λAM(2∈R),故A,P,M三点共线， 故当P,M两点重合时，亚-A=丽取得最小值，最小为BM号 1O.点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点，若 花F-丽，则厨的最大值为— 【】分6 【详解】设正方形ABCD中，4A0,O),B(2,O),C(2,2),D(0,2),则对角线交点E坐标为(L,), 设F(x,y),其中0≤x≤2,0≤y≤2，则AE=(1,1),AF=(x,y),点积得： 正F:+y=方因此F的轨迹是正方形内的线段x+y0≤≤行0≤y≤宁， 2 2 这是开口向上的二次函数，定义域x∈[0，]，对称轴为x=4: 所以最大值在端点x=0或x=三处取得， 代入得E而9子，因此项9 2 A(O) 11.平面向量a,石，c,有a=3,=4,a6=0,且c-a-b=2,则同的最大值为 【答案】7 48/52 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】因为a=3,=4,a6=0,则a+=5 方法一：几何法. VA B 如图，当0，D,M三点共线时，即l=OM+E-a-=7: 方法二：向量不等式m-≤m±≤m+, 记m=c，n=a+b, 则-a+列se-a-s+|a+, 可得-5s2sd+5,即 -2≤-5≤2 2≤d+5 ，解得3≤s7, 所以同的最大值为7 12.已知点0为ABC的外心，且向量AO=元AB+(1-2)AC,1∈R,若向量BA在向量BC上的投影向量 为BC,则cosB的值为 【答案】因 【详解】因为A0=人AB+(I-)AC=1AB+AC-1AC, 所以CA+A0=入AB+1CA=元(CA+AB),即CO=1CB, 所以O在BC上， 又因为点O为ABC的外心， 所以ABC的外接圆以O为圆心，BC为直径， 所以ABC为直角三角形，且AC⊥AB,O为BC中点， 49/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 因为向量BA在向量BC上的投影向量为上BC, 所以BAcos B BC 1- 5BC,即 BAcos B 1 BC BC 5 BA 又 =cos B,所以cos2B= BC 由于B为锐角，所以c05B= 5 故答案为： 5 5 13.已知0为ABC的外心，AB=4,AC=2,∠BAC=120°.若A0=2AB+元，AC,则元+入2= 【答案】 6 【分析】 【详解】解法1：如图，设A0∩BC=E,E0=m,A0=R, 作AF⊥BC于点F,OG⊥BC于点G, 易知40=。RA花=R（5B+yAC),其中x+片=1， R-m R-m 由已知条件可求得0G=,Ar=22团 3 7 R AF+OG 故，+=R-m 0G13 -=1+ AF AF 6 AO.AB=2AB2+元2AC·AB, 解法2：由 A0.AC=AB.AC+AC2, 50/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 得 9数 2= 6’ 13 故+2 8 6 61 解法3：以A为圆心，作平面直角坐标系如图所示，则A(0,0),B(4,0),C-1,5), 因为外心0是B的中垂线x=2和4C的中垂线y=5:+25的交点， 3 3 AB=(4,0),AC=-1,5, 2=42-元2， 从而有45队故+号 03 B 13 故答案为： 6 14.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=4,E、F分别为DC、CB的中点，且 AC·EF=2,P是线段AB上的一个动点 D (I)若EF=mAB+nAD,求m的值； (2)若AP=1AB,求PE.PF取得最小值时的值 1 【答案】(1)mn=- 4 2a Γ2 【分析】 【详解】(1)由E,F分别为CD,BC的中点，则EF11BD,EF=BD, 51/52 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由图可符亚号丽亚-而列)=m西+n而，测m分1= 所以=-子 2cF2o+兮g西号02. 故好0-40+48=20-号40+4=2，故-2. 由圈可将E=P1:0+0E=-2西+D西-任小B+和. PF=PB+BF=1-刘AB+)BC=1-2刘B+BA+AD+DC 1-刘孤-++46-}-亚+D, 压所[居刘亚+而程小s*号西-合？两+兮四 -(6a+2小16+分4=16-16队+5=162-+1 故入=分则PE.斥取到最小值1 52/52 第01讲 平面向量的取值范围问题及四心问题（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 平面向量求最值与范围的常用方法 2 知识点02 三角形四心的向量表示 2 剖题型·讲技巧 4 题型1 平面向量求取值范围（定义法） 4 题型2 平面向量求取值范围（基底法） 5 题型3 平面向量求取值范围（坐标法） 6 题型4 三角形的重心 7 题型5 三角形的垂心 8 题型6 三角形的内心 9 题型7 三角形的外心 10 知高考·真题探源 10 练好题·提分培优 11 课标要点 1．掌握平面向量的各类运算方法，熟练运用定义法、坐标法、基底法等求解向量最值与范围，夯实向量运算基础，提升代数运算能力。 2．理解三角形重心、垂心、内心、外心的几何性质，掌握四心对应的向量表达形式，能借助向量判断动点轨迹与三角形特殊点的关联。 3．学会以向量为工具解决平面几何问题，运用数形结合思想实现几何与代数的转化，培养直观想象与逻辑推理的数学核心素养。 知识点01 平面向量求最值与范围的常用方法 1、定义法 依托平面向量数量积的概念与运算律对原式进行变形转化，将向量问题梳理为代数形式，再结合基本不等式、二次函数的图象与性质，求解代数式的最值或取值范围。 2、基底法 选取合适的一组基底，把题目中所有向量统一用该组基底表示，借助向量运算法则化简目标表达式，最后结合二次函数、基本不等式、三角函数等知识求解结果。 3、坐标法 根据题设条件建立平面直角坐标系，写出相关点与向量的坐标，将向量运算全部转化为坐标运算，再利用二次函数、基本不等式、三角函数等常用方法计算最值与范围。 练习1．如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 知识点02 三角形四心的向量表示 设点、为平面内任意一点，结合向量形式区分三角形重心、垂心、内心、外心四类特殊中心，对应向量公式及结论如下： 1、重心（三条中线交点） 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①; ② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2、垂心（三条高线交点） 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①; ② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3、内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） 若为的内心： 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4、外心（三条垂直平分线交点，外接圆圆心） 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 练习3．（多选）已知点为的外心，点为所在平面内一点，则下列结论一定成立的有（   ） A． B．若，则 C．若，则点为的重心 D．若，则点为的垂心 4．已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______． 题型1 平面向量求取值范围（定义法） 1．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 2．已知在直角梯形中，，，，，设是的中点，是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 3．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则______；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为______． 4．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是___________ 5．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 题型2 平面向量求取值范围（基底法） 6．已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 7．如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 8．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 9．在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 10．如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 题型3 平面向量求取值范围（坐标法） 11．四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 12．（多选）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当位于点时，的值最大 B．当位于点时，的值最小 C．的取值范围为 D．的最大值为 13．正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为______． 14．在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____． 15．如图，在平面四边形中，，当点为边的中点时，的值为__________，当点为边上的动点，的最小值为__________． 题型4 三角形的重心 16．已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为_____． 17．已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 18．在△ABC中，·+·+·，其中G是△ABC的重心，则△ABC的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 19．已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足，求证：点的轨迹一定经过的重心． 20．已知PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，，，，点G为的重心，即点G是三条中线的交点，且. (1)求x，y，z的值； (2)求点G到直线PA的距离， 题型5 三角形的垂心 21．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 22．已知是的垂心，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．-1 23．已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 24．设O是平面上一定点，动点P满足，，且A，B，C是平面上不共线的三点，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 25．（多选）在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 题型6 三角形的内心 26．O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 27．设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 28．已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 29．设为的内心，，，，，则______． 30．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 题型7 三角形的外心 31．点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 32．在中，，若为的外心，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 33．已知点是的外心，，若，，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 34．已知的外心满足，若，且，则______. 35．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 4．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 5．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 6．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 7．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 8．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 1．已知单位圆上两点，，弦，点为圆上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．（多选）如图，在边长为2的正方形中，为以为圆心、为半径的圆弧（包含，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为4 D．过作交于，则的最大值为5 4．（多选）四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（    ） A． B．当时，为CD中点 C．的最小值为 D．的最大值为 5．（多选）四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（    ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为3 D．的最大值为5 6．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗花是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形，已知是其边上任意一点，，则的最大值为______．    7．（多选）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 8．（多选）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 9．中，，则的最小值为___________． 10．点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 11．平面向量，，，有，，，且，则的最大值为_________． 12．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 13．已知为的外心，，，．若，则______． 14．如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点. (1)若，求的值； (2)若，求取得最小值时的值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $