精品解析：2026年湖南省长沙市立信中学中考前模拟数学试题

2025-2026学年度第二学期初三第三次模拟考试试卷（数学） （满分：120分 时量：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国内最先进的芯片代工厂是中芯国际，目前快要达到量产7nm工艺芯片的技术，而华为下一代的芯片采用的是5nm水平，5nm＝0.000 000 005m，数据0.000 000 005用科学记数法表示为（　　） A. 5×10﹣9 B. 50×10﹣10 C. 0.5×10﹣8 D. 5×10﹣8 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 窗格作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．下列窗格样式图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作米，则向西走800米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵向东走记作正数，向西走记作负数， ∴向西走800米可记作米． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和单项式乘多项式法则计算各选项即可判断正误． 【详解】选项A，∵ ，∴选项A错误； 选项B，∵，∴选项B错误； 选项C，∵，∴选项C错误； 选项D，∵，∴选项D正确． 5. 乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）． A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义，分别判断去掉一个最高分和一个最低分后各统计量的变化即可求解． 【详解】解：先将原7个数据从小到大排列为：， 判断中位数：原数据共7个，中位数为第4个数据，原中位数是；去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据从小到大排列为，中位数为第3个数据，仍为，中位数不变，C正确； 判断平均数：原数据总和为 ，原平均数为 ，去掉极端值后平均数为 ，平均数发生变化，B错误； 判断方差：方差反映数据波动程度，平均数改变，数据个数改变，方差一定发生变化，A错误； 判断众数：原数据中和都出现2次，众数为和，去掉一个后，只有出现2次，众数发生变化，D错误． 6. 将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得． 【详解】解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标为，即． 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 函数y＝2x－3，y随x增大而减小 B. 直线y＝－x＋2经过第一、二、三象限 C. 函数（x＜0），y随x增大而增大 D. 二次函数的图象向上平移6个单位后得到的函数解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数的图象与性质、反比例函数的图像与性质、二次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，∵2＞0， ∴y随x的增大而增大，故A选项错误； B选项中，∵k＜0，b＞0， ∴图象经过一、二、四象限，故B选项错误； C选项中，∵该函数图象位于第二象限， ∴y随x的增大而增大，故C选项正确； D选项中，∵该二次函数图象向上平移6个单位得到的函数解析式为， 故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图像与性质、二次函数的图象与性质和平移等内容，解题关键是牢记相关概念和图象平移法则． 8. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质求解即可． 【详解】，， ． 9. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，则，过圆心点， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为，则y关于x的函数关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到y关于x的函数关系式． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0， 故，即． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对大课间“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从八段锦、转呼啦圈、自由活动、跳长绳、其他等5个方面进行问卷调查（每位学生选且只能选一项），根据调查结果统计，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的．若全校共有学生1400人，估计该校喜欢自由活动的学生大约有______人． 【答案】560 【解析】 【分析】根据样本估计总体的思想进行解答即可． 【详解】解：由题意，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的，全校共有学生1400人，根据样本估计总体，可知该校喜欢自由活动的学生大约有人， 故答案为560． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 14. 如图，菱形的对角线与相交于点O，若菱形的面积为24，，则的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的面积为24，， ∴, ∴． 15. 如图，是的直径，与相切于点B，连接交于点D．若，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】先根据切线的性质求出的度数，由直径的性质得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与相切于点，且为直径， ， ， ． 是的直径， ， ． 16. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，依次类推那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算、、、、、、、，找到规律，通过规律得结论． 本题考查了新定义运算，掌握新定义运算的规定，找到的值的规律是解决本题的关键． 【详解】解：，，，， ，，，， 通过上面的计算不难发现：的值以为周期循环，即，，，为整数． ，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂和特殊角的三角函数值法则，先分别计算每个部分，再进行加减合并即可得到结果． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【解析】 【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，最后代入即可求值． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 19. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 【答案】（1）③；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理． （1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答； （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；②． 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）得是线段的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得是的角平分线， ． 20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_____人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______ （2）如果某个社区共有3600人，那么选择其他支付的人约有多少？ （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）200； （2）270人 （3） 【解析】 【分析】（1）由使用现金人数为50人，占比为求解总人数即可；根据使用支付宝人数为45人求解圆心角度数即可； （2）根据使用其他方式的人数为15人，计算即可； （3）画出树状图，计算出总的可能结果，再求出两人恰好选择同一种支付方式的可能结果，由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：使用现金人数为50人，占比为， 则本次活动调查的总人数为（人）， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：本次活动调查使用其他方式的人数为15人， 则某个社区共有3600人时，选择其他支付的人有人； 【小问3详解】 将微信记为、支付宝记为、银行卡记为，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种， 则两人恰好选择同一种支付方式的概率为. 21. 如图，在中，D是边上的一点（不与点B，C重合），是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，则，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）先得出的长，再得出的长，进而可得的长，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴． 22. 三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： （1）根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ （2）若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】（1）足球和篮球的单价分别为元 （2）有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个 【解析】 【分析】（1）设足球和篮球的单价分别为元，根据对话信息建立二元一次方程组求解； （2）设购买足球个，篮球个，由题意得，，整理得，，再根据题意以及的约束条件求解． 【小问1详解】 解：设足球和篮球的单价分别为元， 由题意得，， 解得 答：足球和篮球的单价分别为元； 【小问2详解】 解：设购买足球个，篮球个， 由题意得，， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，即为的倍数， ∵， ∴当时，； 当时， 当时，（舍去）， ∴当时，均不符合题意， ∴有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个． 23. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点O，景点A，B分别在道路a，b上，为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C，经测得景点A位于休息区C的西偏南方向上，景点B位于景点A北偏东方向上，已知． （1）的度数为 ； （2）求景点B到休息区C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，这两角的差即为所求角； （2）利用解直角三角形的知识分别求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵景点B位于景点A北偏东方向上，景点A位于休息区C的西偏南方向上， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：景点B到休息区C之间的距离为． 24. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，先求出和的值，再求出顶点的坐标，然后利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据建立方程求出点的坐标，然后根据对角线互相平分可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“立信之点”满足，， ∴点是矩形“立信之点”． 【小问2详解】 解：∵点是抛物线上的“立信之点”， ∴点是直线上的点， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立得：， ∴是这个关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， 将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∴，，， ∵是以点为直角顶点的直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴，即， 解得或， 当时，二次函数为，顶点坐标为， 联立，解得或， 此时，点与点重合，不能构成，不符合题意，舍去， ∴的值为1． 【小问3详解】 解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 联立得：， 解得或， ∴，， 设点的坐标为， ∵以为顶点的菱形是以为对角线的， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得或， 当时，，则此时点的坐标为， 当时，，则此时点的坐标为， 设点的坐标为， 由菱形的性质得：对角线互相平分， ∴或， 解得或， ∴存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或． 25. 如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． （1）若，求的大小； （2）若，且，求的半径长； （3）记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求得，再根据圆周角定理求解即可； （2）过O作于G，根据垂径定理得，设，根据可得，证明是等腰直角三角形得到，则，进而可求解； （3）利用三角形的面积公式可得，，，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过O作于G，则， 设，则，， ∵， ∴， 整理，得，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，， ∴，即的半径长为3； 【小问3详解】 解：如图，过B作于E，过D作于F， ∴， ， ， ∵， ∴，则， 又∵，，， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期初三第三次模拟考试试卷（数学） （满分：120分 时量：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国内最先进的芯片代工厂是中芯国际，目前快要达到量产7nm工艺芯片的技术，而华为下一代的芯片采用的是5nm水平，5nm＝0.000 000 005m，数据0.000 000 005用科学记数法表示为（　　） A. 5×10﹣9 B. 50×10﹣10 C. 0.5×10﹣8 D. 5×10﹣8 2. 窗格作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．下列窗格样式图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作米，则向西走800米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）． A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 6. 将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 函数y＝2x－3，y随x增大而减小 B. 直线y＝－x＋2经过第一、二、三象限 C. 函数（x＜0），y随x增大而增大 D. 二次函数的图象向上平移6个单位后得到的函数解析式为 8. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为，则y关于x的函数关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 因式分解：___________． 12. 某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对大课间“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从八段锦、转呼啦圈、自由活动、跳长绳、其他等5个方面进行问卷调查（每位学生选且只能选一项），根据调查结果统计，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的．若全校共有学生1400人，估计该校喜欢自由活动的学生大约有______人． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 14. 如图，菱形的对角线与相交于点O，若菱形的面积为24，，则的长为_______． 15. 如图，是的直径，与相切于点B，连接交于点D．若，则的度数为______． 16. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，依次类推那么的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_____人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______ （2）如果某个社区共有3600人，那么选择其他支付的人约有多少？ （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 21. 如图，在中，D是边上的一点（不与点B，C重合），是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 22. 三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： （1）根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ （2）若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 23. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点O，景点A，B分别在道路a，b上，为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C，经测得景点A位于休息区C的西偏南方向上，景点B位于景点A北偏东方向上，已知． （1）的度数为 ； （2）求景点B到休息区C之间的距离（结果保留根号）． 24. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． （1）若，求的大小； （2）若，且，求的半径长； （3）记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $