精品解析：福建宁德市霞浦县2024-2025学年第二学期八年级阶段性训练数学试题

霞浦县2024-2025学年第二学期八年级阶段性训练 数学试题 （满分：100分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 用数学的眼光观察下列标识图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 10 D. 20 6. 下列现象不是旋转的是（ ） A. 传送带传送货物； B. 飞速转动的电风扇； C. 钟摆的摆动； D. 自行车车轮的运动 7. 用反证法证明“在同一个平面内，若，，则”时，应先假设（ ） A. a不垂直于c B. a与b相交 C. a不垂直于b D. a，b都不垂直于c 8. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 9. 如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 分解因式：________． 12. “x与3的和不大于1”用不等式表示为________． 13. 在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是___________． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，垂足为，的周长是______． 15. 将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是_____cm2． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：；；点到各边的距离相等；设，，则．其中，正确的是______（只填写序号） 三、解答题（本大题共8题，满分58分，请在答题卡的相应位置作答） 17. 分解因式： 18. 解不等式组： 19. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，．求证：是等腰三角形． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 21. 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________； （2）计算： ①；②； （3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求． 22. 漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． （1）求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ （2）据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 23. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 24. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰中，，，点是上的一点，将绕点逆时针旋转旋转后得到，连接，求证：． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，，，于点，于点，点、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：如图③，已知四边形，，，，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霞浦县2024-2025学年第二学期八年级阶段性训练 数学试题 （满分：100分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 用数学的眼光观察下列标识图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 若，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用不等式的基本性质判定即可． 【详解】A．若，则，说法成立，不符合题意； B．若，则，故说法成立，不符合题意； C．若，则，故说法成立，不符合题意； D．若，则，故说法不成立，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质． 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得： A、，等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； B、，等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4. 已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在数轴上找不等式的解集可直接得出结论． 【详解】这个不等式可以是：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据数轴得到不等式的解集是解答此题的关键． 5. 已知，则（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】把化简，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是利用整体思想代入求值． 6. 下列现象不是旋转的是（ ） A. 传送带传送货物； B. 飞速转动的电风扇； C. 钟摆的摆动； D. 自行车车轮的运动 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的定义依次分析每个选项即可． 【详解】解：A选项中的现象属于平移，故A正确； B、C、D选项中的现象都属于旋转；故都不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的定义，解题关键是牢记旋转指的是在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转． 7. 用反证法证明“在同一个平面内，若，，则”时，应先假设（ ） A. a不垂直于c B. a与b相交 C. a不垂直于b D. a，b都不垂直于c 【答案】B 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设证明结论不成立，反面成立，所以在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交． 【详解】解：反证法证明“在同一个平面内，若，，则”时，应先假设“与不平行”，而对于平面内两条直线的位置关系（除了重合）不是相交就是平行，所以“与不平行”即表示“与相交”， 故选：B． 【点睛】本题考查反证法，解题的关键是掌握反正法的步骤．尤其是要准确理解结论的反面：如果结论只有一种结果，否定一种即可；如果结论有多种情况，必须一一否定． 8. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD， 即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故选A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键． 9. 如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数的图像，再由图像即可以判断出 的解集． 【详解】解：如图所示，将直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点， 由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0， 因此，当x>0时，， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 10. 如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，求得是等边三角形，，得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为的中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】多项式各项含有公因式，可通过提公因式法将多项式化为两个因式乘积的形式，据此求解. 【详解】解： ． 故答案为． 12. “x与3的和不大于1”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】x与3的和表示为，不大于1即小于等于1，由此列出不等式即可． 【详解】解：“x与3的和不大于1”用不等式表示为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，正确选择不等号． 13. 在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，根据向下平移2个单位，再向左平移3个单位，即纵坐标减去2，横坐标减去3，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位， 则移动后的点的坐标是， 故答案为： 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，垂足为，的周长是______． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，则，则可求得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 即的周长是， 故答案为： 15. 将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是_____cm2． 【答案】18 【解析】 【分析】由于BCDE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm， ∴AC=6cm． 由题意可知BCED， ∴∠AFC=∠ADE=45°， ∴AC=CF=6cm． 故S△ACF=×6×6=18（cm2）． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了相等腰三角形的判定及性质定理、含30度角的直角三角形的性质，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：；；点到各边的距离相等；设，，则．其中，正确的是______（只填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出，于是可得结论正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论正确； 如图，过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，满分58分，请在答题卡的相应位置作答） 17. 分解因式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 18. 解不等式组： 【答案】﹣3≤x＜2 【解析】 【详解】分析：首先求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，可得答案． 详解：， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥-3， 不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图 原不等式组的解集为-3≤x＜2． 点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键． 19. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：是的角平分线，于点，于点， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】由角平分线的性质得，进而证明，得到，即得到，即可求证． 【详解】略 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形， （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 如图1，即为所求； 【小问2详解】 如图2，即为所求； 【小问3详解】 解：如图3， 根据图形可知： 旋转中心的坐标为：， 故答案为：． 21. 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________； （2）计算： ①；②； （3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求． 【答案】（1）51 （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“慧泉数”的定义分析即可； （2）根据的定义求解即可； （3）根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式，结合“慧泉数”个位数字与十位数字的特点可得的值． 【小问1详解】 解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”． 【小问2详解】 解：，． 【小问3详解】 解：，均为慧泉数， ，解得或或． 由，得的值等于的个位数字与十位数字之和， ，， ， ，解得． 或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键． 22. 漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． （1）求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ （2）据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； （2）商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； 【小问2详解】 解：设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯， 根据题意得：， 解得：， 设商家售完这1000杯果汁可获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 答：商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 23. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3）当等于或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 24. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰中，，，点是上的一点，将绕点逆时针旋转旋转后得到，连接，求证：． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，，，于点，于点，点、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：如图③，已知四边形，，，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，，进而得到，利用“”即可证明； （2）将绕点旋转后得到，此时与重合，得到，证明点、、三点共线，再证明，即可得到、、之间的数量关系； （3）连接，将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作于，由旋转的性质可知，，，，利用勾股定理，得到，进而得到，再利用勾股定理，求得，设等边的高为，求出，进而得到，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：由旋转性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， 如图，将绕点旋转后得到，此时与重合， ， ，，，， ，， ， 点、、三点共线， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， 将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作于， 由旋转的性质可知，，，， 是等边三角形，，， ，， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 设等边的高为， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，利用旋转的性质作辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $