第四章 课时作业1 任意角、弧度制及任意角的三角函数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以任意角、弧度制、三角函数定义为核心，通过分类讨论、符号分析等方法构建从概念到应用的逻辑体系，强化数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2、填空10-11|三角函数定义法、终边位置参数分析|从任意角终边定义到三角函数值计算，构建“位置-符号-数值”关联| |符号判断|单选3-5、多选7-8|象限角符号法则、分类讨论思想|通过三角函数符号关系推导角的象限，强化逻辑推理| |数学文化|单选6|割圆术思想迁移|结合刘徽割圆术，体现数学史与弧度制的应用价值| |综合计算|解答13-14、填空12|扇形公式应用、最值模型构建|从弧度制到扇形面积/弧长计算，形成“概念-公式-应用”完整链条|

课时1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、 单选题 1.（2026·江西九江第一中学检测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 3、若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4.已知是第一象限角，那么是　 　 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 5．已知都是第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6、(2026·江苏宿迁市月考)我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图，当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．则运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（    ）    A．时， B．时， C．时， D．时， 二、多选题 7．关于角度，下列说法正确的有( 　) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角 8、下列条件中，能使得α和β的终边关于y轴对称的有(　 　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝180° C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) 9、(2026·吉林长春市模拟)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点A在点(1,0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 rad/s的角速度按逆时针方向运动，则有(　　) A．经过1 s后，扇形AOB的面积为 B．经过2 s后，劣弧AB的长为 C．经过6 s后，质点B的坐标为 D．经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇 2、 填空题 10. 已知角α的终边经过点(3a-9，a+2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是　　　　.  11、已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝ ． 12.用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为 ． 四、解答题 13.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1) 若α＝75°，R＝12 cm，求该扇形的弧长l和面积． (2) 若扇形的周长为20 cm，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 14．(2024·安徽合肥市二中月考)如图，在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tan α的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈，请写出劣弓形AB的面积S关于α的函数关系式． 课时1 任意角、弧度制及任意角的三角函数参考答案 1.A【解析】根据题意，.由三角函数的定义，得.故选A. 2．A【解析】由题意，得， .又，显然，，.故选A. 3、C【解析】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角.由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角.综上可知，α是第三象限角.故选C. 4.D【解析】因为的取值范围是，所以的取值范围是.分类讨论：①当（其中时，的取值范围是，即属于第三象限角．②当（其中时，的取值范围是，即属于第一象限角．故选D． 5．C【解析】若，则即，而都是第二象限角，故，故，故“”是“”的充分条件.若，因为都是第二象限角，故，所以即，故“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充要条件.故选C. 6、A【解析】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，作于点，则为的中点，且. 因为，在中，，即，所以，则，所以正十二边形的周长为，所以.故选A. 7．BD【解析】对于选项A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是－60°，故错误； 对于选项B，钝角一定大于锐角，显然正确； 对于选项C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误； 对于选项D，因为角α的终边在第二象限，所以2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋<< kπ＋，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三象限角，故正确．故选BD. 8、BD【解析】根据α和β的终边关于y轴对称时α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)可知，对于选项B，α＋β＝180°符合题意；对于选项D，α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)符合题意；对于选项AC，可取α＝0°，β＝90°时显然可见α和β的终边不关于y轴对称．故选BD. 9、BD【解析】由题意可知，经过1 s后，∠AOB＝－＋＝，所以此时扇形 AOB的面积为α·r2＝××12＝，故A错误； 经过2 s后，∠AOB＝－2×＋2×＝，所以此时劣弧AB的长为αr＝，故B正确； 经过6 s后，质点B转过的角度为6×＝，结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故C错误； 经过s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度为×＝－， 因为－＋＝2π，所以经过s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故D正确．故选BD. 10.(-2，3]【解析】由cos α≤0，sin α>0可知，解得-2<a≤3. 11、－【解析】依题意，得cos α＝＝x<0，由此解得x＝－. 12.【解析】设圆锥的母线长为，底面圆半径为.因为扇形的圆心角为，，解得.因为扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，，所以在圆锥的轴截面中，，.由余弦定理可得. 13.【解】(1) α＝75°＝，l＝12×＝5π(cm)，所以S＝lR＝30π(cm2). (2) 由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10(cm)，α＝2 rad. 14．【解】(1)由题意，可得B，根据三角函数的定义，得tan α＝＝－. (2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为． (3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α(r为半径)，而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，故劣弓形 AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈. . 学科网（北京）股份有限公司 $