第16讲 双曲线的四心专题训练-2026年高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

**基本信息** 聚焦双曲线与三角形重心、内心、外心、垂心的综合应用，以题型分类构建“几何性质+代数运算”的系统解题体系，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线与重心|1典例+5变式|重心坐标公式+韦达定理|双曲线方程→直线与双曲线联立→重心坐标关系→离心率/范围求解| |双曲线与内心|2典例+10变式|内切圆性质+面积公式|焦点三角形→内切圆半径/切点坐标→角平分线/相似三角形→离心率/轨迹分析| |双曲线与外心|2典例+8变式|中垂线性质+坐标关系|直线与双曲线相交→中点中垂线方程→外心坐标条件→直线方程/离心率推导| |双曲线与垂心|2典例+5变式|垂直斜率关系+欧拉线定理|渐近线/焦点三角形→垂心坐标性质→斜率乘积/距离关系→离心率求解|

第16讲 双曲线与四心问题专题训练 目 录 题型01：双曲线与重心 1 题型02：双曲线与内心 6 题型03：双曲线与外心 18 题型04：双曲线与垂心 27 题型01：双曲线与重心 【典型例题】已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】，设，设斜率为的直线为， 联立，消去并整理得， ，，即， 设，，则， ， 因为的重心为点，所以，， 所以，，所以，， 消去得，得，得， 得，得，得， 得，.故选：A 【变式训练1-1】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，双曲线的右焦点为，且， 设点为的中点，因为为的重心，所以， 即，解得，即， 因为直线与的右支交于两点，则满足， 整理得，解得或（舍去）， 当离心率为时，即时，可得，此时， 设，可得， 又由，两式相减可得， 即直线的斜率为， 又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意， 综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为.故选：A. 【变式训练1-2】(多选）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ） A．的离心率的取值范围为 B．的离心率的取值范围为 C．直线斜率的取值范围为 D．直线斜率的取值范围为 【解析】设为的中点，根据重心性质可得， 因为，则， 因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部， 故有，解得， 当直线斜率不存在时，的中点在轴上，故三点不共线，不符合题意舍， 设直线斜率为，设，所以，， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得：， 即，即有成立， 即有，因为不共线，即，即，即， 所以的离心率的取值范围为， 因为， 因为，即，所以， 所以.故选：AC 【变式训练1-3】（多选)若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（  ） A．双曲线的离心率为 B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则. D．存在点，使得 【解析】由题意，双曲线，可得， 则离心率为，所以A正确； 设，的内切圆与边切于点，与边切于点， 与边切于点，可得， 由双曲线的定义可得，即， 又由，解得，则的横坐标为， 由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，所以B不正确； 由且，解得， 则，可得， 所以，同理可得， 设直线，直线，联立方程组，求得， 设的内切圆的半径为，则， 解得，即有，可得， 由，可得，解得，可得，所以C正确； 设，则， 设的内切圆的半径为，则， 于是，可得， 若，可得，即，又由，联立可得， 因此，解得，即存在点，使得，所以D正确. 故选：ACD. 【变式训练1-4】已知，是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ． 【解析】由题意知. 如图，为的内切圆，切点分别为A、B、C，设， 则，由双曲线的定义知， ，即， 又，所以， 得，即. 又的重心G与内心I的连线平行与y轴，即轴于点A，所以. 因为，所以， 代入双曲线方程，得，解得，即， 又，所以， 所以. 【变式训练1-5】已知双曲线C：的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为， 设，因为的重心点的坐标为， 所以，解得，所以，则代入得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由题意知直线的斜率必存在，设的方程为， ，则，联立， 化简得， 则，且， 由韦达定理得，， 则直线的方程为：， 令，则 ，故.   . 题型02：双曲线与内心 【典型例题1】已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】 由双曲线方程得：，，则，设内切圆与三边相切于点， ，，，， 又，，， 设，则，解得：，即； 同理可知：内切圆与轴相切于点； 分别为的角平分线，， 又，∽，则，设内切圆半径分别为， ，，即， ， 双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角， ，则， ，解得：， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； ，.故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ． 【解析】当时，， 由于点到直线的距离为，所以直线的斜率， 因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点， 所以轴，不妨设直线交轴于点，则，所以点的坐标为， 所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得， 所以两点的坐标分别为：， 设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到， 所以双曲线方程为：. 【变式训练2-1】已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】因为，所以，即， 所以，所以离心率，设的内切圆半径为， 则，又， 所以，即， 所以，所以.故选：B. 【变式训练2-2】已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】如下图示，延长到且，延长到且， 所以，即， 故是△的重心，即，又， 所以，而是的内心，则， 由，则，故，即.故选：D 【变式训练2-3】已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意， 在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2， ∴，解得：，∴ ∴双曲线的方程为.    记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，横坐标相等，，， 由，即， 得，即，记的横坐标为，则， 于是，得，同理内心的横坐标也为，故轴. 设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点）， 在中，， 由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为， ∴，即，∴的范围是.故选：D. 【变式训练2-4】（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（    ） A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧 C． D． 【解析】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为. 过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心， 设圆P与的切点分别为，则， 则，解之得 则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合， 则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M， 同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.则直线的方程为， 双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上. 则选项A判断正确；选项B判断错误； 选项C：.判断正确； 选项D：由直线的方程为，可得.判断正确. 故选：ACD 【变式训练2-5】（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率为 C． D． 【解析】 因为为正三角形，所以，所以， 所以，故A正确 将点坐标代入双曲线方程可得， 即，即， 即，即，设（），则， 解之得：或（舍）， 所以，所以，故B正确， ，故C错误， ， 设的内切圆半径为，则，，， ，， 所以，即，故D正确 故选：ABD 【变式训练2-6】（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（    ） A．若C的离心率，则的取值范围是 B．若且，则C的离心率 C．若C的离心率，则 D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则 【解析】对于选项A，当时，双曲线的渐近线方程为，其倾斜角分别为，，因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，所以的取值范围是，故A错误． 对于选项B，由双曲线的定义可知，又，故，，由，得，所以，连接 ，则，由得，在中，由余弦定理得， 得，故，故B正确． 对于选项C，因为C的离心率，所以，设的内切圆I的半径为r， 则，故C正确． 对于选项D，设，因为，AP为的平分线，所以为等腰三角形，，，则，在中，OP为中位线，所以．设的内切圆I与，，相切的切点分别为D，N，M，则， 又所以，，故D正确． 故选：BCD． 【变式训练2-7】已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，点B为的内心，直线PB交x轴于点A，且，则双曲线C的渐近线方程为 ． 【解析】如图所示，设内切圆与的三边分别相切于三点， 过P作轴于M点，因为，，， 又由双曲线定义得，即，由，故，即点横坐标为，因为直线的斜率为，所以，， 又因为，所以，故直线的方程为，令，可得，即， 因为，且，所以，故， 可得，， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 即，解得，或（舍去），所以， 故双曲线C的渐近线方程为或． 故答案为：或． 【变式训练2-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ． 【解析】如图，连接MG，MI并延长，与分别交于点O，D， 设双曲线C的焦距为2c，由题意，得， 因为，且G为重心，则，所以， 因为I为的内心，所以MD为的平分线， 所以，所以， 又，所以，， 设的内切圆半径为r，则M到x轴的距离为3r， 因为，， 所以，所以，所以双曲线C的离心率． 【变式训练2-9】已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【解析】（1）圆的圆心为，半径， 因为，所以，又因为，所以， 所以， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为，则，. 所以，， 又不可能在轴上，所以曲线的方程为.    （2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上. 证明如下：由条件可设：.代入， 得，设，，则 ，得， 所以 所以，取， 则 又，都在轴上方，所以的平分线为定直线， 所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上. 【变式训练2-10】已知点是双曲线的左、右焦点，是右支上一点，的周长为，为的内心，且满足. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，满足（其中），求的取值范围. 【解析】（1）设内切圆半径为， 由题意. 所以，因为的周长为， 所以，所以， 所以，所以双曲线的标准方程为. （2）由题知，直线斜率存在且不为，可设其方程为， ，联立，整理得 因为直线与双曲线右支交于两点，则有， 解得，所以， 因为，所以， 所以，即，同理， 所以，① ② 两式相除得. 因为， 当与渐近线平行时，，此时， 因为与双曲线右支交于两点，所以，.所以，所以， 即的取值范围为. 题型03：双曲线与外心 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由椭圆可得：， 故椭圆E的左、右顶点分别为，椭圆E的上焦点， 则，故双曲线， 设双曲线的焦距为，则，即，故， 当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，AB边上中垂线为x轴， 若外心Q落在y轴上，则， 但此时，由，则不符合题意； 当直线l斜率存在时，设， 联立消去y可得， 则，， 因为A，B位于双曲线C的右支，则或， 则， 设AB的中点，则Q在AB的中垂线上， 所以，解得，所以， 由，可得，整理得， 由，得或（舍去）， 综上所述：直线方程为．故选：D． 【典型例题2】已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程． 【解析】（1）由题意，则，由渐近线方程，即，则，解得， 故双曲线. （2）已知，由（1）可知，，则，即， ①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程， 可得，解得，则， 此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，，由，则不符合题意； ②当直线斜率存在时，设， 联立可得，消去可得：， 设，则，， 由于位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或， ，记的中点， 设，则在的中垂线上，设直线的斜率为，则， ，显然，则，可得， 由，则，又因， 可得， 整理可得：， ， ，，由，则， 直线方程为，即或. 【变式训练3-1】已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【解析】离心率为，则有： 又有：可得：，此时两条渐近线垂直，即，且直线和直线均与轴的夹角均为，则的外心为在线段的中点 若双曲线M经过点，根据双曲线的对称性可知：当且仅当轴时，且点为双曲线的顶点 此时有：，，的面积为12，则有：， 解得：，故双曲线的实轴长为：，故选：C 【变式训练3-2】在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x 【解析】由△PF1F2的外心M，知：， ∴在△中，，即，故∠F1PF2＝， 在△中，，而， ∴，即， ∴，而， ∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．故选：D． 【变式训练3-3】已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．5 【解析】不妨设点在第二象限，设，， 由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则， 故有，且，解得，， 将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.故选：C. 【变式训练3-4】设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】由题,因为,所以、、三点共线, 因为点为线段的中点,的外心为,所以,即, 设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点, 则在中,,即,所以是直角三角形,所以, 因为,由双曲线定义可得,所以, 则,因为,整理可得, 所以,则,故选:D 【变式训练3-5】已知点、、，直线上有两个动点、，始终使，三角形的外心轨迹为曲线，为曲线在一象限内的动点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设点、， 设的外心为，则，可得出， 因为，则， 将代入并化简得， 即，在中，由余弦定理， 即， 整理可得，所以，， 即，① 将、代入①可得， 整理可得，即的外心轨迹方程为， 设点，则，即， 而，，则， 又，所以， 因此，.故选：C. 【变式训练3-6】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，得， 由，得，得，由，得，得， ， ，， 若为重心、为外心、为垂心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得不成立； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心，为垂心、为外心，则， ，化简得，此时双曲线的离心率； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得或， 此时双曲线的离心率或， 若为重心，为垂心、为外心，则， 所以，化简得或都不成立. 综上所述：或或或. 故选：ABD 【变式训练3-7】已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为 . 【解析】由知，设直线的方程为， 联立方程组得， 由直线与双曲线右支交于两点可得     解得，即或. 设，则，因为， 所以线段的中点为， 且. 设，因为在线段的垂直平分线上，所以， 得，即，故. 因为，且， 所以，化简得， 得或（舍去），所以直线的方程为， 即直线的方程为或. 【变式训练3-8】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为 . 【解析】取的中点为C，连接BC、、，如图所示： 因为，所以， 又C为的中点，所以为等腰三角形且， 因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且， 由双曲线的定义知，则， 所以为等边三角形，则， 在中，即，化简得， 同时除以可得，解得或(舍去). 【变式训练3-10】已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程； (2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心. 【解析】（1）解:设动点坐标为,则根据题意得, 两边同时平方,化简可得,所以曲线的方程为; （2）由题设点,因为点不在轴上,即, 所以曲线在点的切线斜率存在,设为,则在点的切线方程为:, 联立方程组:,整理得:, 因为双曲线的渐近线为,所以, ,令,得． 因为点在双曲线上,所以,即, 所以,因为，所以两边同时除以,解得． 所以在点的切线方程为,即． 因为,,所以, 所以直线中垂线方程为,即, 因为,,所以直线的斜率为,线段的中点为, 所以直线中垂线的斜率为, 所以直线中垂线的方程为． 联立直线与直线, 得外心坐标． 将外心横坐标代入过点的切线方程, 化简得到,与外心的纵坐标相等． 所以曲线在点的切线经过的外心． 题型04：双曲线与垂心 【典型例题1】已知双曲线 的右焦点为，以坐标原点为圆心、为 半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（    ） A． B． C． D． 【解析】 连接交于，由题意知，，，，，， 在中，，，，所以，， 因为，，所以， ，，所以，整理得， 即，整理得， 设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.故选：B. 【典型例题2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，得， 由，得，得， 由，得，得， ， ， ， 若为重心、为外心、为垂心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得不成立； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心，为垂心、为外心，则， ，化简得，此时双曲线的离心率； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得或， 此时双曲线的离心率或， 若为重心，为垂心、为外心，则， 所以，化简得或都不成立. 综上所述：或或或. 故选：ABD 【变式训练4-1】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图所示： 双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立， 解得或，所以，， 因为的垂心为的焦点，所以， 即，即，所以，故选：A 【变式训练4-2】在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（     ） A． B． C． D． 【解析】抛物线的焦点的坐标为， 设所在的直线方程为所在的直线方程为， 由得∴点的坐标为， ∵是的垂心，∴，∴ ∴﹒故选：C﹒ 【变式训练4-3】设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（     ） A．存在唯一的，且 B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 C．存在唯一的，且 D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 【解析】由题意可设，设的垂心，则，，由可得，解得，故. 因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，即，化简可得，设，则. 作出与的图象，因为当时，，当时，，故存在唯一的，且，使得当. 即存在唯一的，且，使得.故选：A. 【变式训练4-4】（多选）双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（    ） A．外心的轨迹是一条直线 B．当变化时，外心的轨迹方程为 C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上 D．若分别是中点，则的外接圆过定点 【解析】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2， 所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线. 设. 当点在双曲线上时： 设直线与双曲线交两点    当直线与双曲线相切时，此时切点满足： 切线 设直线与渐近线交两点    切点正是线段的中点， ∴；线段中垂线是. 中垂线与轴交于点，且. 可设 一方面，；另一方面，线段中点是 考虑到 ∴ ，点    确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！ 依（1）设 线段中点是 线段中垂线是，即 线段中垂线是，即 ∴ ，即外心的轨迹方程为.故选项B错！ （3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而 化简得 ∴ 把代入并化简得： 考虑到不在渐近线上得，故 ∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误； （4）设 共圆！ 的外接圆过定点原点，选项D对. 故选：AD 【变式训练4-5】已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点. (1)求双曲线的方程 (2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上. 【解析】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即， 所以双曲线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去得， 即，因为与双曲线C仅有一个公共点， 所以，解得, 故双曲线的方程为. （2）设，，则满足 消去得， 所以，， 如图所示，过A引的垂线交C于另一点H， 则AH的方程为. 代入得，即（舍去）或. 所以点H为. 所以 ， ，所以，故为的垂心，得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 双曲线与四心问题专题训练 目 录 题型01：双曲线与重心 1 题型02：双曲线与内心 3 题型03：双曲线与外心 7 题型04：双曲线与垂心 11 题型01：双曲线与重心 【典型例题】已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】，设，设斜率为的直线为， 联立，消去并整理得， ，，即， 设，，则， ， 因为的重心为点，所以，， 所以，，所以，， 消去得，得，得， 得，得，得， 得，.故选：A 【变式训练1-1】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】(多选）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ） A．的离心率的取值范围为 B．的离心率的取值范围为 C．直线斜率的取值范围为 D．直线斜率的取值范围为 【变式训练1-3】（多选)若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（  ） A．双曲线的离心率为 B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则. D．存在点，使得 【变式训练1-4】已知，是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ． 【变式训练1-5】已知双曲线C：的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 题型02：双曲线与内心 【典型例题1】已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】 由双曲线方程得：，，则，设内切圆与三边相切于点， ，，，， 又，，， 设，则，解得：，即； 同理可知：内切圆与轴相切于点； 分别为的角平分线，， 又，∽，则，设内切圆半径分别为， ，，即， ， 双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角， ，则， ，解得：， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； ，.故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ． 【解析】当时，， 由于点到直线的距离为，所以直线的斜率， 因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点， 所以轴，不妨设直线交轴于点，则，所以点的坐标为， 所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得， 所以两点的坐标分别为：， 设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到， 所以双曲线方程为：. 【变式训练2-1】已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练2-2】已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（    ） A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧 C． D． 【变式训练2-5】（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率为 C． D． 【变式训练2-6】（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（    ） A．若C的离心率，则的取值范围是 B．若且，则C的离心率 C．若C的离心率，则 D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则 【变式训练2-7】已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，点B为的内心，直线PB交x轴于点A，且，则双曲线C的渐近线方程为 ． 【变式训练2-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ． 【变式训练2-9】已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【变式训练2-10】已知点是双曲线的左、右焦点，是右支上一点，的周长为，为的内心，且满足. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，满足（其中），求的取值范围. 题型03：双曲线与外心 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由椭圆可得：， 故椭圆E的左、右顶点分别为，椭圆E的上焦点， 则，故双曲线， 设双曲线的焦距为，则，即，故， 当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，AB边上中垂线为x轴， 若外心Q落在y轴上，则， 但此时，由，则不符合题意； 当直线l斜率存在时，设， 联立消去y可得， 则，， 因为A，B位于双曲线C的右支，则或， 则， 设AB的中点，则Q在AB的中垂线上， 所以，解得，所以， 由，可得，整理得， 由，得或（舍去）， 综上所述：直线方程为．故选：D． 【典型例题2】已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程． 【解析】（1）由题意，则，由渐近线方程，即，则，解得， 故双曲线. （2）已知，由（1）可知，，则，即， ①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程， 可得，解得，则， 此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，，由，则不符合题意； ②当直线斜率存在时，设， 联立可得，消去可得：， 设，则，， 由于位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或， ，记的中点， 设，则在的中垂线上，设直线的斜率为，则， ，显然，则，可得， 由，则，又因， 可得， 整理可得：， ， ，，由，则， 直线方程为，即或. 【变式训练3-1】已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x 【变式训练3-3】已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．5 【变式训练3-4】设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练3-5】已知点、、，直线上有两个动点、，始终使，三角形的外心轨迹为曲线，为曲线在一象限内的动点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为 . 【变式训练3-8】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为 . 【变式训练3-10】已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程； (2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心. 题型04：双曲线与垂心 【典型例题1】已知双曲线 的右焦点为，以坐标原点为圆心、为 半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（    ） A． B． C． D． 【解析】 连接交于，由题意知，，，，，， 在中，，，，所以，， 因为，，所以， ，，所以，整理得， 即，整理得， 设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.故选：B. 【典型例题2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，得， 由，得，得， 由，得，得， ， ， ， 若为重心、为外心、为垂心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得不成立； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得，此时双曲线的离心率， 若为重心，为垂心、为外心，则， ，化简得，此时双曲线的离心率； 若为重心、为垂心、为外心，则， 所以，化简得或， 此时双曲线的离心率或， 若为重心，为垂心、为外心，则， 所以，化简得或都不成立. 综上所述：或或或. 故选：ABD 【变式训练4-1】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（     ） A．存在唯一的，且 B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 C．存在唯一的，且 D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 【变式训练4-4】（多选）双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（    ） A．外心的轨迹是一条直线 B．当变化时，外心的轨迹方程为 C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上 D．若分别是中点，则的外接圆过定点 【变式训练4-5】已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点. (1)求双曲线的方程 (2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $