第08讲 双曲线的小题题型训练-2026年高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

**基本信息** 系统归纳双曲线17类小题题型，以“定义-方程-性质-应用”为逻辑主线，融合多解题技巧与跨场景应用，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与方程|2题型/5典例|定义法、待定系数法|从定义推导标准方程，结合轨迹问题深化概念理解| |几何性质|4题型/8典例|渐近线转化、离心率公式法|性质间联动（如渐近线与离心率关系），渗透数形结合思想| |综合应用|11题型/20典例|点差法、焦点三角形公式、参数范围分析|从代数运算到几何直观，构建“性质-几何量-实际应用”完整链条|

第08讲 双曲线的小题题型归纳 目 录 题型01：双曲线的定义 2 题型02：双曲线的标准方程 2 题型03：动点轨迹方程 8 题型04：方程求参数 11 题型05：双曲线的简单几何性质 12 题型06：双曲线的渐近线 14 题型07：直线与双曲线的位置关系 18 题型08：弦长问题 23 题型09：中点弦（点差法） 24 题型10：焦点三角形 28 题型11：离心率 43 题型12：面积问题 46 题型13：最值问题 48 题型14：双曲线中的切线方程和切点弦方程 60 题型15：双曲线中的光学性质 61 题型16：双曲线与向量 66 题型17：双曲线在日常生活中的应用 70 题型01：双曲线的定义 【典型例题1】与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【答案】A 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 【变式训练1-1】双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【变式训练1-2】复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【变式训练1-3】已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【变式训练1-4】已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型02：双曲线的标准方程 【典型例题1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【解析】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【典型例题2】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即，于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 【典型例题3】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【解析】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【典型例题4】双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】利用待定系数法设的方程为，，代入即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，则， 则方程为，即. 故选：B. 【典型例题5】已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 题型03： 【变式训练2-1】焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练2-3】已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-8】已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-9】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式训练2-10】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-11】已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-12】已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-13】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-14】已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-15】已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-16】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-17】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式训练2-18】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-19】与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【变式训练2-20】双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 【变式训练2-21】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【变式训练2-22】某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【变式训练2-23】双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 题型03：动点轨迹方程 【典型例题1】已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 【典型例题2】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【解析】由题意可得， 化简得． 故选：B. 【变式训练3-1】设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（  ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【变式训练3-7】已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【变式训练3-8】已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【变式训练3-10】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【变式训练3-11】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为____________ 【变式训练3-12】如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【变式训练3-13】设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【变式训练3-14】已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 题型04：方程求参数 【典型例题1】已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【解析】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C. 【典型例题2】“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 【变式训练4-1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知方程表示双曲线，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【变式训练4-3】（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【变式训练4-4】（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【变式训练4-5】（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【变式训练4-6】已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 题型05：双曲线的简单几何性质 【典型例题1】双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 【答案】C 【详解】对于双曲线的实轴长为4，虚轴长为， 焦距为，渐近线方程为； 对于双曲线，当时，实轴长为， 虚轴长为，焦距为，渐近线方程为； 当时，实轴长为，虚轴长为， 渐近线方程为，焦距为. 故选：C 【典型例题2】已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线即， 又虚轴长为，所以， 则双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【典型例题3】（多选题）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【答案】AC 【解析】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，． 所以C的方程可化为，则，，即，． 对于A，C的实轴长为4，故A正确； 对于B，离心率为，故B错误； 对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确； 对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为． 根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误． 故选：AC. 【变式训练5-1】若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【变式训练5-3】已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】（多选题）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【变式训练5-5】（多选题）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【变式训练5-6】（多选题）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【变式训练5-7】已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【变式训练5-8】已知双曲线，则C的焦点到其渐近线的距离为 ． 【变式训练5-9】双曲线的实轴长为4，则 . 【变式训练5-10】若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为 . 题型06：双曲线的渐近线 【典型例题1】双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 【典型例题2】若双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．-2 C． D．-4 【答案】D 【详解】令，所以. 故选：D 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 【变式训练6-1】若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 【变式训练6-3】若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-7】已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-8】已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-9】已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-10】已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【变式训练6-11】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【变式训练6-12】双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 【变式训练6-14】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 【变式训练6-15】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【变式训练6-16】已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【变式训练6-17】已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【变式训练6-18】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 题型07：直线与双曲线的位置关系 （1） 判断直线与双曲线的位置关系 【典型例题1】直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B 【变式训练7-1-1】直线与双曲线 的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式训练7-1-2】若直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式训练7-1-3】已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式训练7-1-4】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 （2） 充分必要性 【典型例题】已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A．K B．K C.K D． 【答案解析】A 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是 联立可得由可解得A 【变式训练7-2-1】“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-2-2】已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-2-3】“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3） 根据直线与双曲线位置关系求参数 【典型例题1】已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【典型例题2】 ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点，可得，且， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支， 且，则， 所以点的轨迹方程为，可得双曲线的渐近线方程为， 要使得直线与双曲线有公共点，需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【典型例题3】若直线与双曲线只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【详解】联立直线与双曲线， 代入得， 整理为， 若为一次方程，则，解得； 若为二次方程，则，且判别式， 也即， 该方程无实根，所以． 故答案为：． 【典型例题4】已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则 . 【答案】 【详解】由直线与双曲线的对称性，不妨设，点在第一象限， 则．由题意得，解得． 代入双曲线的方程，得，解得． 因为，所以． 故答案为：. 【变式训练7-3-1】已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-2】如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-3】如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-4】若直线与曲线只有一个公共点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-5】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA，PB的斜率分别为，，则的取值范围为 A. B. C. D. 【变式训练7-3-6】已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且．过作倾斜角为的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式训练7-3-7】已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-8】函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【变式训练7-3-9】若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-10】已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的虚轴长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-11】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-12】（多选）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．记，则的面积； C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 【变式训练7-3-13】若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则双曲线离心率的一个取值为 . 【变式训练7-3-14】在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． 题型08：弦长问题 【典型例题1】双曲线的焦点弦长为的弦有（    ） A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 【答案】B 【知识点】双曲线中的通径问题、求双曲线的焦距、双曲线的对称性 【分析】结合双曲线的通径、左右顶点的距离与对称性，分该弦与双曲线是否交于同一支讨论即可得. 【详解】由，可得其通径为， 注意到左右顶点的距离为， 所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在， 结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条. 故选：B. 【变式训练8-1】（多选）已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则（   ） A．双曲线C的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若，直线l的倾斜角为，则 【变式训练8-2】过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【变式训练8-3】已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 题型09：中点弦（点差法） 【典型例题1】已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【典型例题2】直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 【典型例题3】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【典型例题4】已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 【典型例题5】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 【典型例题6】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 【变式训练9-1】双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练9-2】若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【变式训练9-5】设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-6】（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【变式训练9-7】（多选）已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【变式训练9-8】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【变式训练9-9】已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【变式训练9-10】设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【变式训练9-11】设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【变式训练9-12】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【变式训练9-13】已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则正整数的最小值为 . 【变式训练9-14】过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为 . 题型10：焦点三角形 【典型例题1】双曲线方程为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点和点，以为直径的圆恰好经过点，且，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆的性质，双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，即可求解． 【解答】解：以为直径的圆恰好经过点， ，又， 设，则，， 又，， ， ，， ，， 又，且， ， ， ， ， ． 故选：． 【典型例题2】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【解题思路】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【解答过程】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D. 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【解析】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【典型例题4】过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D. 【典型例题5】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设点，分别为△，△的内心，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围． 【解答】解：记边、、上的切点分别为、、， 有、横坐标相等，则，，， 由， 即，得， 即，记的横坐标为，则，， 于是，得， 同样内心的横坐标也为，则有轴， 设直线的倾斜角为，则，， 在△中， ， 双曲线的，，， 可得，由于直线为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 可得，即， 可得的范围是，． 故选：． 【典型例题6】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 【典型例题7】已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】首先可以结合题意作出双曲线的图象，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果． 【解答】解：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在轴上， 设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 过点作于点， 因为， 所以， 所以点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可知，，所以， 因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且， 所以， 故， 因为，所以， 将代入双曲线中， 即， 化简得， 又， 所以， ， 解得或（舍去），， 则该双曲线的渐近线方程为， 故选：． 【典型例题8】双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【解析】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 【典型例题9】设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用双曲线性质、焦半径的范围将所求转换为对勾函数的最小值即可得解. 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 【典型例题10】已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【详解】因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.   代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. （一）单选题 【变式训练10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【变式训练10-4】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练10-5】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练10-6】已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-7】设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【变式训练10-8】已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【变式训练10-9】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-10】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 【变式训练10-11】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　　 A． B． C．3 D．2 （二）多选题 【变式训练10-1】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【变式训练10-2】已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（   ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 【变式训练10-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【变式训练10-4】已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C． D．的周长为 【变式训练10-5】已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【变式训练10-6】已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【变式训练10-7】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【变式训练10-8】已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 【变式训练10-9】设，是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是　　 A．到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C．△的外接圆半径为 D．△的面积为9 【变式训练10-10】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【变式训练10-11】已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【变式训练10-12】如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． （三）填空题 【变式训练10-1】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【变式训练10-2】双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 　　． 【变式训练10-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 【变式训练10-4】设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 【变式训练10-5】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【变式训练10-6】设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【变式训练10-7】已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【变式训练10-8】已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【变式训练10-9】是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是△的内切圆，设圆与，分别切于点，，若圆的半径为2，直线的斜率为 　　． 【变式训练10-10】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【变式训练10-11】椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 【变式训练10-12】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 【变式训练10-13】已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为 . 【变式训练10-14】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 【变式训练10-15】已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 题型11：离心率 （一）选择题 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【变式训练11-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练11-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练11-4】双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-5】过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练11-6】已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练11-7】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-8】设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-9】已知F是双曲线C：（，）的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-10】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 （二）填空题 【典型例题2】双曲线的两个焦点分别为，，点P在靠近的一支上，若，且有，则的离心率的值为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据及双曲线定义可知：.过作，垂足为M，则，即，即可求解双曲线离心率. 【详解】 由题可知：，则由双曲线定义可知：. 过作，垂足为M，则，即， 即，所以. 故答案为：. 【变式训练11-1】设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ． 【变式训练11-2】已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 【变式训练11-3】已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 【变式训练11-4】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交双曲线右支于点（在第一象限），的内心为，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【变式训练11-5】已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 题型12：面积问题 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 【变式训练12-1】已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为　　 A．3 B． C． D． 【变式训练12-4】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为 A． B． C． D． 【变式训练12-5】双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练12-6】已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 【变式训练12-7】双曲线的左､右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________. 【变式训练12-8】已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 题型13：最值问题 【典型例题1】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 【典型例题2】已知双曲线的左、右焦点为，，的一条渐近线为，点位于第一象限且在双曲线上，点满足：，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题可得双曲线方程，PM为角平分线，延长交于N，由中位线定理可得M所在轨迹，后由两点间距离公式结合不等式知识可得答案. 【解答过程】由的左、右焦点为，，的一条渐近线为， 可得双曲线方程为：， 因，则PM为的角平分线. 其中是延长相交而来，由对称性可得为等腰三角形， 则，M为的中点. 又由双曲线定义，可得，则. 因M为的中点，O为的中点，则， 则在以O为圆心，半径为的圆上，设， 则 当时，因，又， 则当时，，当且仅当时取等号. 则 得，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 【典型例题3】已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点21．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（  ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解析】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【典型例题4】已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可. 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 【典型例题5】已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案 【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A 【典型例题6】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 【典型例题7】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 【典型例题8】已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可. 【详解】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是， 所以四边形面积为，又，取等号，则四边形面积最大值为. 【变式训练5-1】已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，，解得：；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且， ，当时，取得最小值，最小值为. 【典型例题9】（多选题）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【答案】ACD 【分析】 求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D． 【详解】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，， ，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时， 综上的最小值为6．D正确． 【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值． 【典型例题10】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的最大值与最小值的和为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围. 【详解】设，则，那么，，两式相减得：，整理得：，即 ，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中， 所以，则的最大值与最小值的和为。 （一）单选题 【变式训练13-1】点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练13-21】已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【变式训练13-5】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式训练13-6】已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式训练13-7】已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练13-8】已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【变式训练13-9】过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【变式训练13-10】直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练13-11】已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-12】设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（     ）. A．4 B．5 C．6 D．3 【变式训练13-13】已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-14】设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-15】已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-16】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-17】已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-18】已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-19】已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-20】已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【变式训练13-21】已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【变式训练13-22】已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-23】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【变式训练13-24】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式训练13-25】已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． （二）多选题 【变式训练13-1】在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【变式训练13-2】已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（       ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点 D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2= 【变式训练13-3】已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（       ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式训练13-4】双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为 A．4 B． C．2 D． 【变式训练13-5】已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 【变式训练13-6】若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【变式训练13-7】已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 （三）填空题 【变式训练13-1】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【变式训练13-2】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【变式训练13-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________． 【变式训练13-4】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是______. 【变式训练13-5】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________． 【变式训练13-6】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的最小值是__________，最大值是__________． 【变式训练13-7】费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 【变式训练13-8】已知实数满足，则的取值范围是____________ 题型14：双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 【变式训练14-1】已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【变式训练14-2】过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【变式训练14-3】求双曲线在点处的切线方程． 题型15：双曲线中的光学性质 【典型例题1】在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 【典型例题2】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的大小为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，因为双曲线的离心率为，所以不妨设其方程为，则， 由题意，，所以点P在圆上，不妨设P在第一象限，联立解得：，，所以，设， 则直线的斜率， 所以，故. 【答案】D 【典型例题3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知入射光线F2P斜率为，且F2P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2+ D． 【答案】D 【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率. 【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D 【变式训练15-1】双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练15-2】根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-4】 “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点（如图1），并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角（如图2）． 已知左、右焦点分别为的双曲线的离心率为，并且过点，坐标原点为双曲线的对称中心，点的坐标为（1，0），则下列结论不正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．若从射出一道光线，经双曲线反射，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C． D．过点作垂直的延长线于点，则 【变式训练15-5】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式训练15-6】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-7】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 【变式训练15-8】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练15-9】双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 题型16：双曲线与向量 （一）单选题 【典型例题1】已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为，即，    设点，则， 设点在直线、的射影点分别为、， 则，，所以，， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且， 则，所以，， 因为，故， 所以，， 由平面向量数量积的定义可得. 故选：A. 【典型例题2】已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 【变式训练16-1】若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练16-3】已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练16-4】已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ） A． B．9 C． D． 【变式训练16-5】过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练16-6】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-7】已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-8】已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（    ） A． B． C． D． （二）多选题 【典型例题3】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（    ） A．C的离心率为2 B．若，则C的方程为 C．若，则（O为坐标原点）的面积为 D．若，则C的焦距为 【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为，因为C的一条渐近线经过点，所以，即，所以，所以，故选项A正确； 对B，因为，所以点P在圆上，所以. 又离心率，所以，则，所以C的方程为，故选项B正确； 对C，由Ｂ得，的面积为，故选项C错误； 对D，设，，由，得，所以，，代入渐近线方程，得，解得，所以C的焦距为，故选项D正确. 故选：ABD. 【变式训练16-1】已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（    ） A．直线与轴垂直 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点） 【变式训练16-3】已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（    ） A． B．－ C． D．－ 【变式训练16-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式训练16-5】双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 （三）填空题 【典型例题4】已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 【答案】30 【详解】由题意，，，为双曲线上一点， 则， 解得，又点在双曲线上，则，解得， ，，则，， 所以. 故答案为：30. 【变式训练16-1】已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 【变式训练16-2】已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【变式训练16-3】设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为 ． 【变式训练16-4】已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ． 【变式训练16-5】已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则 . 【变式训练16-6】设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为 . 题型17：双曲线在日常生活中的应用 【典型例题1】如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 【典型例题2】一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意画出轴截面如下图所示： 设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 【典型例题3】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 【变式训练17-1】如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练17-2】如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    【变式训练17-3】、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 【变式训练17-4】若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-5】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式训练17-6】如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【变式训练17-7】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 双曲线的小题题型归纳 目 录 题型01：双曲线的定义 2 题型02：双曲线的标准方程 4 题型03：动点轨迹方程 19 题型04：方程求参数 30 题型05：双曲线的简单几何性质 33 题型06：双曲线的渐近线 38 题型07：直线与双曲线的位置关系 53 题型08：弦长问题 68 题型09：中点弦（点差法） 71 题型10：焦点三角形 82 题型11：离心率 124 题型12：面积问题 139 题型13：最值问题 147 题型14：双曲线中的切线方程和切点弦方程 180 题型15：双曲线中的光学性质 183 题型16：双曲线与向量 194 题型17：双曲线在日常生活中的应用 206 题型01：双曲线的定义 【典型例题1】与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【答案】A 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 【变式训练1-1】双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、双曲线定义的理解 【分析】先根据双曲线的焦距求出，再根据双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以． 故选：C. 【变式训练1-2】复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、双曲线定义的理解 【分析】根据复数的几何意义，可将条件转化为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】设， 根据复数的几何意义知，表示复平面内点与点的距离， 表示复平面内点与点的距离， 则， 则由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的左支， 故复平面内对应的点的轨迹为双曲线的一支. 故选：B 【变式训练1-3】已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、立体几何中的轨迹问题 【分析】由题意得在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，进一步即可求解. 【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为， 因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上. 故选：D. 【变式训练1-4】已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A 【变式训练1-5】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B. 题型02：双曲线的标准方程 【典型例题1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【解析】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【典型例题2】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即，于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 【典型例题3】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【解析】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【典型例题4】双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】利用待定系数法设的方程为，，代入即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，则， 则方程为，即. 故选：B. 【典型例题5】已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 题型03： 【变式训练2-1】焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【变式训练2-2】双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：. 故选：D. 【变式训练2-3】已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据渐近线垂直可得，再根据实轴长为4即可求解. 【解答过程】设双曲线的方程为， 根据题意可知，即， 又因为实轴长为4，则， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 【变式训练2-4】过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【解答过程】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 【变式训练2-5】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【解答过程】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A. 【变式训练2-6】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【解析】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【变式训练2-7】已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据为正三角形表示点坐标，然后分别带入抛物线和渐近线方程中，解方程即可得到双曲线方程. 【解答过程】 设， ，为第一象限的点， 由题意得双曲线渐近线方程为， 因为为正三角形，所以，则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：B. 【变式训练2-8】已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【解答过程】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A. 【变式训练2-9】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 【变式训练2-10】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 【变式训练2-11】已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 【变式训练2-12】已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【解答过程】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D. 【变式训练2-13】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的实轴长为，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，则， 所以，双曲线的方程为， 因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则，所以，， 因此，椭圆的方程为.故选：D. 【变式训练2-14】已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，得到，结合双曲线定义即可求解. 【解答过程】设，， 则由已知得， 又， 所以，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 【变式训练2-15】已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】：因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去） 所以双曲线的标准方程为： 故选：A 【变式训练2-16】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【变式训练2-17】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 【变式训练2-18】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 【变式训练2-19】与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 【变式训练2-20】双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 【变式训练2-21】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据可得，根据点在渐近线上可得，求出后可得标准方程. 【详解】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 故答案为： 【变式训练2-22】某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意，当趋于无穷大时，， 可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为， 依据题意重新建立直角坐标系， 以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴， 由解得或 记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 可得，又，所以， 故此时双曲线的标准方程为． 故答案为： 【变式训练2-23】双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 题型03：动点轨迹方程 【典型例题1】已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 【典型例题2】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【解析】由题意可得， 化简得． 故选：B. 【变式训练3-1】设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解答过程】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式训练3-2】已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用直接法求得轨迹方程. 【解析】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为， 故选：A 【变式训练3-3】已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式训练3-4】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【变式训练3-5】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 【变式训练3-6】如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（  ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【解析】连接、，如图所示： 因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 【变式训练3-7】已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、立体几何中的轨迹问题 【分析】由题意得在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，进一步即可求解. 【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为， 因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上. 故选：D. 【变式训练3-8】已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，可以判断点M的轨迹方程，通过解方程组求出M的坐标，最后根据两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为 所以点M是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的方程为， 即， 因此有， 因此， 故选：B 【变式训练3-9】已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【答案】 【解析】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 证明如下： 由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到， 故证明采用反比例函数. 设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上， 设三个顶点坐标为, 所以直线的方程为， 即， 因为,即， 所以直线的方程为， 同理由,即， 所以直线的方程为， 所以由， 解得的垂心坐标为， 即垂心的横纵坐标的乘积为， 所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身. 故答案为：. 【变式训练3-10】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 【变式训练3-11】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为____________ 【答案】 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【解析】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故答案为： 【变式训练3-12】如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【解析】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【变式训练3-13】设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 【变式8-1】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 【变式训练3-14】已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【答案】 【解析】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 证明如下： 由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到， 故证明采用反比例函数. 设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上， 设三个顶点坐标为, 所以直线的方程为， 即， 因为,即， 所以直线的方程为， 同理由,即， 所以直线的方程为， 所以由， 解得的垂心坐标为， 即垂心的横纵坐标的乘积为， 所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身. 故答案为：. 题型04：方程求参数 【典型例题1】已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【解析】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C. 【典型例题2】“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 【变式训练4-1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 【变式训练4-2】已知方程表示双曲线，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【解析】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 【变式训练4-3】（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【答案】AD 【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 【变式训练4-4】（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，满足， 而，即不是椭圆，故A错误； 对于B，当，即或时，为双曲线，故B正确； 对于C，由为椭圆，则，解得且， 当时，，则为焦点在轴上的椭圆， 其焦距为， 当时，，则为焦点在轴上的椭圆， 其焦距为， 而的焦距为，故C错误； 对于D，由B知，当或时，表示双曲线， 当时，，则表示焦点在轴上的双曲线， 其焦距为， 当时，，则表示焦点在轴上的双曲线， 其焦距为， 而双曲线的焦距为，故D错误. 故选：ACD. 【变式训练4-5】（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【答案】ACD 【详解】当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确. 由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误. 若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确. 若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得， 所以，， 所以的焦距为，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练4-6】已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【解析】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 题型05：双曲线的简单几何性质 【典型例题1】双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 【答案】C 【详解】对于双曲线的实轴长为4，虚轴长为， 焦距为，渐近线方程为； 对于双曲线，当时，实轴长为， 虚轴长为，焦距为，渐近线方程为； 当时，实轴长为，虚轴长为， 渐近线方程为，焦距为. 故选：C 【典型例题2】已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线即， 又虚轴长为，所以， 则双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【典型例题3】（多选题）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【答案】AC 【解析】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，． 所以C的方程可化为，则，，即，． 对于A，C的实轴长为4，故A正确； 对于B，离心率为，故B错误； 对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确； 对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为． 根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误． 故选：AC. 【变式训练5-1】若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【变式训练5-2】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 因为直线，整理得，其斜率为， 因为两直线垂直，所以，即， 又因为，代入，得，所以, 故离心率. 故选：A. 【变式训练5-3】已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线可知，焦距为， 该双曲线的渐近线方程为， 因为， 所以直线的斜率，所以倾斜角为锐角，符合题意； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 所以， 因为， 所以由题意可知， 所以、 ， 故选：A 【变式训练5-4】（多选题）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【答案】ACD 【解析】表示椭圆在x轴上方的部分， 表示双曲线在x轴下方的部分， 作出图象： 双曲线的一条渐近线为， 故选项ACD正确，选项B错误. 故选：ACD. 【变式训练5-5】（多选题）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【解析】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 【变式训练5-6】（多选题）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【解析】因为双曲线的渐近线为，又是的一条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为. 对于A，由双曲线知右焦点，， 所以到的距离为，故A正确； 对于B，的渐近线方程为，即，故B错误； 对于C，的离心率为，故C正确； 对于D，当点是双曲线的右支与轴的交点时，即时，，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练5-7】已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【详解】由双曲线有右焦点， ，双曲线的方程为：， ，，则，， ，则， 双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 化为直线方程的一般形式：或， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为.， 综上，双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为. 故答案为： 【变式训练5-8】已知双曲线，则C的焦点到其渐近线的距离为 ． 【答案】2 【详解】双曲线，即， ，即， 双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为， 双曲线的焦点到任意一条渐近线的距离相等，取焦点和渐近线， 焦点到渐近线的距离， 故答案为：2． 【变式训练5-9】双曲线的实轴长为4，则 . 【答案】1 【详解】显然恒成立，则双曲线的焦点在x轴上， 于是，所以. 故答案为：1 【变式训练5-10】若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为 . 【答案】 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得，所以. 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 题型06：双曲线的渐近线 【典型例题1】双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 【典型例题2】若双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．-2 C． D．-4 【答案】D 【详解】令，所以. 故选：D 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 【变式训练6-1】若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 【变式训练6-2】已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，所以， 所以一条渐近线的方程为， 所以，解得，则，所以实轴长. 故选：C 【变式训练6-3】若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 【变式训练6-4】双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题意得：， 设，则， 所以，， 由双曲线的定义得：， 所以，，则， 因为，在中，， 即，解得， 所以，， 在中，， 即， 可得， 所以， 所以，即， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：C． 【变式训练6-5】已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 【变式训练6-6】已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据焦点坐标求出，根据双曲线定义及双曲线上一点求出，再根据求出，最后根据双曲线渐近线方程为即可求解. 【详解】双曲线一个焦点的坐标为，可知双曲线交点在轴上， 所以，另一个焦点坐标为， 因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：， ，， 所以，解得，又因为， 即，解得， 所以双曲线渐近线方程为. 故选：A 【变式训练6-7】已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由过点的直线与双曲线C交于一支或两支分类讨论，结合双曲线定义即可求解； 【详解】设双曲线的方程为，因为双曲线C的焦点为，所以． （1）当过点的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示． 由，设， 则，由双曲线的定义知 ，所以， 在中，， 在中，， 即，解得， 所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：． （2）当过点的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示． 由，得 与双曲线定义不符，故此种情况不成立． 综合（1）（2）两种情况：双曲线的渐近线方程为， 故选：A． 【变式训练6-8】已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解. 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 【变式训练6-9】已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可. 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 【变式训练6-10】已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的性质结合三角形余弦定理求解即可. 【解析】因为，所以三点共线， 又，所以为直角三角形， 记，则， 由双曲线定义和对称性可得， 则有，即， 解得或（舍去）. 记，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，得 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式训练6-11】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】或2 【分析】利用双曲线的性质结合弦长公式求解即可. 【解析】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为， 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 综上，双曲线的离心率为或2. 故答案为：或2. 【变式训练6-12】双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 【答案】 【详解】由双曲线方程可得，渐近线方程为， 设一条渐近线与x轴所成夹角为，则， 则， 所以两条渐近线夹角余弦值为， 故答案为：. 【变式训练6-13】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 【变式训练6-14】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】作出示意图如图所示： 根据双曲线的定义得， 在三角形中，由余弦定理可得， 又直线与圆相切，所以， 所以，解得， 所以，解得或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【变式训练6-15】设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 【变式训练6-16】已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【变式训练6-17】已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离、双曲线中的定值问题 【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案. 【详解】由于，故在圆上， 其中，由垂直关系可得切线l的斜率为， 由渐近线方程的斜率为得， 由双曲线定义可知，解得， 故，双曲线方程为，两渐近线方程为， 设，则， 点M到双曲线两条渐近线的距离之积为. 故答案为： 【变式训练6-18】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的定义可结合第一空，由条件确定为的内心，再结合得到，进而可求解. 【详解】依题意，，，则；则； 先证在中，若，则为的内心． 由， 可得：， 整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 所以由条件可知：点为的内心，设的内切圆半径为， 则，故，故， 而， 故，故，则，， 故所求渐近线方程为. 故答案为：2； 题型07：直线与双曲线的位置关系 （1） 判断直线与双曲线的位置关系 【典型例题1】直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B 【变式训练7-1-1】直线与双曲线 的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比较进行判断. 【解答过程】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C. 【变式训练7-1-2】若直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】直线经过点，即为双曲线的右顶点， 由于直线的斜率为，故直线不成立， 而双曲线的渐近线方程为， 可得经过点与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点， 故满足条件的直线有两条． 故选：B. 【变式训练7-1-3】已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式训练7-1-4】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，验证直线是否满足题意，在直线的斜率存在时，可知直线与双曲线的渐近线平行，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点. ①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意； ②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点. 若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意. 综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条. 故选：A. （2） 充分必要性 【典型例题】已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A．K B．K C.K D． 【答案解析】A 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是 联立可得由可解得A 【变式训练7-2-1】“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得的值，从而可进行判断. 【解答过程】直线与与双曲线只有一个公共点， 联立方程组，消去得，， 当，即时，直线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当，即时，， 此时直线与双曲线恒有两个不同的交点； 当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点， 由能推出直线与双曲线只有一个公共点， 反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出， “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练7-2-2】已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，由于双曲线的渐近线为，故直线与双曲线的渐近线不平行，则当直线与双曲线相切时， ， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练7-2-3】“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【解答过程】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. （3） 根据直线与双曲线位置关系求参数 【典型例题1】已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【典型例题2】 ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点，可得，且， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支， 且，则， 所以点的轨迹方程为，可得双曲线的渐近线方程为， 要使得直线与双曲线有公共点，需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【典型例题3】若直线与双曲线只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【详解】联立直线与双曲线， 代入得， 整理为， 若为一次方程，则，解得； 若为二次方程，则，且判别式， 也即， 该方程无实根，所以． 故答案为：． 【典型例题4】已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则 . 【答案】 【详解】由直线与双曲线的对称性，不妨设，点在第一象限， 则．由题意得，解得． 代入双曲线的方程，得，解得． 因为，所以． 故答案为：. 【变式训练7-3-1】已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知当时，曲线方程为，当时，曲线方程为.因为时，取值与无关，所以直线恒过点. ∵如图所示,时曲线分别对应椭圆位于轴和轴上方的曲线，时曲线分别对应双曲线位于轴下方的曲线，且双曲线的渐近线方程为， ∴由图知，要使直线和曲线有两个不同交点,斜率应满足时， D正确， 故选：D. 【典型例题4】已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的虚轴长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立与可得 ，设， 需满足， 由于直线恒过双曲线右顶点，故是方程的一个根， 另一根为，要使直线与右支有两个不同交点，需， 由韦达定理知，可得，由得， 又，解得，所以虚轴长. 故选：B 【变式训练7-3-2】如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选： 【变式训练7-3-3】如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式训练7-3-4】若直线与曲线只有一个公共点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】曲线代表焦点在轴上的双曲线的右支，而直线过点，斜率，在同一个坐标系中作出它们的图象，结合双曲线渐近线方程与直线的性质结合可得所求． 【详解】对平方可得，整理可得， 故曲线代表焦点在轴上的双曲线的右支， 则双曲线的渐近线方程为， 而直线过点，斜率，在同一个坐标系中作出它们的图象： 根据双曲线渐近线的几何性质可知，若直线与曲线只有一个公共点， 故直线斜率k的取值范围是. 故选：B. 【变式训练7-3-5】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA，PB的斜率分别为，，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意可得，，设， 可得，即有， 可得，，， 则， 由A，B为左右顶点，可得， 则， 故选A． 【变式训练7-3-6】已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且．过作倾斜角为的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：设椭圆的方程为， 双曲线的方程为的焦点为，，，， 可得， 由，可得， 设，，则，， 且， 所以， 则，即，， 则椭圆的方程为， 过作倾斜角为的直线的方程为， 联立，可得， 解得，， 交点为，，，， ，， 所以． 故选：． 【变式训练7-3-7】已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，由线段的中点为， 则且，，. 因为，，两式相减整理得， 即，所以， 所以直线的斜率为， 由于双曲线的渐近线方程为：，因为直线与的右支有2个交点， 所以，化简得，解得. 把代入，得， 依题意，点在点的下方， 所以，解得.综上得，. 由于，将代入中，计算可得 ， 则， 由于当时，随的增大而增大， 又当时，. 所以，则的取值范围是 故选：D. 【变式训练7-3-8】函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【答案】D 【解析】令，解得， 所以， 因为点A在双曲线上， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以m-n的最大值为4 故选：D 【变式训练7-3-9】若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，设，则由， 得，整理得. 由得， 依题意可知，解得， 则双曲线C的虚轴长. 【变式训练7-3-10】已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的虚轴长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立与可得 ，设， 需满足， 由于直线恒过双曲线右顶点，故是方程的一个根， 另一根为，要使直线与右支有两个不同交点，需， 由韦达定理知，可得，由得， 又，解得，所以虚轴长. 故选：B 【变式训练7-3-11】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 【变式训练7-3-12】（多选）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．记，则的面积； C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 【答案】AD 【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式求出k的取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值. 【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以， 所以 ， ，，， 双曲线的方程为：， 若，则，所以，故A正确； 对于B，因为的面积，故B错误； 对于C，若，则，，，双曲线的方程为， 直线的方程为，联立，消得， 则， 解得且，故C错误； 对于D，若，则，，，双曲线的方程为， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点， 轴，所以的横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，则， 在，中有 ，， 设，所以， 显然，当，即，即取得最小值8， 记的内切圆面积为，的内切圆面积为， 故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确. 故选：BD. 【变式训练7-3-13】若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则双曲线离心率的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】对双曲线有， 故双曲线离心率为， 将代入双曲线方程得， 当时，有，此时直线为双曲线渐近线，不符合； 当时，因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以方程即正根有且只有一个， 故（舍去）或， 故双曲线离心率. 故双曲线离心率的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练7-3-14】在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的左焦点为， 设过左焦点且斜率为的直线的方程为， 联立方程组，整理得，其中不等于， 设，且 则，则， 可得，即， 因为，所以，可得，解得， 又因为，所以. 题型08：弦长问题 【典型例题1】双曲线的焦点弦长为的弦有（    ） A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 【答案】B 【知识点】双曲线中的通径问题、求双曲线的焦距、双曲线的对称性 【分析】结合双曲线的通径、左右顶点的距离与对称性，分该弦与双曲线是否交于同一支讨论即可得. 【详解】由，可得其通径为， 注意到左右顶点的距离为， 所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在， 结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条. 故选：B. 【变式训练8-1】（多选）已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则（   ） A．双曲线C的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若，直线l的倾斜角为，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的通径问题、求双曲线中的弦长、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】对于A选项：由渐近线方程为得到，从而求出离心率；对于B选项：时，求出通径长，与焦距长相比即可得到长度关系；对于C选项：结合双曲线的定义，在中，通过余弦定理求角即可；对于D选项：联立，通过韦达定理求弦长即可. 【详解】依题意可知，则，故A正确； 若，则，故，故B错误； 不妨设，因为， 则，则，而， 则在中，由余弦定理，， 则，则，故C正确； 联立， 联立则， 所以， 则，故D正确. 故选： ACD. 【变式训练8-2】过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【解析】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 【变式训练8-3】已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【答案】12 【详解】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以 故答案为：12 题型09：中点弦（点差法） 【典型例题1】已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【典型例题2】直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 【典型例题3】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【典型例题4】已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 【典型例题5】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 【典型例题6】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 【变式训练9-1】双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合， 所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 【变式训练9-2】若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 【变式训练9-3】若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 【变式训练9-4】已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 【变式训练9-5】设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 【变式训练9-6】（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练9-7】（多选）已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【答案】ABD 【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去），故实轴长为，故A正确； 由A知，，，即双曲线焦点为， 存在圆， 设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：， 所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确； 因为直线与双曲线的渐近线平行， 而两条平行线间的距离为， 所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误； 设，则由，相减可得： ，所以，即， 所以D在一条定直线上，故D正确. 故选：ABD 【变式训练9-8】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 【变式训练9-9】已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【答案】 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：.    【变式训练9-10】设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【详解】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1 【变式训练9-11】设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 【变式训练9-12】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 【变式训练9-13】已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则正整数的最小值为 . 【答案】3 【详解】设，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点， 则此直线一定存在斜率，设过点的直线的方程为， 整理得到，代入双曲线得到， 整理得， 则有，为弦中点， ，，， 又， ，，， 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，成立； 正整数的最小值为3. 故答案为：3. 【变式训练9-14】过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】设，， 则，，所以， 即. 因为，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 题型10：焦点三角形 【典型例题1】双曲线方程为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点和点，以为直径的圆恰好经过点，且，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆的性质，双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，即可求解． 【解答】解：以为直径的圆恰好经过点， ，又， 设，则，， 又，， ， ，， ，， 又，且， ， ， ， ， ． 故选：． 【典型例题2】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【解题思路】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【解答过程】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D. 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【解析】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【典型例题4】过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D. 【典型例题5】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设点，分别为△，△的内心，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围． 【解答】解：记边、、上的切点分别为、、， 有、横坐标相等，则，，， 由， 即，得， 即，记的横坐标为，则，， 于是，得， 同样内心的横坐标也为，则有轴， 设直线的倾斜角为，则，， 在△中， ， 双曲线的，，， 可得，由于直线为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 可得，即， 可得的范围是，． 故选：． 【典型例题6】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 【典型例题7】已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】首先可以结合题意作出双曲线的图象，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果． 【解答】解：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在轴上， 设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 过点作于点， 因为， 所以， 所以点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可知，，所以， 因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且， 所以， 故， 因为，所以， 将代入双曲线中， 即， 化简得， 又， 所以， ， 解得或（舍去），， 则该双曲线的渐近线方程为， 故选：． 【典型例题8】双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【解析】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 【典型例题9】设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用双曲线性质、焦半径的范围将所求转换为对勾函数的最小值即可得解. 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 【典型例题10】已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【详解】因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.   代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. （一）单选题 【变式训练10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【变式训练10-2】已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点即双曲线的左右两焦点，利用双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，求得，即可求的面积. 【解答过程】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径， 点即双曲线的左右两焦点，故有①， 且因为圆的直径，可得，则有②， 将①式两边取平方，， 解得，故的面积为. 故选：B. 【变式训练10-3】如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【解答过程】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 【变式训练10-4】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 【点评】本题主要考查椭圆的简单性质，以及三角形面积公式的应用，属于中档题． 【变式训练10-5】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由可得，， 由余弦定理得， ， 即，所以， ， 则双曲线的焦距等于4. 故选：C. 【变式训练10-6】已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，,如图： 由双曲线， 所以周长为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图： 所以,得，即——①. 又因为离心率为，所以——②，将②代入①得，， 解得或（舍去）所以，所以双曲线方程为. 此时，直线的方程为，联立方程，消去y， 得，解得，再代入直线方程得，所以的坐标为. 所以. 故选：B. 【变式训练10-7】设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【解析】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 【变式训练10-8】已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 【变式训练10-9】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【解析】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A.    【变式训练10-10】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，利用定义可得：，，解出，．利用余弦定理可得关于，的等式，再由基本不等式求得当取最小值时，，的值． 【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，， 设，．． 则，， ，． ， 化为：． ， ， ，则，即，当且仅当，时取等号． 故选：． 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 【变式训练10-11】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　　 A． B． C．3 D．2 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为， ， 由余弦定理可得，① 在椭圆中，①化简为， 即，② 在双曲线中，①化简为， 即，③ 联立②③得，， 由柯西不等式得， 即 即，当且仅当时取等号， 法2：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为， ， 由余弦定理可得， 由，得， ， 令， 当时，， ， 即的最大值为， 法3：设，，则， 则， 则， 由正弦定理得， 即 故选：． 【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大． （二）多选题 【变式训练10-1】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABC 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：ABC． 【变式训练10-2】已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（   ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 【答案】ACD 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，由题知，，故A正确； 当为的右支上两点时，由双曲线的定义得的周长为， 当分别为的左，右两支上两点时，的周长为，故B错误； 由题意的方程为，与联立得，所以， 所以，故C正确； 因为为的右支上两点，所以或，故D正确． 故选：ACD． 【变式训练10-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【答案】BCD 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 【变式训练10-4】已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C． D．的周长为 【答案】CD 【详解】 由题意得，由双曲线定义得 所以． 由，得，即． 即解方程组得 所以． 由，得，得，， 所以的焦距为，渐近线方程为，，故A、B错误，C正确； 又的周长为，故D正确； 故选：CD 【变式训练10-5】已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【详解】A项，由题意知，设焦距为，则. 设椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的实轴长为，虚轴长为， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限， 由椭圆的定义知，则， 由双曲线的定义知，则， 由两式相加化简得， 因为点在圆上，所以，所以， 则，则，又，联立解得，，故A项正确； B项，由A项可知，解得，则，所以椭圆的方程为，故B项正确； C项，由，，则， 所以的面积，故C项正确； D项，的周长为，故D项错误. 故选：ABC 【变式训练10-6】已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【解析】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 【变式训练10-7】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【解析】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 【变式训练10-8】已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 【分析】根据椭圆的简单几何性质即可分别求解． 【解答】解：椭圆方程为：， ，，， △的周长为，正确； △面积的最大值为，正确； 的最小值为， 又为椭圆上异于长轴端点的动点，错误； 椭圆的焦距为，错误． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题． 【变式训练10-9】设，是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是　　 A．到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C．△的外接圆半径为 D．△的面积为9 【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断选项； 利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断选项； 求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断选项； 利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断选项． 【解答】解：由题意，到准线的距离， ， ，如图过向作垂线，垂足为， 由，为中点， 则为△的中位线， 所以，即是的中点， 因为，，，，， 因此到直线的距离为，故错误； 在中，， 又，得到，解得，，， 所以双曲线的离心率，故正确； ，设△的外接圆半径， 因此，所以，故错误； △的面积，故错误． 故选：． 【变式训练10-10】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】由题意得的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由不可能为等边三角形，判断选项B；分析可得当，的外接圆的面积取到最小值，据此求得的面积，判断选项C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确； 对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确； 对于C，设的外接圆的半径为R，则，即. 当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值. 此时，，所以的面积为.所以选项C正确； 对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为， 则，所以. 所以点是双曲线的右顶点，点在直线上. 设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确. 故选：ACD. 【变式训练10-11】已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由题意得到的距离为，得到，解得， 又渐近线方程为，则，而， 联立方程组，解得， 则双曲线的方程为，故A错误． 对于B，如图，作出符合题意的图形，    因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确， 对于C，由已知得，由双曲线定义可得， 而为在第一象限的点，可得， 则，解得，，而， 在中，由余弦定理得， 因为是的中点，所以， 则，可得， 而， 可得，解得，故C错误， 对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得， 设点到轴的距离为，由等面积公式得， 得到，解得，故D正确． 故选：BD 【变式训练10-12】如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断； 由余弦定理计算判断，； 由余弦定理、二倍角的余弦计算判断作答． 【解答】解：对于，椭圆，双曲线， 由椭圆、双曲线的定义可知，，解得，，故错误； 对于，令，由余弦定理得， 当时，，即，因此，故正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，故错误；，， ，解得， 而，因此，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题． （三）填空题 【变式训练10-1】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率 【解答】解：设的内切圆在边，上的切点分别为，， 则，，， 又由，， ， ， 又，则，， 又，，， 双曲线的离心率， 故答案为：3． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，属中档题． 【变式训练10-2】双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 　　． 【分析】设直线与直线相交于点，由，可得，，再过作于点，进而得和的长，然后根据双曲线的定义，推出，然后求解离心率． 【解答】解：设直线与直线相交于点，则， 直线的斜率为，即， 又，，， 过作于点，则， 为的中点，，， 在中，由，知，， 由双曲线的定义知，， ，化简得， ． 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题． 【变式训练10-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 【分析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则，即可求解，又因为点位于点与点之间，所以，利用正切值即可求解离心率范围． 【解答】解：设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则， 如图所示，则由题可得， 依题意可得点位于点和点之间，故， 所以，则，整理可得， 解得， 故答案为：，，． 【变式训练10-4】设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 【分析】分类讨论，若或为直角顶点时，若为直角顶点时，求得，即可求得椭圆的离心率； 同理，若或为钝角顶点时，且，为钝角顶点，则，即可求得离心率的取值范围． 【解答】解：由题意可知，若或，则，即， 所以，同除以，可得，解得， 若，即位于上下顶点时，则， 所以椭圆的离心率， 若为钝角顶点，则，则，， 所以，， 若或为钝角顶点时，需要满足且，即， 解得，， 综上可知，的取值范围 故答案为或；． 【点评】本题考查椭圆的标准方程的应用，考查椭圆离心率的求法，椭圆的简单几何性质，考查分类讨论思想，属于中档题． 【变式训练10-5】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【解析】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为： 【变式训练10-6】设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【变式训练10-7】已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【解析】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距； 设，，由双曲线定义可知：， 在中，由余弦定理得， ，则，又， ，解得：， 点到轴的距离为. 【变式训练10-8】已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 【变式训练10-9】是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是△的内切圆，设圆与，分别切于点，，若圆的半径为2，直线的斜率为 　　． 【分析】设圆与轴相切于点，利用双曲线的定义、直线与圆相切的性质可得，解得，可得坐标．设直线的斜率为，则方程为，利用点到直线的距离公式可得． 【解答】解：设圆与轴相切于点，则， 解得，， 设直线的斜率为，则方程为，即， 由题意可得：，，解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【变式训练10-10】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率 【解答】解：设的内切圆在边，上的切点分别为，， 则，，， 又由，， ， ， 又，则，， 又，，， 双曲线的离心率， 故答案为：3． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，属中档题． 【变式训练10-11】椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 【分析】由已知内切圆半径，从而求出面积，再由面积，能求出． 【解答】解：椭圆的左右焦点分别为，，，，， 过焦点的直线交椭圆于，，，两点， 的内切圆的面积为， 内切圆半径． 面积； 面积， 得． 故答案为：6；3． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查了椭圆的定义、三角形内切圆的性质和三角形的面积公式等知识，属于中档题． 【变式训练10-12】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 【分析】第一空，直接套入“黄金椭圆”的定义即可；第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可． 【解答】解：已知椭圆：是“黄金椭圆”， 则， 解得； 如图：连接，，设△的内切圆半径为． 则， 即， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查新定义，考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 【变式训练10-13】已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的焦距、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据题干，利用双曲线的定义和的周长为24可得，，利用，可得，最后利用勾股定理算出的边长，即可在中计算. 【详解】由题知，， ， 的周长为， ，， 由得， 即，， 故，， ，，， 在中，，解得，焦距为.    故答案为： 【变式训练10-14】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 【答案】/0.6 【详解】由双曲线，得，，焦点，. 根据双曲线定义，. 因为是的外角平分线，由角平分线定理得. 又平分，在中，由角平分线定理得. 设，则，故，即. 结合（），解得，. 因此. 故答案为：. 【变式训练10-15】已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【解析】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 题型11：离心率 （一）选择题 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【变式训练11-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、双曲线的对称性 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【变式训练11-2】已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 【变式训练11-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义结合中位线可求，故可求离心率. 【详解】不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 故，故， 故，故，所以即， 故， 故选：D. 【变式训练11-4】双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，，连接，过点作⊥轴于点E，由三角形面积公式及双曲线定义得到，，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 设切点为，，连接， 则，， 过点作⊥轴于点E， 则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得， 所以，解得， 所以离心率. 故选：B 【变式训练11-5】过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率. 【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理. 由，两式相减整理得， 所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以， 所以，， 由，得，所以. 故选：C. 【变式训练11-6】已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 【变式训练11-7】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 【变式训练11-8】设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 【变式训练11-9】已知F是双曲线C：（，）的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，结合题意可得为等边三角形．解法一：求出点P的坐标，代入双曲线方程，化简即可求得答案；解法二：利用双曲线定义可求得的关系，即得答案. 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以在中，， 又直线的倾斜角为60°，所以，所以为等边三角形． 设． 解法一 ：由为等边三角形得点P的坐标为， 由点P在双曲线C上，可得，又， 化简可得，所以，即， 将当成一个整体，利用求根公式得，又，所以， 所以，． 解法二 ：设为C的左焦点，连接， 在中，得， 所以，又，所以， 即，所以． 故选： C 【变式训练11-10】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】不妨设直线的方程为，与的方程联立得的坐标，由得的坐标，将的坐标代入双曲线方程即可求解. 【详解】 由题意，得渐近线的方程为． 不妨设直线的方程为，． 由解得． 又，且 解得，代入双曲线，得， 解得双曲线的离心率． 故选：A． （二）填空题 【典型例题2】双曲线的两个焦点分别为，，点P在靠近的一支上，若，且有，则的离心率的值为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据及双曲线定义可知：.过作，垂足为M，则，即，即可求解双曲线离心率. 【详解】 由题可知：，则由双曲线定义可知：. 过作，垂足为M，则，即， 即，所以. 故答案为：. 【变式训练11-1】设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ． 【答案】2 【分析】设在第一象限，则点也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出，得到离心率. 【详解】不妨设在第一象限，则点也在第一象限， 设，， 因为，所以， 故， ， 又， 故，解得， 由双曲线定义得， 故，， 又 ， 又，故，故， 又，故，，故， 将代入中，得， 解得，所以的离心率为. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 【变式训练11-2】已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据题意作图，取的中点，连接，得到，，利用两角和的正切公式求得直线的斜率，再利用点差法求得，根据离心率的公式计算即可. 【详解】 如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则， 因为，所以， 由直线的斜率，得， 则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 化简得即， 则. 故答案为：. 【变式训练11-3】已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设另一个焦点为，连接，设，然后结合双曲线的定义表示出，再由双曲线的对称性结合题意可得，在中利用勾股定理得，再在中利用勾股定理列方程化简可求得离心率. 【详解】设另一个焦点为，连接，设，则， 由双曲线的定义可得， 由双曲线的对称性可得是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 所以在中，， 所以，化简得， 在中，，则， 所以，得， 所以， 所以离心率. 故答案为： 【变式训练11-4】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交双曲线右支于点（在第一象限），的内心为，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】作出图形，设，可得，易知，利用余弦定理求得，设内切圆半径为，可得出点到轴的距离为，由可得出关于、的齐次等式，即可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设，则， 又直线的斜率为，可知， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 设内切圆的半径为，因为，所以，点到轴的距离为， ，即， 可得，解得， 所以，即， 整理可得，故该双曲线的离心率为. 故答案为：. 【变式训练11-5】已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 【答案】 【分析】设点，由双曲线的渐近线斜率为，求出点与渐近线平行的直线方程，解得点坐标，进而得，利用恒成立即可求解. 【详解】设点，双曲线的渐近线斜率为， 过点与一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 所以， 所以 ， ， 由恒成立， 所以恒成立，所以，即， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 题型12：面积问题 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 【变式训练12-1】已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，联立消元，求出及点到直线的距离，进而得到面积与的函数关系,利用函数的单调性即可得面积的取值范围. 【解答过程】由题意设， 联立消去得，，所以， 又，所以， 设，则，， 由，得，所以 设到的距离为，所以， 所以的面积 ． 故选：D. 【变式训练12-2】双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解答过程】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B. 【变式训练12-3】已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为　　 A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的左焦点为，连接，， 由双曲线的定义知，，， 由双曲线的对称性知，， ，即， ，， 在△中，由余弦定理知，， ， ， 的面积． 故选：． 【变式训练12-4】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D． 点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积． 【变式训练12-5】双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解析】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B.      【变式训练12-6】已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【解析】时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 故答案为: 【变式训练12-7】双曲线的左､右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________. 【答案】3 【解析】因为，，故直线的方程为， 代入，整理得，解得或， 故，故. 故答案为：3. 【变式训练12-8】已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【解析】时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 故答案为: 题型13：最值问题 【典型例题1】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 【典型例题2】已知双曲线的左、右焦点为，，的一条渐近线为，点位于第一象限且在双曲线上，点满足：，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题可得双曲线方程，PM为角平分线，延长交于N，由中位线定理可得M所在轨迹，后由两点间距离公式结合不等式知识可得答案. 【解答过程】由的左、右焦点为，，的一条渐近线为， 可得双曲线方程为：， 因，则PM为的角平分线. 其中是延长相交而来，由对称性可得为等腰三角形， 则，M为的中点. 又由双曲线定义，可得，则. 因M为的中点，O为的中点，则， 则在以O为圆心，半径为的圆上，设， 则 当时，因，又， 则当时，，当且仅当时取等号. 则 得，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 【典型例题3】已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点21．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（  ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解析】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【典型例题4】已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可. 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 【典型例题5】已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案 【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A 【典型例题6】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 【典型例题7】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 【典型例题8】已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可. 【详解】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是， 所以四边形面积为，又，取等号，则四边形面积最大值为. 【变式训练5-1】已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，，解得：；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且， ，当时，取得最小值，最小值为. 【典型例题9】（多选题）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【答案】ACD 【分析】 求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D． 【详解】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，， ，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时， 综上的最小值为6．D正确． 【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值． 【典型例题10】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的最大值与最小值的和为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围. 【详解】设，则，那么，，两式相减得：，整理得：，即 ，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中， 所以，则的最大值与最小值的和为。 （一）单选题 【变式训练13-1】点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直， 且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6， 故选：A 【变式训练13-21】已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可. 【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为， 【变式训练13-3】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练13-4】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【解答过程】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式训练13-5】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 【变式训练13-6】已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】条件等式求最值、求双曲线中的最值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 【变式训练13-7】已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 【变式训练13-8】已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【解析】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 【变式训练13-9】过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 【变式训练13-10】直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解. 【解析】圆，圆心，半径， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以，又双曲线，则，，右焦点为， 所以 ， 又，即，所以，当点在右顶点时取等号， 即， 所以的最小值为， 故选：D.      【变式训练13-11】已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线定义可推得点B落在圆上，由此将|BD|的最小值转化为圆上的点到直线的距离的最小值问题. 【详解】作出图形如图所示， 设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，故，故，则点B落在圆上,因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为， 【变式训练13-12】设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（     ）. A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案. 【详解】双曲线的方程为：，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.由题意，， 由双曲线的定义：，则，于是，，即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线的距离为：，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为：2+2=4. 【变式训练13-13】已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到的距离，再根据得出答案. 【详解】圆的圆心坐标为，设 则由此。 【变式训练13-14】设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】由题可判断在轴正半轴上，求出圆心到渐近线的距离和圆半径，可得，进而得出，利用可求. 【详解】由题可得渐近线方程为，，由于圆与两条渐近线都相切，则在轴或轴上， 又圆过的右顶点，则在轴正半轴上，即，圆心到渐近线的距离为，又圆半径为，则由题可得，即，又，则，，，，则长的取值范围是. 【点睛】解题的关键是得出在轴正半轴上，根据圆心到渐近线的距离等于半径得出 【变式训练13-15】已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的内切圆半径为，求出双曲线的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得的取值范围. 【详解】由、、成等比数列得，，即.，. 设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，易知， ，，.由得，即， 则，的取值范围为，，则的最大值为。 【变式训练13-16】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围. 【详解】设，则，那么，，两式相减得：，整理得：，即 ，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中，所以。 【变式训练13-17】已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围. 【详解】因为直线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，而双曲线的离心率，当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，则双曲线的方程为，设、、，则，两式相减得：，即，即， 又，． 【变式训练13-18】已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准标准方程可知该双曲线的渐近线方程为：，即，设，有，因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1， 所以有，把代入化简得， ， 【变式训练13-19】已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，其中，可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得当取最小值和最大值时对应的值，可求得、的值，即可得解. 【详解】由题意可得，，、，双曲线的渐近线方程为， 不妨设直线的斜率为，则直线的方程为，易得，设点的坐标为，其中，，，所以，，故当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，因此，. 【变式训练13-20】已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设直线的方程为与双曲线方程联立求出点坐标，同理设直线的方程为，求出点的坐标，从而得出,在利用均值不等式可得答案. 【详解】依题意得直线与的斜率都存在且不为0，不妨设直线的方程为， 则直线的方程为．设，，联立，得，则，， ，同理可得， ，所以，即，当且仅当时等号成立． 【点睛】本题通过查直线与双曲线的位置关系，考查基本不等式的应用，解答本题的关键是得到，后，根据表达式的特点，得到，再利用基本不等式求的最小值．属于中档题. 【变式训练13-21】已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据直线与双曲线的位置关系，表示出，，可求得，根据基本不等式可得. 【详解】设，，由题意得A，关于原点对称，∴，∴，，∴，∴， 【变式训练13-22】已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由，可求出，及的表达式，连接MO，易知，结合，可得，，进而求出的范围即可. 【详解】设点，由题意可得， 则，则， ∴．如下图，O为坐标原点，连接MO，易知，分别为线段，的中点， 所以，且，∴，，∵函数在上单调递减，∴，∴. 【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线中线段的比例关系，解题的关键是通过双曲线的性质、题中几何关系，求得的表达式，进而可求得，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 【变式训练13-23】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【答案】A 【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果； 【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，； 【变式训练13-24】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 【变式训练13-25】已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线、利用双曲线定义求方程、由方程研究曲线的性质 【分析】根据双曲线的定义及直线与双曲线相交求解的取值范围. 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. （二）多选题 【变式训练13-1】在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】 求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D． 【详解】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，， ，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时， 综上的最小值为6．D正确． 【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值． 【变式训练13-2】已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（       ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点 D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2= 【答案】AC 【解析】 【分析】 可设，代入双曲线的方程，结合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，可判断，，，再由焦点三角形面积及双曲线的对称性，即可判断． 【详解】可设，可得，即有，由，，可得， 即，若恒成立，且实数的最大值为1，可得的最小值为1， 由，当时等号成立，则，解得，可得双曲线的方程为，则，故正确，错误；由双曲线的焦点为，，函数，的图象恒过双曲线的焦点，，故正确；由△PF1F2的面积为及双曲线的对称性可知，P点可在左支，也可在右支上，所以∠PF1F2=错误，故错误． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查不等式恒成立问题解法和函数的图象的特点、以及直线和双曲线的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 【变式训练13-3】已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（       ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出渐近线方程，设，直接计算，然后判断各选项． 【详解】由题意双曲线的渐近线为，即，设，不妨设在第一象限，在渐近线上，则，，，A正确；在双曲线上，则，， ，，∴，B正确；，当且仅当时等号成立，即的最小值为，C错误；渐近线的斜率为，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 【变式训练13-4】双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为 A．4 B． C．2 D． 【答案】ABD 【解析】由渐近线上的点的坐标可求得渐近线方程；利用对称关系可知，由此求得；当三点共线且在双曲线右支上时，可知取得最小值，无最大值，由此可判断各个选项能否取得. 【详解】由双曲线方程得渐近线方程为：，在渐近线上， 渐近线方程为 设坐标原点为，则，，当三点共线且在双曲线右支上时，最小，，又为双曲线上的动点 ， 无最大值 选项中的值均大于，选项中的值小于，选项中的值均有可能取得 【变式训练13-5】已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、基本不等式求和的最小值、双曲线中的定值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】    由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 为定值，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D正确； 故选：BCD 【变式训练13-6】若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由焦点三角形面积公式可得A错误；由双曲线的定义可得B正确；当点位于右顶点时可得C正确；由向量的数量积和基本不等式可得D错误. 【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A错误； 对于B，由双曲线的定义可得，当三点共线时取等号，故B正确； 对于C，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点位于右顶点时，最小， 所以，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于D， ，当时取等号，但，所以取不到等号，故D错误. 故选：BC 【变式训练13-7】已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【解析】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． （三）填空题 【变式训练13-1】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以， 所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为. 【变式训练13-2】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 【变式训练13-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得AH=AI，F1H=F1J，F2J=F2I，再由双曲线的定义可得：F1H –IF2 =2a，进而可得F1J – F2J = 2a，设J的横坐标，解出横坐标，设直线AB的倾斜角，则求出ME-NE的表达式，由倾斜角的范围求出其范围. 【详解】设直线，，与的内切圆分别相切于点，，，则，，．因为，所以，即，即，设点的横坐标为，则点的横坐标为．因为，，所以，解得，所以点与点重合，且轴；同理，可得轴．设直线的倾斜角为，当时，易得；当时，，，由题可知， 所以，又，所以．综上可知，的取值范围为． 【变式训练13-4】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是______. 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的最小值． 【详解】由双曲线的方程可得：，则，所以，，，设，， 不妨设点在双曲线右支上，延长交于点，则，，如图： 由角平分线性质可知，，双曲线的定义可得，即， ，，即点在以原点为圆心，2为半径的圆上，因圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离为， 【变式训练13-5】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围． 【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以 【变式训练13-6】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的最小值是__________，最大值是__________． 【答案】 【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围． 【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以则点到渐近线的距离的最小值是，最大值是． 【变式训练13-7】费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求双曲线中的最值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】首先根据题意画出图象，然后根据图象的特征可知，然后根据的范围，即可求得取值范围. 【详解】根据题意画出图象为： 因为是的中点，是的中点，所以是三角形的中位线， 所以，所以， 又是双曲线在点处的切线，所以为的角平分线， 所以. 所以. 因为点在双曲线的右支，且由题意知点不与右顶点重合， 所以. 所以. 故答案为：. 【变式训练13-8】已知实数满足，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围. 【详解】当，表示椭圆第一象限部分；当，表示双曲线第四象限部分；当，表示双曲线第二象限部分；当，不表示任何图形； 以及两点，作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为，根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，与距离为2，曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近2，考虑曲线第一象限的任意点设为到的距离 ，当时取等号，所以，则的取值范围是。 题型14：双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 【变式训练14-1】已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程. 【详解】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即 【变式训练14-2】过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先设出的坐标写出切线方程从而得到切线与轴交点的横坐标，再利用双曲线第二定义表示出的值，再根据得到相似比即可求的值进而求离心率. 【详解】设，则切线的方程为， 设切线与轴交点为，令可得点的横坐标， 根据双曲线第二定义可得， 由，即， 也即，解得， 则，故. 故答案为： 【变式训练14-3】求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据仿射变换可解. 【详解】设变换，则， 可将双曲线变换为圆， 于是点可化为， 显然在圆上， 易得切线方程为，即， 双曲线在点处的切线方程为. 题型15：双曲线中的光学性质 【典型例题1】在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 【典型例题2】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的大小为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，因为双曲线的离心率为，所以不妨设其方程为，则， 由题意，，所以点P在圆上，不妨设P在第一象限，联立解得：，，所以，设， 则直线的斜率， 所以，故. 【答案】D 【典型例题3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知入射光线F2P斜率为，且F2P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2+ D． 【答案】D 【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率. 【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D 【变式训练15-1】双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 【变式训练15-2】根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】显然在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解． 【详解】解：由已知可得在第一象限， 将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以， 又由双曲线的方程可得，，所以，则， 所以，且点，都在直线上，又， 设过点与双曲线相切的直线方程为，代入 所以， 设的角平分线为，则， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 因为，解得 所以直线的斜率为 故选：D． 【变式训练15-3】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 【变式训练15-4】 “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点（如图1），并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角（如图2）． 已知左、右焦点分别为的双曲线的离心率为，并且过点，坐标原点为双曲线的对称中心，点的坐标为（1，0），则下列结论不正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．若从射出一道光线，经双曲线反射，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C． D．过点作垂直的延长线于点，则 【答案】B 【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出. 【详解】设双曲线的方程为． 对于A，由离心率，可得， 于是双曲线的方程为， 将代入，得， 所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，根据题中条件分析可知，反射光线所在直线与双曲线有两个交点，且过点， 则其斜率介于双曲线的两条渐近线斜率之间， 而双曲线渐近线斜率， 则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B错误； 对于C，因为，所以， 与双曲线方程联立，得到， 可知该直线与双曲线只有一个交点， 即直线为双曲线在点处的切线， 根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知， ，故C正确； 对于D，由C选项知， 因为直线垂直于直线，所以， 又，所以， 由，得，因此，故D正确； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用双曲线的光学性质判断选项. 【变式训练15-5】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 【变式训练15-6】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的光学性质可得焦点三角形的性质，从而可得基本量的关系，故可求离心率. 【详解】 由题意知，表示的曲线为双曲线的右支， 点为双曲线的左焦点，光线射向双曲线上的点， 由双曲线的光学性质可知，反射光线所在直线过右焦点， 由已知，，所以， 点到直线：的距离，即， 所以， 所以，，且， 所以，,又，得， 所以，得， 故选：B. 【变式训练15-7】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故. 所以. 可设，，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， ，解得， 所以. 故选：C.    【变式训练15-8】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，    设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 【变式训练15-9】双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 【答案】或 【分析】设，由双曲线定义表示出，解三角形求出，，结合双曲线定义利用表示，从而建立关系式求出（用表示），可求得． 【详解】由题可知三点共线， 三点共线，如图，连接，， 设，则，因为，所以， 又，所以，， 所以，， 所以，得， 则． 故答案为： 题型16：双曲线与向量 （一）单选题 【典型例题1】已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为，即，    设点，则， 设点在直线、的射影点分别为、， 则，，所以，， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且， 则，所以，， 因为，故， 所以，， 由平面向量数量积的定义可得. 故选：A. 【典型例题2】已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 【变式训练16-1】若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为双曲线：，所以，设直线方程为， 代入双曲线方程消去y得， 判别式，且， 由韦达定理得，因为，所以， 所以，两式联立解得，故选：D． 【变式训练16-2】已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【解析】∵，整理得：，即，∴， 不妨设，根据结合比例易得，则，解得 ∴，故选：B． 【变式训练16-3】已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【解析】设，渐近线l的方程为，① 直线的方程为，② 联立①②可得，，即有， 由，可得，， 解得，，即，由P在双曲线上，可得， 化为，即，可得，所以直线l的斜率为．故选：D． 【变式训练16-4】已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ） A． B．9 C． D． 【解析】设，，，，， 由点P为AB的中点，得，， 将P点代入双曲线方程可得，化简得， 所以，故选：B． 【变式训练16-5】过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解析】由题意得：由双曲线的方程，可知， 过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为 联立，得：，联立，得：， 则 ，，， ，整理得：，解得：，故选：A 【变式训练16-6】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【解析】如下图所示，取线段的中点，连接，    因为，则， 因为为的中点，则，且， 由双曲线的定义可得， 所以，，则， 由余弦定理可得， 所以， ，因此，该双曲线的离心率为.故选：C. 【变式训练16-7】已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，，、，双曲线的渐近线方程为， 不妨设直线的斜率为，则直线的方程为，易得， 设点的坐标为，其中， ，， 所以，， 故当时，取得最小值，此时， 当时，取得最大值，此时，因此，.故选：D. 【变式训练16-8】已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，由双曲线定义可知：，又因为，所以，，所以，所以， 所以，所以，所以，所以椭圆方程为， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以，解得，故选：A. （二）多选题 【典型例题2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（    ） A．C的离心率为2 B．若，则C的方程为 C．若，则（O为坐标原点）的面积为 D．若，则C的焦距为 【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为，因为C的一条渐近线经过点，所以，即，所以，所以，故选项A正确； 对B，因为，所以点P在圆上，所以. 又离心率，所以，则，所以C的方程为，故选项B正确； 对C，由Ｂ得，的面积为，故选项C错误； 对D，设，，由，得，所以，，代入渐近线方程，得，解得，所以C的焦距为，故选项D正确. 故选：ABD. 【变式训练16-1】已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设点，则或，且有，可得， ，，， 令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，函数单调递减，此时； ②当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为. 因此，的值可以是、、.故选：BCD. 【变式训练16-2】已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（    ） A．直线与轴垂直 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点） 【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确； 不妨设点在第一象限，易知，，，即点， 设，由，得，所以， 所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确； ，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误； 不妨设点在第一象限，则，所以，D错误． 故选：AB． 【变式训练16-3】已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（    ） A． B．－ C． D．－ 【解析】因为成等差数列，所以，所以． 设左焦点为，则． 令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．故选：AB. 【变式训练16-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】AB 【详解】双曲线中，，实轴长， 不妨设点在第一象限，，则， 所以，，则， 又点在双曲线上，所以，即， 则，由，可知，即， 则的最大值为16，所以的取值可以是，. 故选：. 【变式训练16-5】双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD （三）填空题 【典型例题4】已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 【答案】30 【详解】由题意，，，为双曲线上一点， 则， 解得，又点在双曲线上，则，解得， ，，则，， 所以. 故答案为：30. 【变式训练16-1】已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设为坐标原点，则， 从而.    设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 【变式训练16-2】已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 【变式训练16-3】设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为 ． 【解析】 因为，所以.设，， 因为，所以. 在中，根据余弦定理有， 所以，整理可得，，解得（负值舍去），所以， 所以，，故周长为. 【变式训练16-4】已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ． 【解析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由， 可得． 因为的最小值为，所以的最小值是3． 【变式训练16-5】已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则 . 【解析】设，由题意知，, 因为是双曲线右支上的一点，满足，所以,解得. 所以 ，两式相减可得，即.设，则， 又，所以. 【变式训练16-6】设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为 . 【解析】如图，设为的中点，连接， 易知，， ， 又为的中点，，，， 为等腰直角三角形，设，由双曲线的定义知，解得， ，又，. 在中，，，，化简得，即， 又，. 题型17：双曲线在日常生活中的应用 【典型例题1】如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 【典型例题2】一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意画出轴截面如下图所示： 设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 【典型例题3】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 【变式训练17-1】如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 【变式训练17-2】如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为尊高，上口直径为，底部直径为， 设点， 所以且，解得，即， 可得双曲线的渐近线为， 所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为. 故答案为：.    【变式训练17-3】、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 【答案】P在北东方向 【详解】以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，依题意， ∴在以为焦点的双曲线的右支上． 其中，其方程为， 又，∴又在线段的垂直平分线上，PD：， 由方程组解得，即. 由于，可知在北东方向．    【变式训练17-4】若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，设，则由， 得，整理得. 由得， 依题意可知，解得， 则双曲线C的虚轴长. 【变式训练17-5】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 【变式训练17-6】如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【详解】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系． 则，，， 设为巨响为生点，由A、同时听到巨响声，得， 故在的垂直平分线上，的方程为，因点比A点晚听到爆炸声， 故，由双曲线定义知点在以A、为焦点的双曲线上， 依题意得，，， 故双曲线方程为，将代入上式，得， ，，，即 故. 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心米处． 【变式训练17-7】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设双曲线的方程为，则， 可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $