河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足，则z的虚部为 A． B． C． D． 2．已知A，B，C是同一平面内不同的三点，且，若，则 A． B． C． D． 3．已知一组数据5，9，3，x，4，7的极差为6，则 A．x的最小值为1 B．x的最小值为4 C．x的最大值为9 D．x的最大值为15 4．在正四面体中，E，F，G分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 5．已知两个随机事件A，B相互独立，，则 A．0.68 B．0.76 C．0.88 D．0.98 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则边上的中线长度的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知球O与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球O的表面积为 A． B． C． D． 8．已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知a，b为异面直线，，为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是 A．对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B．对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C．若，，则 D．若，则 11．在长方体中，底面为正方形，，，E，F分别为棱，的中点，设过点B，E，F的平面为，，则 A． B．截长方体所得截面为五边形 C．截长方体所得截面的周长不超过12 D．与平面所成的锐二面角的正切值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人．现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为__________． 13．已知复数z满足，则的最小值为__________． 14．若对任意的，都有，则称A是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． （1）求证：； （2）求点A到平面的距离． 16．（15分） 在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”，“取出的小球上的数字分别为1，2，3”，“取出的3个小球上的数字之和大于5”． （1）求； （2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 17．（15分） 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为150分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求图中a的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； （3）若落在中的样本数据的平均数是105，方差是5，落在中的样本数据的平均数是117，方差是2，求落在中的样本数据的平均数和方差． 18．（17分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C． （2）． （ⅰ）若的周长为，角C的平分线交于点D，求的长； （ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABC 10．BC 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解析（1）因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即， （2分） 因为垂直于圆O所在的平面，所以， （3分） 又，所以平面， （4分） 又平面，所以． （5分） （2）方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知平面，所以， 又，所以平面，则的长度即是点A到平面的距离． （7分） 在中，， （9分） 由，即， 解得，即点A到平面的距离为． （13分） 方法二：由题可得． （6分） 设点A到平面的距离为h， 由题意知，即， （9分） 即，解得， 即点A到平面的距离为． （13分） 16．解析 不妨记标有数字1，2，3的3个红球分别为，，，标有数字1，2的2个黄球分别为，，标有数字1的1个白球为， 则一次性摸出3个小球的情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即样本空间包含的基本事件共有20个． （3分） （1）事件C包含的基本事件有，，，，，，，共有7个， 所以． （6分） （2）事件A包含的基本事件有，，，，，，共有6个，所以， （9分） 事件B包含的基本事件有，，，，，，共有6个，所以， （11分） 事件包含的基本事件为，则， （13分） 而， （14分） 所以，故事件A，B不相互独立． （15分） 17．解析（1）依题意可知，， 又，解得． （3分） 估计样本数据的众数为125． （4分） （2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为， 成绩落在中的频率为0.25， 则获得一等奖学生的最低分应落在中． （7分） 设获得一等奖学生的最低分为x，则有， 解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分． （10分） （3）， （12分） ． （15分） 18．解析 （1），即， （1分） 由正弦定理可得， 又， 所以， （3分） 因为，所以， 所以，即， 又，所以． （5分） （2）（ⅰ）因为，的周长为，所以， 由余弦定理可得，即， 即，得， （7分） 所以的面积为， （8分） 则， 所以． （10分） （ⅱ）因为，所以E是的中点，所以， 则， 又，所以， （12分） 由正弦定理可得， 所以，， 所以 ． （14分） 因为为锐角三角形，所以解得， 所以，所以， 所以，所以，则的取值范围是． （17分） 19．解析（1）因为，，， 所以平面， （2分） 又平面，所以平面平面． （3分） 如图1，取的中点E，连接，，则， 又平面平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， （5分） 因为，，， 所以，，， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． （7分） （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的一个三等分点． 证明：如图2，过点M作交于点N，连接， 因为，所以， 又平面，所以， 所以四边形为平行四边形，， 故M为棱上靠近点P的一个三等分点时满足题意． （10分） （ⅱ）如图2，过点M作交于点O，连接， 则，，， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，所以平面平面． （12分） 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知平面，因为，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面，所以， 则即为平面与平面所成锐二面角的平面角， （15分） 在中，，，则，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $