河南省叶县高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习训练卷（4）

**基本信息** 覆盖人教A版必修二全册核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合八卦文化情境与工厂抽样、猜成语等生活应用，考查数学抽象、逻辑推理和数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、分层抽样、频率分布直方图分位数|第3题通过直方图考查50%分位数，体现数据分析能力| |多选|3/18|解三角形性质、数据特征（平均数、标准差）|第11题矩形翻折问题，考查空间观念与体积计算| |填空|3/15|正八边形向量、抛掷骰子概率|第12题结合八卦模型考向量运算，渗透文化传承| |解答题|5/67|立体几何证明与二面角、概率计算|第19题三问递进（证明、二面角、线面角范围），强化逻辑推理|

2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（4） 范围：人教A版必修二全册 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 3．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 4．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C．6 D．12 5．设是两条直线，是两个平面，已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．从长度为2，4，5，7的4条线段中选出3条线段首尾相连构成三角形，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定的 7．已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B．是锐角三角形 C．若M是BC上一点，且，则 D．若D是BC上一点，且AD平分，则 10．现有两组数据，第一组数据为，其平均数为a，标准差为b，极差为m，第80百分位数为n；第二组数据为．则下列说法正确的是（   ） A．第一组数据去掉，其剩余数据的标准差比b小 B．第二组数据的平均数为 C．第二组数据的第80百分位数为 D．第二组数据的极差为 11．已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________． 13．已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 14．如图，在四面体中，底面为边长为2的正三角形，平面，是的中点，若，则异面直线和所成角的余弦值为_____.    四、解答题 15．（13分）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 16．（15分）已知向量，． (1)若，求x的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值． 17．（15分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．在每一轮比赛中甲乙都猜对的概率为，甲乙都猜错的概率为. (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中恰好猜对3个成语的概率. 18．（17分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为. (1)求； (2)若，求的面积. 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面PAC； (2)求二面角的大小； (3)点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（4）（解析版） 范围：人教A版必修二全册 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 所以的共轭复数， 所以的虚部为. 2．某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【分析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案. 【详解】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 3．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】B 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组内，列式求解即可. 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为，，第3个小组的频率为， 又，， 故50%分位数在内，. 故选：B. 4．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】由正弦定理即可直接求解. 【详解】设外接圆的半径为， 则， 即． 则外接圆的半径为. 5．设是两条直线，是两个平面，已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由空间线面的位置关系结合充分性、必要性即可判断. 【详解】由，，可得．又因为，所以，即满足充分性． 由，，，知直线可以在平面内，如下图， 不能得到“”的结论，不满足必要性． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6．从长度为2，4，5，7的4条线段中选出3条线段首尾相连构成三角形，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定的 【答案】C 【分析】根据三角形两边的关系可知能构成三角形的组合有,两种，利用余弦定理求出最大角的余弦值即可判断. 【详解】根据三角形两边的关系可知能构成三角形的组合有：,， 当三边分别为时，最大角的余弦值为,此时该三角形为钝角三角形； 当三边分别为时，最大角的余弦值为,此时该三角形为钝角三角形. 综上,该三角形的形状为钝角三角形. 7．已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等求得两体积表达式，再利用不等关系计算可得结果. 【详解】设底面圆半径为，侧面积为， 则圆锥的母线长为，圆柱母线（即高线）长为， 可得圆锥的高为，由，可得， 即，故有， ， ； 因此. 故选：B. 8．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可. 【详解】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，            因为等边的边长为，所以， 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B．是锐角三角形 C．若M是BC上一点，且，则 D．若D是BC上一点，且AD平分，则 【答案】AC 【分析】由余弦定理求出判断A，由余弦定理求出判断B，利用等面积法求高判断C，根据三角形的面积公式求判断D. 【详解】由余弦定理，得，解得，故A正确； 由余弦定理，得，所以为钝角三角形，故B错误； 设BC边上的高长h，则，解得，故C正确； 设BC边上的角平分线为AD，则， 则，即， 解得，故D错误． 故选：AC 10．现有两组数据，第一组数据为，其平均数为a，标准差为b，极差为m，第80百分位数为n；第二组数据为．则下列说法正确的是（   ） A．第一组数据去掉，其剩余数据的标准差比b小 B．第二组数据的平均数为 C．第二组数据的第80百分位数为 D．第二组数据的极差为 【答案】BC 【分析】本题可根据平均数、标准差、极差、百分位数的性质，逐一分析选项. 【详解】第一组数据去掉，剩余数据的离散程度可能变小， 也可能不变，所以不能确定其标准差一定比小，故A错误； 第一组数据平均数为，第二组数据是（ ）， 则第二组数据平均数为，故B正确； 第一组数据第百分位数为，第二组数据是， 则第二组数据第百分位数为，故C正确； 第一组数据极差为，第二组数据是， 则第二组数据极差为，故D错误. 故选：BC 11．已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 【答案】AC 【分析】对A：借助折叠性质与勾股定理逆定理计算即可得；对B：借助线面垂直判定定理可得为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可得；对C：借助等体积法计算即可得；对D：设出球心，结合外接球性质，利用勾股定理计算即可得. 【详解】对A：，，， 有，故，故A正确； 对B：由，故、， 又、平面，，故平面， 故，故B错误； 对C：设点到平面的距离为，则由可得： ，则，故C正确； 对D：设三棱锥外接球球心为，半径为， 由，平面，取中点， 则，且，则， 则有， 即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意可知：，，， 则，， 所以. 故答案为：. 13．已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 【答案】 【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为8的情况，即可求解. 【详解】将先后两次的向上点数记为有序实数对，则共有个基本事件， 其中向上点数之和为8的情况有，共5种， 所以满足条件的概率为. 故答案为：. 14．如图，在四面体中，底面为边长为2的正三角形，平面，是的中点，若，则异面直线和所成角的余弦值为_____.    【答案】 【分析】取的中点，利用三角形中位线得出，将异面直线所成的角转化为共面直线的夹角；再借助线面垂直的性质及解三角形的知识即可求解. 【详解】    取的中点，连接. 因为是的中点， 所以由三角形中位线可得：， 则或其补角为异面直线和所成角. 因为平面，，平面， 所以，. 又因为三角形为边长为2的正三角形， 所以， ， ， 显然， 所以为直角三角形， 则 即异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（13分）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知是方程的另外一个根，再利用韦达定理求解； （2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】（1）解： 是关于的方程的一个根， 是方程的另外一个根， ，解得， ； （2）解：， 又是纯虚数， ， 解得． 16．（15分）已知向量，． (1)若，求x的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算可得结果； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式可得结果. 【详解】（1）∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）因为， 所以，解得，， 所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． 17．（15分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．在每一轮比赛中甲乙都猜对的概率为，甲乙都猜错的概率为. (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中恰好猜对3个成语的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，求解可得的值； （2）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，所以. 所以是方程的两根. 又，所以. （2）由（1）知，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为. 所以甲在两轮中恰好猜对一个成语的概率为，猜对两个成语的概率为； 乙在两轮中恰好猜对一个成语的概率为，猜对两个成语的概率为. 所以“星队”在两轮活动中恰好猜对3个成语的概率为. 18．（17分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦定理和三角形面积公式可求； （2）由正弦定理求出角，再由两角和正弦公式求出，从而根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 所以，所以， 因为是锐角三角形，所以； （2）由正弦定理，已知， 则， 因为是锐角三角形，所以， 所以 ， 所以 . 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面PAC； (2)求二面角的大小； (3)点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出，由勾股定理逆定理可得，由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理得解即可； （2）先证明是二面角的平面角的补角，再解三角形得解； （3）证明平面ABCD，可得线面角为，设，利用函数单调性求取值范围即可. 【详解】（1）， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以，所以 因为底面ABCD，平面ABCD，所以. 又平面PAC，所以平面PAC. （2）取BP的中点E，过点D作平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF. 因为平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD. 因为平面平面，所以平面PAB. 因为平面PAB，所以. 因为，所以 又BP，平面PBC，，所以平面PBC. 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以 由（1）知平面PAC，因为平面PAC，所以. 因为平面PBC，平面PBC，所以. 又DF，平面CDF，，所以平面CDF. 因为平面CDF，所以. 由，平面平面，知是二面角的平面角的补角. 由，得. 所以二面角的大小为. （3）过点T作TG平行于PA，交AC于点G，连接GD. 因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以. 因为，所以. 因为，AB，平面ABCD，所以平面ABCD， 所以TD与底面ABCD所成的角为. 设，所以，即，所以. 所以. 由函数单调递增，得： 所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $