11.3 一次函数与方程、不等式第2课时一次函数与二元一次方程（组）课件 2025--2026学年青岛版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程（组）的内在联系，通过“一次函数表达式即二元一次方程”的情境导入，衔接一次函数图象与二元一次方程解的关系，搭建代数与几何转化的学习支架。 其亮点在于以自主探究活动（如画图验证方程解与函数图象点的对应）培养几何直观，通过归纳推理（如从具体方程到一般结论）发展推理意识，用“数与形对应”表格及图象法步骤强化模型意识。实例丰富如典例解析求交点坐标，采用数形结合教学法，总结清晰，助力学生构建知识体系，教师使用可提升教学效果。

11.3一次函数与方程、不等式 第2课时一次函数与二元一次方程（组） 第十一章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 理解一次函数与二元一次方程（组）之间的内在联系。 能从函数图象的角度解释二元一次方程的解与对应直线上点的坐标之间的关系。 能通过求两个一次函数图象的交点坐标，来求解对应的二元一次方程组。 一次函数的表达式也可以看作含有两个未知数的等式,即二元一次方程。 从函数视角看二元一次方程,会有什么新收获呢? 创设情境 导入新课 问题1：y=3x-5是一次函数吗？是二元一次方程吗？ 既是一次函数又是二元一次方程. 高效课堂 活动一：自主探究从函数的角度看二元一次方程及其解 4 问题2：画出一次函数y=3x-5的图象，并任取图象上的一个点，这个点的坐标能否满足二元一次方程3x-y=5？ 高效课堂 任取图象上的一个点，如点(1，-2)，它的坐标满足二元一次方程3x-y=5，是二元一次方程的一个解. (1，-2) 5 问题3：二元一次方程3x-y=5的一个解与一次函数y=3x-5图象上相应的点的坐标之间有什么关系？ 高效课堂 以二元一次方程3x-y=5的每个解为坐标的点都在一次函数y=3x-5的图象上. x=2 y=1 (2，1) 6 任意二元一次方程的解与其对应的一次函数图象上点的坐标之间有什么关系? 思考与交流 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 任意二元一次方程都可以可以转化为y=kx-b 任意二元一次方程的解与其对应的一次函数图象上点的坐标之间是一对一的关系。 知识探究 探究 1：一次函数与二元一次方程的联系 思考与交流 （1）y=3x−5 是一次函数吗？是二元一次方程吗？ y=3x−5 形如y=kx+b,k=3,b=-5 是一次函数 y=3x−5 两个未知数x、y,未知数的最高次数为1，等号左右两边为整式 是二元一次方程 函数角度 方程角度 知识探究 探究 1：一次函数与二元一次方程的联系 思考与交流 （2）二元一次方程3x-y=5的一个解与一次函数y=3x-5图象上相应的点的坐标之间有什么关系? 1.画y=3x-5图象 （2，1） 2.取方程3x-y=5的一个解， 如： x=2 y=1 3.在平面直角坐标系上找到点（2,1） y=3x-5 发现： 是二元一次方程3x-y=5的一个解,它所对应的点(2,1)在直线y=3x-5上。 x=2 y=1 反过来,直线y=3x-5上任意一个点的坐 标,都是二元一次方程3x-y=5的解。 知识探究 探究 1：一次函数与二元一次方程的联系 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 概括与表达 一般地,二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)可看作一个一次函数y=-x+. 以二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的任意一个解为坐标的点,都在直线y=-x+反之,直线y=-x+上任意一个点的坐标,都 是二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的一个解。 问题1：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一般地，二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)可看作一个一次函数y=-x+.以二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)的任意一个解为坐标的点，都在直线y=-x+上；反之，直线y=-x+上任意一个点的坐标，都是二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)的一个解. 高效课堂 活动二：归纳总结一次函数与二元一次方程的关系，巩固提升 11 问题2：在平面直角坐标系中分别画出函数y=-x+5和y=2x-1的图象，观察这两个图象，它们有交点吗？ 你能求出交点坐标吗？ 高效课堂 (2，3) 12 在一次函数 y=3x-5的图象上 方程 3x-y=5的解 从形到数 从数到形 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 概括与表达 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 一般地,二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0) 可看作一个一次函数y= - x+。 以二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的任意一个解为坐标的点,都在直线y= - x+ 上; 反之,直线y= - x+ 上任意一个点的坐标,都是二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的一个解。 典例解析 例2 函数y=2x-1与y=x+1的图象是否有交点? 若有,求出交点坐标。 解:直线y=2x-1上点的坐标都是方程y=2x-1的解, 直线y=x+1上点的坐标都是方程y=x+1的解。 两个函数图象若有交点,则其坐标满足方程组 y=2x-1 y=x+1 解得： x=2 y=3 所以函数y=2x-1与y=x+1的图象有交点,交点坐标为(2,3) 典例解析 例1 函数y=2x-1与y=x+1的图象是否有交点? 若有,求出交点坐标。 两个函数图象的交点坐标也可以通过画出它们的图象得到 y=x+1 交点：（2,3） y=2x-1 典例解析 探究与挑战 在例1中,如何利用图象求出不等式2x-1<x+1的解集? y2=x+1 交点：（2,3） y1=2x-1 y1=2x-1 y2=x+1 依题意得：y1＜y2 则函数图像直线y1在y2的下方 x＜2 不等式2x-1<x+1的解集为：x＜2 新知进阶 利用图象法解二元一次方程组： 解： 列表得： 过点(0，－2)和(1，1)画出直线l1， 再过点(0，2)和(1，1)画出直线l2，如图， 由图象知：两条直线交点的坐标为(1，1)， ∴方程组的解为： x 0 1 y＝3x－2 －2 1 y＝2－x 2 1 例 函数y=2x-1与y=x+1的图象是否有交点？若有，求出交点坐标. 问题: (1)两个一次函数图象的交点问题有哪些求解的方法？ (2)你能用二元一次方程组表达这个问题吗？ 高效课堂 活动三：例题讲解，知识迁移与运用 19 例 函数y=2x-1与y=x+1的图象是否有交点？若有，求出交点坐标. 解：直线y=2x-1上点的坐标都是方程y=2x-1的解，直线y=x+1上点的坐标都是方程y=x+1的解.两个函数图象若有交点，则其坐标满足方 程组 解得 所以函数y=2x-1与y=x+1的图象有交点， 交点坐标为(2，3). 高效课堂 活动三：例题讲解，知识迁移与运用 y=2x-1， y=x+1. x=2， y=3. 20 探究二 一次函数与二元一次方程的关系 思考与交流 2x-y=1 3x+5y=8 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗? 解：二元一次方程组 2x-y=l 3x+5y=8 可转化为两个一次函数 y=2x-1 y= - x+ 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =2x-1 p （1,1） 同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1 与y=-x+ 这两条直线的交点坐标为（1，1） y=-x+ 由此得出方程组 2x-y=l 3x+5y=8 得解是 x=l y=1 探究二 一次函数与二元一次方程的关系 这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. 新知进阶 用图象法解二元一次方程组的基本方法： (1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b的形式； (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象； (3)利用图象的直观性确定交点坐标. 结合 概括与表达 课堂总结 课堂总结 一次函数与二元一次方程的联系 二元一次方程的每一组解，都是对应一次函数图象（直线）上一个点的坐标； 反过来，一次函数图象（直线）上任意一点的坐标，都是对应二元一次方程的一组解。 一次函数与二元一次方程组的联系 二元一次方程组的解，就是两个对应一次函数图象的交点坐标； 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解 一次函数与二元一次方程组、不等式 解一元一次不等式 解二元一次方程组 对应一次函数的函数值大（小）于另一个函数的值时，求自变量的取值范围，即在一个函数图像上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 求对应两条直线交点的坐标 . 课堂小结 $