11.3一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与方程、不等式 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数与一元一次方程、不等式的联系，通过问题情境导入，从解方程与函数值为0的对比切入，搭建从代数求解到函数图象的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点是以“函数值”与“函数图象”双视角整合内容，结合y=2x+1实例分析方程解与不等式解集，培养几何直观和推理意识，用表格总结关系体现模型意识。学生能深化数形结合理解，教师可借助清晰结构提升教学效率。

11.3一次函数与方程、不等式 第1课时一次函数与方程、不等式 第十一章 一次函数 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系. 2.能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有怎样的联系? 从函数视角看方程和不等式,会有哪些新发现? 创设情境 导入新课 解：当 y = 0 时 ，即 2x + 1 = 0 2x =-1 x =- 解： 2x + 1 = 0 2x =-1 x =- 从“函数值”的角度看： 求一元一次方程2x+1=0的解，可转化为求一次函数y=2x+1中y=0时x的值. 1.解方程： 2x + 1 = 0. 2.已知一次函数 y = 2x + 1，x 取何值时，y = 0？ 这两个问题有什么关系？你发现了什么？ 方程2x+1=0的解与一次函数y=2x+1的图象又有什么关系？ 直线 y=2x +1 与 x 轴交点坐标为(___，___)，这说明方程 2x＋1＝0 的解是 x＝_____. 0 从“函数图象”的角度看： 求一元一次方程2x+6=0的解，就是求直线y=2x+6与x轴交点的横坐标. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 2x + 1 - - 下面3个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1)2x + 1 = 3；(2)2x + 1 = 0；(3)2x + 1 = -1 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 2x+1 = 3 的解 y = 2x + 1 2x+1 = 0 的解 2x+1 =-1 的解 从函数值看： 解这3个方程⟺ 一次函数y=2x+1，当y分别为3，0，-1时，求自变量x的值. 从函数图象看： 在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点的横坐标. 2x+1=0, 2x+1>0, 2x+1<0。 观察与发现 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 观察下列方程和不等式,你能联想到 哪个一次函数? 想到一次函数y=2x+1. 你能画出它的图像吗？ y=2x+1 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 过点（- ，0），（0，1）作直线 当y =0时，2x+1=0； 一次函数y=2x+1怎样与方程、不等式有什么关系？ 当y >0时，2x+1>0； 当y <0时，2x+1<0。 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 知识探究 探究 1：一次函数与一元一次方程的联系 观察与联想 观察方程 2x+1=0，它与一次函数y=2x+1有什么关系？ 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =2x+1 2x +1=0 的解 当函数y=2x+1的函数值y=0时，对应的自变量x的值就是方程2x+1=0 的解。 （-，0） 交点的横坐标x=-就是方程 2x+1=0 的解。 知识探究 探究 1：一次函数与一元一次方程的联系 观察与联想 求一元一次方程 kx+b=0的解． 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y= kx+b 中，y=0时x的值． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx+b=0的解． 求直线y= kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 从“函数图象”看 知识探究 探究 1：一次函数与一元一次方程的联系 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 概括与表达 解一元一次方程ax+b=0（a≠0），相当于求一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时，自变量x的值。 从图象上看，就是求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 一次函数 y = kx + b中，y = 0 时 x 的值 求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标 从“函数图象”看 从“函数值”看 根据一次函数y=2x+1的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+1>0和2x+1<0的解集吗？ 2x+1>0，就是函数y=2x+1中函数值y>0. 直线y=2x+1在x轴上方时，它上面的点的纵坐标y>0. 故2x+1>0的解集为x>-. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 2x + 1 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 2x + 1 根据一次函数y=2x+1的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+1>0和2x+1<0的解集吗？ 2x+1<0，就是函数y=2x+1中函数值y<0. 直线y=2x+1在x轴下方时，它上面的点的纵坐标y<0. 故2x+1<0的解集为x<-. 你能从函数的角度解释上面方程的解和不等式的解集吗？ y=2x+1 思考与交流 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 y=2x+1 在一次函数y=2x+1图象上取一点,当该点的纵坐标分别满足大于零、小于零、等于零时,横坐标的取值范围是什么? 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 y=2x+1 你能利用函数图像求一元一次方程 2x + 1 = 0 的解？ ①从函数值看： 当 y = 0 时，求 x 的值. ②从函数图象看： 求一次函数 y = 2x + 1 与 x 轴交点的横坐标. x = 0.5. x = 0.5. 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 知识探究 探究 2：一次函数与一元一次不等式的联系 观察与联想 观察不等式 2x+1>0 和 2x+1<0，它们与一次函数y=2x+1 有什么关系？ 　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围； 　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围． 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =2x+1 y =0 （-，0） y＜0，x＜- y＞0，x＞- 知识探究 探究 2：一次函数与一元一次不等式的联系 观察与联想 观察不等式 2x+1>0 和 2x+1<0，它们与一次函数y=2x+1 有什么关系？ 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =2x+1 y =0 （-，0） y＜0，x＜- y＞0，x＞- 函数y=2x+1的图象在x 轴上方的点的纵坐标都满足y>0,横坐标都满足x>-。因此x>-就是一元一次不等式2x+1>0的解集。类似地,可以得到2x+1<0的解集。 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？ (1)2x + 1＞2；(2)2x + 1＜0；(3)2x + 1 ＜ -1 从函数值看： 解这3个不等式⟺ 在一次函数 y = 2x + 1的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x 的取值范围. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 3x + 2 y = 2 (1)3x + 2＞2；(2)3x + 2＜0；(3)3x + 2 ＜ -1 y = 0 y = -1 从函数图象看： 解这 3 个不等式⟺ 在直线 y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件. y＞2 x＞0 y＜-1 x＜-1 y＜0 x＜- 求 kx + b＞0 (或＜0)(k ≠ 0)的解集 y = kx + b 的值大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 确定直线 y = kx + b在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x取值范围 从“函数图象”看 从“函数值”看 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0 (a≠ 0)的形式，所以解一元一次方程， 从函数值考虑，相当于在某个一次函数 y = ax+b 的函数值为0时，求自变量 x的值； 从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与 x 轴的交点的横坐标. 一次函数与一元一次方程的关系: 探究一 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤： ①转化：将一元一次方程转化为 kx+b = 0 (k≠0)的形式； ②画图象：画出一次函数 y = kx+b 的图象； ③找交点：找出一次函数图象与 x 轴交点的横坐标， 即为一元一次方程的解. 课堂总结 课堂总结 一次函数与一元一次方程的联系： 解一元一次方程 ax+b=0，就是求一次函数 y=ax+b的函数值为 0 时，自变量x的值，即直线y=ax+b 与x轴交点的横坐标。 一次函数与一元一次不等式的联系： 解一元一次不等式 ax+b>0（或 ax+b<0），就是求一次函数 y=ax+b 的函数值大于（或小于）0 时，自变量x的取值范围，即直线 y=ax+b 在 x 轴上方（或下方）的部分所对应的 x 的取值范围。 一次函数与一元一次方程、不等式 解一元一次方程 解一元一次不等式 对应一次函数的值为0时，相应的自变量的值； 直线y=ax+b与x轴交点的横坐标. 对应一次函数的函数值大(小)于0时，自变量的取值范围； 直线y=ax+b上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 课堂小结 $