精品解析：辽宁沈阳市第一三四中学2025-2026学年九年级下学期中考考前模拟数学试题

2025-2026学年度九年级收心作业数学学科 综合三 时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数” ．如果气温为“零上”记作“”，那么气温“”可表示为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 上升 D. 下降 3. 在以下我们常见的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ） A. 圆形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 等边三角形 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校课后服务期间开展大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小明同学任选其中一个体验，则他选择豆包的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准、音色、表现力的分数分别是8分，10分，6分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩得分是（ ） A. 7.6 B. 8 C. 8.2 D. 8.4 8. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 沈阳故宫作为国家一级博物馆，是沈阳标志性文旅地标，某黄金周期间，沈阳故宫累计接待参观游客21.8万人次，将21.8万这个数用科学记数法表示为_____． 12. 如图，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点，交轴于点.若四边形的面积是12，那么反比例函数表达式中的值为_____． 13. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度约为_____．(，，) 14. 如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 15. 甲、乙两车早上从城车站出发匀速前往城车站（两车到站后就停止不动），在整个行程中，两车离开城的距离与时间的对应关系如图所示．从乙车出发到甲车到达城车站这一时间段，在哪些时间点两车相距？请写出所有的时间点：_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 完成下列小题； （1）计算：； （2）化简：． 17. 班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需60元． （1）求甲、乙两种笔记本的销售单价各是多少元？ （2）该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过170元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 18. 小明家到公司有、两条公共交通路线可选择，为了了解、两条路线上班所用的时间情况，方便他将来能选择较短的时间到达公司，他进行了试验，第一、二周选择路线上班，第三、四周选择路线上班（每周5个工作日），分别记录了上班所用的时间（单位：），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 A路线所用的时间（单位：）：39，40，40，41，41，42，46，52，54，55. 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 路线所用的时间/ 41.5 路线所用的时间/ 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）哪条路线平均所用的时间少？请说明理由； （2）求路线所用的时间的中位数； （3）不考虑其他因素，请从平均数与中位数的角度分析，你认为选择哪条路线更好？请说明理由. 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点的坐标为，点在轴上． （1）求a的值； （2）求直线的解析式； （3）若点是直线上一动点（不与点重合），当时，求点的坐标． 20. 某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. （1）求与的函数关系式； （2）设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，在 中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 22. 已知中，，点在边上，且，延长到点，使，连接，交于点，． （1）如图1所示，求的度数； （2）将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接． ①如图2所示，若，求线段的最小值； ②如图3所示，连接，求证：四边形是平行四边形； （3）如图4所示，将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段，连接，点是线段的中点，连接，若，，求线段的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，顶点为点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，当取得最大值时， ①求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上的动点，连接，，及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点． ①求抛物线的表达式；（用含有m的等式表示） ②若点落在直线上时，将抛物线与抛物线的图象在直线上方的部分（包括端点）总称为图象“”，将直线沿着轴平移得到直线，直线的关系式为，当直线与图象“”有且只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级收心作业数学学科 综合三 时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图的定义：一般指由物体左边向右做正投影得到的视图，即可得出结论． 【详解】解：解：根据左视图的定义，C选项为几何体的左视图 故选C． 【点睛】此题考查的是判断几何体的左视图，掌握左视图的定义是解决此题的关键． 2. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数” ．如果气温为“零上”记作“”，那么气温“”可表示为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 上升 D. 下降 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵气温为“零上”记作“”， ∴气温“”可表示为零下． 3. 在以下我们常见的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ） A. 圆形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形是绕某点旋转后能与原图形重合的图形，轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁部分能互相重合的图形． 【详解】解：A、圆形：既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合要求； B、矩形：既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合要求； C、平行四边形：绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形；一般的平行四边形不是轴对称图形，符合要求； D、等边三角形：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，积的乘方法则，单项式乘单项式法则逐一判断选项正误． 【详解】解：A、根据合并同类项法则，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，可得，故A错误； B、，故B错误； C、根据积的乘方和幂的乘方法则，可得，故C错误； D、根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘底数不变指数相加，可得，运算正确． 5. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，然后利用直角三角形的两锐角互余得到计算即可． 【详解】解：∵, ∴， 又∵， ∴， ∴． 6. 某校课后服务期间开展大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小明同学任选其中一个体验，则他选择豆包的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵总共有4个不同的软件，小明任选一个，所有结果都是等可能的， ∴总的等可能结果数为， 又∵选择豆包的结果只有种， ∴他选择豆包的概率是． 7. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准、音色、表现力的分数分别是8分，10分，6分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩得分是（ ） A. 7.6 B. 8 C. 8.2 D. 8.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分数和权重比例，代入加权平均数公式求解即可． 【详解】解：由题意得，小雨的最终成绩为（分）， 因此小雨的最终成绩为8.2分． 8. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 9. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 10. 如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，先求出，再根据菱形的性质得出，，求出，，根据作图可知垂直平分，根据中点坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，作于G，作于T， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 由作图得垂直平分， ∴， ∴点E是的中点， ∴，即， 故选：A． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 沈阳故宫作为国家一级博物馆，是沈阳标志性文旅地标，某黄金周期间，沈阳故宫累计接待参观游客21.8万人次，将21.8万这个数用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：21.8万． 12. 如图，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点，交轴于点.若四边形的面积是12，那么反比例函数表达式中的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，得到，然后利用反比例函数系数k的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵轴，轴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵轴于点A， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度约为_____．(，，) 【答案】米## 【解析】 【分析】本题通过构造直角三角形，利用旋转不变性得到的长度，再根据锐角三角函数的定义计算得到端升高的高度，考查解直角三角形的实际应用． 【详解】解：过点作 ，交所在直线于点． 由旋转的性质可得 (米)． 在 中，， 因此 (米)． 答：栏杆端升高的高度约为米． 14. 如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】连接，由正方形性质得，，由得，得，结合 、证，得，故为等边三角形，，从而． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 15. 甲、乙两车早上从城车站出发匀速前往城车站（两车到站后就停止不动），在整个行程中，两车离开城的距离与时间的对应关系如图所示．从乙车出发到甲车到达城车站这一时间段，在哪些时间点两车相距？请写出所有的时间点：_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求出甲、乙两车的行驶速度，设乙车出发时间为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，甲车从到行驶了，用时小时；乙车从到行驶了，用时小时； 故甲车的行驶速度为：；乙车的行驶速度为：， ∵从乙车出发到甲车到达城车站这一时间段，两车相距， ∴设乙车出发时间为， 当，即两车都在运动时，， 解得或， 当时，此时时间为；当时，此时时间为； 当时，乙车到达城，甲车还在行驶，， 解得， 此时时间为； 综上所述，所有的时间点为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 完成下列小题； （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式分别计算绝对值，算术平方根，乘方，最后算加减即可； （2）先通分计算小括号内的，把除法化为乘法，再分子分母分解因式，约分即可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需60元． （1）求甲、乙两种笔记本的销售单价各是多少元？ （2）该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过170元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】（1）甲种笔记本的销售单价为元，乙种笔记本的销售单价为5元 （2）该班级最多可以购买甲种笔记本8本 【解析】 【分析】（1）根据总价=单价×数量的关系，设出未知数，利用总价的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据总费用不超过给定金额的条件，列出一元一次不等式，取范围内的最大值得到结果． 【小问1详解】 解：设乙笔记本的销售单价为元，则甲笔记本的销售单价为元， 依题意得： 解得： （元） 答：甲种笔记本的销售单价为元，乙种笔记本的销售单价为5元． 【小问2详解】 解：设可以购买甲种笔记本本，则购买乙种笔记本本 依题意得： 整理得： 解得： 答：该班级最多可以购买甲种笔记本8本． 18. 小明家到公司有、两条公共交通路线可选择，为了了解、两条路线上班所用的时间情况，方便他将来能选择较短的时间到达公司，他进行了试验，第一、二周选择路线上班，第三、四周选择路线上班（每周5个工作日），分别记录了上班所用的时间（单位：），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 A路线所用的时间（单位：）：39，40，40，41，41，42，46，52，54，55. 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 路线所用的时间/ 41.5 路线所用的时间/ 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）哪条路线平均所用的时间少？请说明理由； （2）求路线所用的时间的中位数； （3）不考虑其他因素，请从平均数与中位数的角度分析，你认为选择哪条路线更好？请说明理由. 【答案】（1）路线，理由： 由题意得，路线平均所用的时间为：， ∵路线的平均用时为，， ∴路线平均所用的时间少； （2） （3）路线更好， 理由：路线的平均数为：，中位数为：，路线的平均数为：，中位数为：， ∴路线所用的时间的平均数和中位数均小于路线， ∴路线更好． 【解析】 【分析】（1）求出路线的平均用时，比较两条路线的平均用时即可得到答案； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据中位数以及平均数即可判断求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：路线所用的时间的数据按由小到大排序为：44，45，45，46，46，47，48，49，50，50， ∴处在第6名和第7名的两个数分别为46，47， ∴路线所用时间的中位数为：； 【小问3详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点的坐标为，点在轴上． （1）求a的值； （2）求直线的解析式； （3）若点是直线上一动点（不与点重合），当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点A的横坐标代入直线中即可求出a； （2）用待定系数法直接求出直线的解析式； （3）先由两三角形相似即可得出，进而得出点E的横坐标，再代入直线的解析式中，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 由（1）知，， ∴， ∵点A在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵点B是直线与x轴的交点， 又当时，， ∴， ∵， ∴， ∴点E的横坐标为， 当时，， ∴． 20. 某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. （1）求与的函数关系式； （2）设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（且为整数） （2）当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【解析】 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【小问1详解】 解：（且为整数）； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 21. 如图，在 中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接、， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 已知中，，点在边上，且，延长到点，使，连接，交于点，． （1）如图1所示，求的度数； （2）将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接． ①如图2所示，若，求线段的最小值； ②如图3所示，连接，求证：四边形是平行四边形； （3）如图4所示，将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段，连接，点是线段的中点，连接，若，，求线段的长度． 【答案】（1） （2）①； ②如图，连接， 由（1）可得， ∴， ∵将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，最后利用三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）①连接，由（1）可得为等边三角形，则，由旋转的性质得出，，即为等边三角形，从而可得，由垂线段最短得，当时，取得最小值，此时也最小；②连接，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，从而得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得为等边三角形，则，由旋转的性质可得，，从而得出，延长至点，使得，证明为等边三角形，得出，，证明点、、、四点共圆，延长至点，使得，连接，则，再证明，得出，，证明为等边三角形，得出，证明为的中位线，由三角形中位线定理计算即可得出结果 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图：连接， 由（1）可得为等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴由垂线段最短得，当时，取得最小值，此时也最小， ∵， ∴线段的最小值为； ②略； 【小问3详解】 解：由（1）可得为等边三角形， ∴， ∵将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段， ∴，， ∴， 如图，延长至点，使得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， 延长至点，使得，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点是线段的中点，， ∴为的中位线， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，顶点为点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，当取得最大值时， ①求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上的动点，连接，，及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点． ①求抛物线的表达式；（用含有m的等式表示） ②若点落在直线上时，将抛物线与抛物线的图象在直线上方的部分（包括端点）总称为图象“”，将直线沿着轴平移得到直线，直线的关系式为，当直线与图象“”有且只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，并结合抛物线的对称轴公式计算即可得出结果； （2）①求出，则，待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，则，从而可得，设，则，求出，由相似三角形的性质可得，再结合二次函数的性质即可得出结果；②求出，则点，关于对称轴对称，连接、，则，从而可得，当点、、在同一直线上时，的值最小，为； （3）①先求出，从而可得直线的解析式为，结合题意可得将抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线，最后再由二次函数图象平移的法则即可得出结果；②由（2）可得点的坐标为，求出，再结合点落在直线上时，得出，从而可得，由（2）可得直线的解析式为，则直线的解析式为，令直线与交于点，，令直线与交于点，，求出，，，，分情况计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为； ②在中，令，则， 解得，， ∴， ∴点，关于对称轴对称， 如图，连接、， ∵点为抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， 由①可得点的坐标为， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线， ∴； ②由（2）可得点的坐标为， ∵点为点的对应点， ∴， ∵点落在直线上时， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得直线的解析式为， ∵直线的关系式为， ∴直线的解析式为， 令直线与交于点，，令直线与交于点，，如图所示： 在中，当时，则， 解得，， ∴，， 在中，当时，， 解得，， ∴，， ∵直线与图象“”有且只有一个公共点， ∴当直线与相切时， 联立得， ∴， 解得， 当直线经过点时，将代入可得， 解得，结合图形可得，此时直线与图象“”有两个交点； 当直线经过点时，将代入可得， 解得，结合图形可得，此时直线与图象“”有且只有一个公共点； 当直线经过点时，将代入可得， 解得，结合图形可得，此时直线与图象“”有且只有一个公共点； 当直线经过点时，将代入可得， 解得，结合图形可得，此时直线与图象“”有且只有一个公共点； 当直线与相切时， 联立得， ， 解得； 综上所述，当直线与图象“”有且只有一个公共点时，的取值范围为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $