湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期末测试模拟试卷（三）

**基本信息** 以真实情境为载体，覆盖高二数学核心知识，通过演讲比赛数据、网店销售统计等实例考查数学眼光、思维与语言，注重基础巩固与创新应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计（中位数与极差）、向量、函数切线|基础题梯度分布，如第1题结合文化传承情境| |多选题|3/18|立体几何（正三棱锥体积）、圆的切线|多选项分层考查空间观念与推理能力| |填空题|3/15|双曲线离心率、函数单调性|聚焦关键能力，如第13题考查导数应用| |解答题|5/77|统计案例（独立性检验）、椭圆综合、函数有界性|综合题注重应用，如第17题以网店销售数据考查数据分析与模型建立|

湖南省长沙市高二数学2025-2026学年下学期期末测试模拟试卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．在中，若点满足，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ） A． B．4 C．3 D．5 6．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 8．某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的个球.其中有个新球和个旧球.每次从中随机抽取个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱；若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持续进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游戏结束.设为游戏结束时抽取的次数，则的期望为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正三棱锥中，，为中点，点满足，，则（   ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 11．已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与交于点，则下列结论正确的是（   ） A．四边形周长的最小值为 B．的最大值为2 C．若，则三角形的面积为 D．若，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为_________． 13．已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 14．记函数的最小值为，数列的前n项和为，若 ，则实数t的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)如图，直三棱柱中，，分别是，的中点， （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 16．(15分)已知△ABC的内A、B、C所对的边分别是、、，若. （1）求角的值； （2）求△ABC的面积取得最大值时，边的长. 17．(15分)某网店为预估今年“双11”期间商品销售情况，随机抽取去年“双11”期间购买该店商品的100位买主的购买记录，得到数据如表格所示： 500元及以上 少于500元 合计 男 25 25 50 女 15 35 50 合计 40 60 100 (1)依据的独立性检验，能否认为购买金额是否少于500元与性别有关？ (2)为增加销量，该网店计划今年“双11"期间推出如下优惠方案：购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．据此优惠方案，求在该网店购买500元商品，实际付款数X（元）的分布列和数学期望． 附：，． 0.10 0.05 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．(17分)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． (1)求的方程； (2)设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 19．(17分)定义在区间上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数．已知函数，，． (1)证明：函数为奇函数． (2)已知（，且），当时，若，，求实数的取值范围． (3)讨论是否存在正数，使得函数是区间上的有界函数．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市高二数学2025-2026学年下学期期末测试模拟试卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A B D B D AC BC 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】依题意，该组数据的中位数为，极差为， 由该组数据的中位数是极差的，得，所以. 故选：B 2．B 【详解】如图， ， 又， ∴，故． 故选：B． 3．A 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 4．A 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 5．B 【详解】由抛物线得，解得，所以焦点，准线方程， 点在抛物线上，代入抛物线方程得：，解得，即， 根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 可得； 或直接计算两点距离：. 6．D 【详解】由，得，即，即． 设，则，因为0，所以在上单调递增，所以，即． 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以． 7．B 【详解】由题意得，，，解得，， 所以， 所以， 因为是正整数，所以当或时，同时取得最大值为. 8．D 【详解】设为游戏结束时抽取的次数，中奖情况：若只抽到初始的个旧球即中奖，此时，； 若抽到过个新球，则共需丢弃个旧球，此时； 若抽到过个新球，则需丢弃个旧球，此时，路径有（新，新，旧，旧，旧）和（新，旧，新，旧，旧），则. 不中奖情况：若不中奖，则箱子为空，意味着个新球都被抽过且个旧球最终都被丢弃.每个新球需抽两次（一次变旧一次丢弃），初始旧球抽一次，故总次数必为. 其概率. 综上，的数学期望.故选. 9．AC 【详解】， ，，A正确，B错误，C正确． 虚数不能比较大小，D错误． 10．BC 【详解】对于A，若平面，则，又三棱锥为正三棱锥， 则，与矛盾，故平面不成立，故A错误； 对于B，记为中点，为中心，为中点，显然， 于是，设，则，， 由勾股定理得，即，解得， 于是，所以， 故三棱锥的体积，故B正确； 对于C，，，，， 由余弦定理得，由知，，故C正确； 对于D，显然点到底面的距离，记直线与平面所成角为，则，故D错误. 故选：BC. 11．AD 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于选项A，设，因为， 所以，则四边形周长为， 则当最小时，四边形周长最小， 又易知的最小值为2，则四边形周长最小为，所以A正确， 对于选项B，易知，则， 由选项A知，， 所以，又，所以，故B错误， 对于选项C，因为，则，由选项A和B知，， 则，又， 所以三角形的面积为，故C错误，    对于选项D，当点P与原点重合时，，选项A和B知， ，则， 所以，又，则， 当点P与原点不重合时， 因为，所以在以为直径的圆上． 设，则的中点坐标为，， 则以为直径的圆的方程为， 将此圆的方程与圆M的方程相减， 可得直线的方程为， 又的方程为，由，解得， 所以，得到，代入， 化简得， 所以点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以的最大值为， 又，则的最大值为，故D正确． 故选：AD. 12． 【详解】由双曲线对称性及，可知， 则为以为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性， 可知四边形为平行四边形，结合， 可知四边形为矩形，则为直角三角形. 设，则. 故. 故答案为： 13． 【详解】因为，，因此： ， 又因为函数在区间上严格增， 所以且,得且, 所以当时，,得；当时，由,所以不等式组无解； 当时，由,不等式组无解； 综上所述，，故的取值范围为. 14． 【详解】，函数，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以，所以. 所以，所以. 若 ，则. 令，则. 令， 因为是单调递减函数， 且，， 所以在上存在唯一零点，记为， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，所以， 即的最大值为. 所以实数t的取值范围为. 15．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连接DF，则BC1DF． 因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1平面A1CD． （Ⅱ）由AC＝CB＝得，AC⊥BC． 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz． 设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)， ＝(2,0,2)， ． 设＝(x，y，z)是平面A1CD的一个法向量，则即 可取＝(1,-1,-1)．设与平面A1CD所成角为， 则 16．（1）；（2）. 【详解】解：（1）由正弦定理可化为， 即， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为，所以， 又， 所以， 当且仅当时，取最大值为，即有，解得. 17．(1)可以认为购买金额是否少于500元与性别有关 (2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）根据列联表中的数据，可以求得 ， 所以依据的独立性检验，可以认为购买金额是否少于500元与性别有关． （2）因为购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元，所以的可能取值为500，450，400，350， 因为每次中奖概率为，所以不中奖的概率为． 所以，， ，． 实际付款数（元）的分布列为： 500 450 400 350 18．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）由椭圆的左、右焦点分别为，，则， 又椭圆过点，所以， 又，故，所以的方程为． （2）（ⅰ）因为直线：与椭圆交于、两点，设、两点坐标分别为，， 联立，消去，整理得， 则，解得， 则，， 又，， 则，即， 又因为点在椭圆上，即， 联立方程组，解得，，，， 由于点在直线方程上， 解得，，，， 又因为，所以． （ⅱ）设线段的中点坐标为，则， 所以，所以， 所以， 又，则点在以为直径的圆上， 而，当且仅当、、三点共线时等号成立， ，其中. 法1：（三角换元法） 设，，则， 所以，， 当时，，所以的最大值为． 法2：（导数法求最值） 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，由，得 当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减， 所以，所以的最大值为． 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在；答案见解析 【详解】（1）由题意得， 函数的定义域为， ， ， 即， 所以函数为奇函数. （2）当时，， 当时，，， 记函数在上的值域为，则， 记函数在上的值域为， 若，，则， 当时，函数在上单调递减，则， 则，解得， 当时，函数在上单调递增，则， 此时，不符合题意， 综上所述， 实数的取值范围为. （3）由题意得， 函数在上单调递增，则， 函数在上单调递减，则， 所以， 当时，即时，， 当时，即时，， 综上，当时，，当时，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $