湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期末测试模拟试卷（二）

**基本信息** 这份高二数学期末模拟卷覆盖统计、向量、导数、立体几何等核心知识，通过翻折问题、概率期望、椭圆综合等题型，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|中位数计算、向量共线、导数切线|基础概念与运算，如样本中位数（数学眼光）| |多选题|3/18|复数性质、立体几何翻折、圆的弦长|多维度辨析，如翻折中体积最值（空间观念）| |填空题|3/15|双曲线离心率、三角函数对称性、数列求和|性质应用，如双曲线渐近线求离心率（数学思维）| |解答题|5/77|异面直线角、解三角形、概率分布列、椭圆综合、集合创新|综合探究，如椭圆菱形周长面积（模型观念）、集合创新题（创新意识）|

湖南省长沙市高二数学2025-2026学年下学期期末测试模拟试卷（二） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为（    ） A．8 B．6 C． D．3 2．已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 7．已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为 A． B． C． D． 8．已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某一翻折位置，使得 B．当面平面时，二面角的正切值为 C．四棱锥的体积的最大值为 D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值 11．已知点，点，是圆上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．过点且被圆截得最短弦长的直线方程为 B．直线与圆总有两个交点 C．过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点，和，，则四边形的面积的最大值为97 D．的外接圆的半径最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的渐近线方程为，且的焦点在轴上，则的离心率为______． 13．已知函数（，），若点是函数图象的对称中心，直线是函数的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时的值为______. 14．已知数列满足，则的前项和__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)如图，在长方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求到平面的距离； 16．(15分)记的内角、、的对边分别为、、（、、互不相等），已知，点与点分别在直线的异侧，且. (1)求证：； (2)若，，求线段的长. 17．(15分)抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 18．(17分)已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 19．(17分)定义集合，. (1)求与； (2)设集合中元素的个数为，是否存在，使得成立？若存在，求出一组，，的值；若不存在，说明理由； (3)记表示不超过的最大整数，且，求的值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $《湖南省长沙市高二数学2025-2026学年下学期期末测试模拟试卷（二）》参考答案 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 0 D A 0 D ACD BCD 题号 11 答案 BCD 1.c 详解)样本数据1,2,3,6,12,24的中位数为6=4 2.A 【详解】依题意有AB=0B-OA=ā+2b-ā+)=b, AC=0C-0A=1ā+36-ā+b)=(2-1)ā+2b, 若A,B,C三点共线，则存在实数m使得AC=mAB=mb, 2-1=0 因为ā，b不共线，所以有 2=m ，得2L 3.D 【分析】先用列举法表示集合B,再根据交集的概念及运算求解 【详解】由题设知B={0,1,2}, 又A={x-2gx≤3}， 所以A∩B={0,1,2}. 4.A 【详解】将x代入到=e2巾，得/)-1，因此切点为[2， 川到=t-2=-2,f-2 =-2,即切线斜率为k=-2且过点 故切线方程为-1=-2x》 整理得2x+y-2=0 5.D 【详解】设圆心C(x,y),圆C过点M(0,2),且与x轴相切， 则Vx2+(y-2)2=y,化简得x2+(y-2)2=y2,即得x2=4y-4, 则圆心C的轨迹方程为x2=4(y-1) 6.D 答案第1页，共2页 【详解】f(x)=lnx+x-e的定义域为0，+o,f(x)=1+1-e-m, 易得∫'(x在(0，+0）上单调递减，当x→0时，∫'(x→+0，当x→+o时，f'(x→-0， 所以存在x∈(0，+o),使得f'(x)=0,即+1=e-m, Xo 则当x∈(0，x)时，∫'(x>0,f(x单调递增， 当xex,+o)时，f'(x)<0,fx单调递减， 所以f八xa=f(x)=lnx+x,-e-=-l, 即ln,+x-上=0， 易得函数g()=r+x-上在(0，+w上单调递增，且g)=0,所以。=1， 所以em=2,解得m=1-ln2. 7.C 【详解】a1-an=2∴{an}为以1为首项，2为公差的等差数列，所以 an=1+2(n-1)=2n-1 6=2:{b,}为以1为首项，2为公比的等比数列，所以6，=1x2=2 因此么，+0 =22m-2+1 30 所以其前10项的和为x0=49+×10=49 1-430 3 故选：C 8.A 【详解】随机变量X的可能取值为2,3,4,5 当X=2时，前两次取球就取到一对编号相同的红、白球， 第一次任取一球，第二次需取到与它编号相同的另一颜色球：P(X=2)=8×- 8*779 当X=3时，前两次未出现同号球，第三次才取到， 第一次任取一球，第二次不取同号球， 第三次取到与前两次之一同号的另一颜色球：P(X=3)=8××2-2 87679 当X=4时，前三次未出现同号球，第四次才取到， 第一次任取一球，后两次均不取已取编号的同号球， 答案第1页，共2页 864312 第四次取到与前三次之一同号的另一颜色球：P(X=4=。×二××= 876535 当X=5时，前四次未出现同号球， 第五次必然取到（前四次取了4个不同编号的球，剩余球必与前四次某一球同号)： P(x=5)=8×6x4x248 8765435 数学期望：E(X)=2x+3x2+4x 8128 7 7 35*5x 3535 9.ACD 【详解】对于A选项，若z∈R,则z=z,故A对； 对于B选项，不妨取z=i,则z2=2=-1eR,但z不是实数，故B错： 对于C选项，若z2+1=0,则z2=-1,可得z=i或z=-i,故C对； 对于D选顶，若：=-24，则=1，放D对 1+i(1+)(1-i)2 10.BCD 【详解】在正方形ABCD中，过D作DR⊥AM,交AM,BC分别于O,R,令∠DAM=0, 如图， ● R A B 有 则CR=DM，即R是BC中点， D =tan∠CDR=tano=DM AD 在△ADM翻折到△PAM的过程中，AM⊥PO,AM⊥OR,PO∩OR=O,则AM⊥平面 POR,如图， 若存在某一翻折位置，使得AM⊥PB,而PB∩P0=P,PB,POC平面POB, 则AM⊥平面POB,而平面POB∩平面POR=PO, 答案第1页，共2页 与过一点有且只有一个平面垂直于己知平面矛盾，即在翻折中AM,PB不垂直，A不正确： 当平面PAM⊥平面ABCM时，因AM⊥PO,平面PAMO平面ABCM=AM,POc平面 PAM, 则有PO⊥平面ABCM,又ABC平面ABCM,有PO⊥AB,在平面ABCM内过O作 O91AB于Q,连PQ, P0∩00=0，PO,OQc平面PO2,则AB⊥平面POQ,可得PQ1AB,∠PQO是二面角 P-AB-C的平面角， 1 显然∠AOQ=0,而sin0= 5,P0=2sin0,40=2c0s0,00=A0c0s9=2co9'0, 所以tan∠PQ0=P0=sin0 √5 00cos01-/ 4,B正确， 梯形ABCM的面积S=AB+CM)BC=3,当且仅当平面PAM⊥平面ABCM,即P01平面 2 ABCM时， 点P到平面ABCM的距离最大，四棱锥P-ABCM的体积的最大值，最大体积为 V=IS.PO=Ix3x- 225 3 3 5,C正确： 取AB中点K,连接CK,CN,N,则有KNI/PA,且KN=。PA=1,而 CM//AK,CM=AK, 即四边形AKCM是平行四边形，CK/AM,CK=AM=√5，显然∠CKN与∠PAM同方向， 由等角定理知∠CKN=∠PAM=0,在△CNK中，边CK,NK均为定值，夹角∠CKN也为定 值， 由余弦定理知，CN长为定值，D正确 故选：BCD 11.BCD 【详解】对于A,点B(2,0)在圆0：x2+y2=49内，当弦与OB垂直时，所截得的弦长最短， 对应直线方程为x=2,A错误； 答案第1页，共2页 对于B,直线x-3-m(y-4)=0过定点C(3,4),由32+42=25<49，得C在圆0内， 因此直线x-my+4m-3=0与圆0总有两个交点，B正确： 对于C,记点0到直线EG,FH距离为d,d2,1FH=249-d,1EG=2V49-d2, d2+d=OAP=1,则EGP+|FHP=388≥2EG川FH|,当且仅当d=d,时取等号， 因此EGIFH194,四边形EFGH的面积S=EGIFHIS97,C正确， 2 对于D,设△PAB外接圆圆心为M,外接圆的半径最小，当且仅当外接圆M与圆O内切， 而点M在B的中垂线x=上，设M(兮小，则。P4B外接圆半径R= 9 2+t2, MO= +2,因此、 9 +2=7- 十，两边平方整理可得R4+P) 14 即。PAB的外接圆的半径最小值为 4'D正确 故选：BCD 12.2 【详解】由意可设欢眉线r的方为：兰茶=a>06>0。 则双曲代。的渐近线方程为：y=±方=±2x，·2=3, 3 a 厂的离心率e b 1+ =1+3=2 故答案为：2 .香 【详解】：函数f=3sin(ox+p)(o>0,s5),且y=fx到在区间 2π5π 33’33 上单 调， ：12r≥5r-2π 203333 答案第1页，共2页 ：0≤11， :向司云是函数y=图象的对称中心，直线x=行是函数y=f四的发称维。 刀+元=2k+1)·0 3 6 ,即0=2k+1,k∈Z :实数⊙的最大值为11， 此时fx)=3sin(1lx+p), :点（云0是函数y=八✉图象的对称中心， 又1p,即-s +p≤一π， 36 3 名+p=0,即p=若 6 =f}n传引-3. 此时=心在区同箭)上单调觉减点(0和直线x=号分州是系数？=图 象的对称中心和对称轴，符合题意 故答案为：-乃 6 【详解】 a,=Sin'a (1 sin'a +sin+cos'a 2 2 2 an- 11 因此当a≥2时，数列口分引是以4分为首项，号为公比的等比数刻， 即古付”→8计付，显然4=他适合。 ts41-24 1-1222m 答案第1页，共2页 +1 故答案为：2十22网 15.4)9y505(224v2四a)814 305 29 145 【详解】(1)以A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系A-z, 则B(3,0,0,D(0,4,0),A(0,0,6),B(3,0,6),C(3,4,6,AB=3,0,6), AC=(3,4,6),BD=(-3,4,0),AB=(3,0,-6),BC=(0,4,6) B D AC,·A,B-27 9√305 所以cosAC,AB= AC4B V61x35=- 305, 即异面直线AC,与4B所成角的余弦值为9√305 305 (2)设平面A,BD的法向量为i=(x,y,z, n.BD=-3x+4y=0 则 ,令x=4,得i=4,3,2) i·AB=3x-6z=0 设C到平面ABD的距离为d,则d= BCi2424V29 √29 29 即G到平面A,BD的距离为24V29 29 16.(1)证明见解析 (2)3√7 【详解】(1)因为acosC=(2a-c cosA,由正弦定理得sinAcosC=2 sinAcosA-sinCcosA, 所以sinAcosC+sinCcos4=2 sinAcosA,即sinA+C)=sin2A,即sinB=sin2A, 因为A、B∈(0，，则2AE(0,2,由sin2A=sinB>0可得2A∈(0，，故A∈0， (2 所以B=2A或B+2A=元， 答案第1页，共2页 若B+2A=π，则B+2A=A+B+π，可得A=C,这与a≠c矛盾，故B=2A. (2)因为8D=CD=3,∠DBC=∠DCB-胥故△8CD为等边三角形， B D C 所以BC=3,AC=√5BC=3V5, 由(1)知，b a ,即3V5 3 sin24 sin 2sinAcosA sinA 区为40引，故n4>0,可将os4- ,所以A= 2 6 又因为8=24-号则∠48D-径4C3-号故48-8C6, 由余弦定理可得AD2=AB+BD2-2AB-BDc0s27=36+9-2×3x6× 3 =63, 故AD=3V万 17.(1)X的分布列如下： 0 4 9 9 (②)证明过程见解析，Y的分布列如下： 0 【详解】(1)X的可能取值为：01,2 x---专x=0-8行x- =2×4+4×2_4 2×21 3691 分布列如下： X 0 2 答案第1页，共2页 P 4 9 9 (2)记YX-1川，则Y的可能取值为：0,1 PY=0=PrX=0-号nY=0=PX=0+rX-2-号 P(Y=0)=1-P(Y=1） 因为Y的取值只有0和1两种可能，所以Y服从两点分布， 分布列如下： Y 0 1 4 P 5-9 18.0+y=, 2 2(①m-2+k2,(i) 22 3 3’2 【详解】(1)如图，作出符合题意的图形， y 9 由四边形APBQ为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，P,Q是椭圆C的短轴顶点， 再由椭圆的性质，由四边形APBQ的周长为4√5，面积为2√2可得： 4Va2+b2=4V5 2×2a×2b=22,解得a=5,6=1, a>b>0 所以浅国C的方程为号+P=1: (2)如图，作出符合题意的图形， 答案第1页，共2页 E 0直线1：y=+m与椭调C:号+广=1，联立方程红消去)华： x2+2(x+m)=2→1+2k2)）x2+4kmx+2m2-2=0, 设交点E(x,y小，F(x2,2),则△=(4km)2-41+2k2）(2m2-2>0→m2-2k2-1<0, 且x+x2= 4km 1+2k2七3= 2m2-2 1+2k2 由0E⊥0F,则xx2+乃y2=0→x·x2+(kx+m(kx2+m=0, 即(1+k2)xx2+km(x+x2)+m2=0, 所以有a (4km +m2=0, (1+2k2 得到3m2-222=03m2-4, 代入m2-2k2-1<0, 可得221→4-1恒成立，散网2-号+： (ii)由弦长公式得： EF=1+xV 4km)2-41+2k2)(2m2-2 =+2×V8-8m2+16k 1+2k2 1+2k2 由原点到直线的距离公式得：d= m V1+k2 所以s=}x+V8-8m2+16k m V2Vm21-m2+2k2) 2 1+2k2 V1+k2 1+2k2 2 V1+k2)1+4 1+2k2 3 1+2k2 再令1+2k2=t,则上式可化为： s-2, 141） 2 1+41 V2.1+021-1_2,22+1-1-2 3 3*V 答案第1页，共2页 因为k≠0，所以1=1+2k2>1,即二∈(0,1， 即当}时，即方时，面积取到最大值5=号 2 当}1，即产=0时，面积取到最小值S=子由于长0，此情况挂除。 故△EOF面积S∈ 2√2 32 19.(1)N24={1,2,5,7,10,11,13,14,N33={1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22,23,25,26 (②)不存在，理由见详解 (3)4050 【详解】(1)对于N4,m=2,n=4,M4={x∈Nx≤16， 在不大于16的所有正整数中， 即不能被3整除又不能被4整除的数有1,2,5,7,10,11,13,14， N214={1,2,5,7,10,11,13,14; 同理，在N3中，m=n=3,M3={x∈Nx≤27， 在不大于27的所有正整数中， 即不能被3整除又不能被4整除的数有1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22,23,25,26， N3={1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22,23,25,26} (2)因为在不大于12"的所有正整数中， 能被3整除的有12个，被4整除的有12个，被12整除的有12个， 3 12 所以G=12-12_12+12-12 34122 若Ga+Gaa=Ga,则2+12-12，即12+12=12， 222 “p<9<t,:1+12P=12P, 等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾， 故不存在p,9,t∈N，p<g<1,使得G+Gg=G2成立 (3)南2知，当=1时，了-5团-2， 答案第1页，共2页 11-11122 当m22时，Gam-161261212, 所以当n22时， -a”号后过)片部小号品4 所以当n≥2时，2<Tn<2.4,则[Tn]=2, [T]+[T2]+[T]+…+[T025]=2×2025=4050 答案第1页，共2页