11.3 一次函数与方程、不等式 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第11章 一次函数 11.3 一次函数与方程、不等式 22100 第11章 一次函数 11.3 课时1 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 22100 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系. 2.能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集. 学习目标 22100 解：当 y = 0 时 ，即 2x + 1 = 0 2x =-1 x =- 解： 2x + 1 = 0 2x =-1 x =- 从“函数值”的角度看： 求一元一次方程2x+1=0的解，可转化为求一次函数y=2x+1中y=0时x的值. 1.解方程： 2x + 1 = 0. 2.已知一次函数 y = 2x + 1，x 取何值时，y = 0？ 这两个问题有什么关系？你发现了什么？ 新课讲授 22100 方程2x+1=0的解与一次函数y=2x+1的图象又有什么关系？ 直线 y=2x +1 与 x 轴交点坐标为(___，___)，这说明方程 2x＋1＝0 的解是 x＝_____. 0 从“函数图象”的角度看： 求一元一次方程2x+6=0的解，就是求直线y=2x+6与x轴交点的横坐标. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 2x + 1 - - 新课讲授 22100 下面3个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1)2x + 1 = 3；(2)2x + 1 = 0；(3)2x + 1 = -1 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 2x+1 = 3 的解 y = 2x + 1 2x+1 = 0 的解 2x+1 =-1 的解 从函数值看： 解这3个方程⟺ 一次函数y=2x+1，当y分别为3，0，-1时，求自变量x的值. 从函数图象看： 在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点的横坐标. 新课讲授 22100 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 一次函数 y = kx + b中，y = 0 时 x 的值 求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标 从“函数图象”看 从“函数值”看 归纳 22100 根据一次函数y=2x+1的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+1>0和2x+1<0的解集吗？ 2x+1>0，就是函数y=2x+1中函数值y>0. 直线y=2x+1在x轴上方时，它上面的点的纵坐标y>0. 故2x+1>0的解集为x>-. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 2x + 1 新课讲授 22100 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 2x + 1 根据一次函数y=2x+1的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+1>0和2x+1<0的解集吗？ 2x+1<0，就是函数y=2x+1中函数值y<0. 直线y=2x+1在x轴下方时，它上面的点的纵坐标y<0. 故2x+1<0的解集为x<-. 新课讲授 22100 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？ (1)2x + 1＞2；(2)2x + 1＜0；(3)2x + 1 ＜ -1 从函数值看： 解这3个不等式⟺ 在一次函数 y = 2x + 1的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x 的取值范围. 新课讲授 22100 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 3x + 2 y = 2 (1)3x + 2＞2；(2)3x + 2＜0；(3)3x + 2 ＜ -1 y = 0 y = -1 从函数图象看： 解这 3 个不等式⟺ 在直线 y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件. y＞2 x＞0 y＜-1 x＜-1 y＜0 x＜- 新课讲授 22100 求 kx + b＞0 (或＜0)(k ≠ 0)的解集 y = kx + b 的值大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 确定直线 y = kx + b在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x取值范围 从“函数图象”看 从“函数值”看 归纳 22100 例 已知一次函数y=2x-5的图象如图所示，运用图象求不等式0<2x-5<3的解集. 由图象可知，函数图象过(0，-5)，(4，3)两点， 当<x<4时，函数y=2x-5的函数值满足0<y<3， ∴x的取值范围是<x<4. 典例精析 22100 1.若一次函数 y=kx+b 的图象经过点（2，0）和（0，-3），则方程 kx+b=0 的解为（ ） A. x=0 B. x=2 C. x=-3 D. 不能确定 B 当堂检测 22100 2.已知一元一次方程 ax+b=0 的解为 x=4，则一次函数y=ax+b的图象与 x 轴的交点坐标为 . （4，0） 3.已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0），一元一次方程 kx+b=0 的解为 . x=-3 当堂检测 22100 4.一次函数y=kx+b的图象如图，你能说出kx+b<0的解集吗？ x y 0 y=kx+b -4 x < -4 当堂检测 22100 5.请同学们观察一次函数y=2x+6和y=3的图象，你能说出2x+6=3的解和2x+6>3的解集吗？ y=2x+6 y=3 -1.5 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 3 4 5 7 O A(0,6) B(0,-3) 2 6 4 -1 x y x=-1.5, x＞-1.5 当堂检测 22100 6.如图，已知直线 y=kx+b，求关于 x 的方程 kx-2=-b 的解. y x O 1 2 解：由图可知：一次函数 y=kx+b 经过点（1，2），也即当 x=1时，kx+b=2. 因为关于 x 的方程 kx-2=-b 可以化简为 kx+b=2，所以方程的解为 x=1. y=kx+b 当堂检测 22100 通过本节课的学习，回答下列问题. 1.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有什么关系? 2.如何利用一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集? 课堂小结 22100 第11章 一次函数 11.2 课时2 一次函数与二元一次方程 22100 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系. 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程（组）的解. 学习目标 22100 等式3x-y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是_____________. y=3x-5 如图，这是函数y=3x-5 的图象. x y O 1 2 2 1 3 4 -4 -3 -2 -1 3 4 5 -1 -5 -4 -3 -2 追问1：以方程3x-y=5的解为坐标的点都在一次函数y=3x-5的图象上吗？ 都在 追问2：在一次函数y=3x-5的图象上任取一点，点的坐标适合方程3x-y=5吗？ 都适合 追问3：以方程3x-y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=3x-5的图象相同吗？ 相同 新课讲授 22100 一般地，二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)可看作一个一次函数y=-x+.以二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)的任意一个解为坐标的点，都在直线y=-x+上；反之，直线y=-x+上任意一个点的坐标，都是二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)的一个解. 归纳 22100 在一次函数 y=3x-5的图象上 方程 3x-y=5的解 从形到数 从数到形 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 归纳 22100 如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 新课讲授 22100 解方程组 解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得 直线l1的解析式为y =2x+2. 得 即直线l1与l2 的交点坐标为 同理，可求得直线l2的解析式为y =-x+3. 新课讲授 22100 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少. 从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 归纳 22100 两条直线的交点 二元一次方程组的解 从形到数 从数到形 二元一次方程组的解 两条直线交点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 新课讲授 22100 两个函数图象若有交点，则其坐标满足方程组 例 函数y=2x-1与y=x+1的图象是否有交点？若有，求出交点坐标. 所以函数y=2x-1与y=x+1的图象有交点，交点坐标为(2，3). 解：直线y=2x-1上点的坐标都是方程y=2x-1的解， 直线y=x+1上点的坐标都是方程y=x+1的解. 解得 如何利用图象求出不等式2x-1<x+1的解集？ 典例精析 22100 求不等式2x-1<x+1的解集， 就是求函数y=2x-1的函数值小于函数y=x+1的函数值部分的自变量的取值范围， 利用函数图象求解，就是观察直线y=2x-1低于直线y=x+1的部分的x的取值范围， 自变量的取值范围为x<2. 看图象位置，再确定x的取值范围 典例精析 22100 1.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( ) D A. B. D. C. 当堂检测 22100 2.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 B y=4x+5 y=3x+10 x y 当堂检测 22100 3.直线y=3x+ 6与x轴的交点的横坐标的值是方程2x+a=0的解，求a的值. 解：由题意可得当直线y=3x+ 6与x轴相交时，y=0， 则3x+ 6=0, 解得x= -2, 当x= -2 时， 2 × (-2) + a =0， 解得a = 4. 当堂检测 22100 解：在同一平面直角坐标系中分别画出直线 y=-x+3和直线 y=-2x+5 的图象. 由图象可知交点坐标是（2，1）. 4.利用图象求直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 的交点坐标. y x O y=-x+3 y=-2x+5 （2，1） 5 3 3   1 2 当堂检测 22100 34 一次函数与二元一次方程 二元一次方程 二元一次方程组 二元一次方程的解对应一次函数图象上的点坐标. 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标. 课堂小结 22100 $