第01讲-丰富的图形世界 小升初衔接讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

编者寄语 本套小升初衔接讲义主要包括7年级上册初中数学的“丰富的图形世界”、“有理数及其运算”、“整式及其加减”、“基本平面图形”和“一元一次方程”等章节的内容，进度匹配北师大版数学教材，其他版本教材的知识点和常考题型基本一致，老师们只要调节一下讲义的顺序和每一讲的课前热身部分即可匹配（课前热身部分主要是对上一讲内容的复习），目标是让学生学完本套讲义且在基本掌握的情况下可以拿下下学期考试80%的分数，剩下的内容新学期学习，从而保证暑假的内容和新学期的上课内容不会大面积雷同，而且对于没有学过这套讲义的同学新学期一样适用。本套讲义题量较为充足，且基本覆盖了大部分中档题型，对于基础较弱的同学和做题速度较慢的同学，老师们可能需要适当的勾选讲解内容和安排练习。 由于编者的时间和能力有限，而且学生的水平和基础差异较大，本套讲义可能做不到让老师们任何场合都可以拿来就用，但一定能帮老师们大大缩短备课时间，并且在此基础上适当的修改和加入自己的理解，就可以形成独特风格的讲义。 第1讲 丰富的图形世界 【学习目标】 1、熟悉生活中常见的立体图形； 2、掌握常见的柱体、锥体和台体的展开与折叠； 3、能够正确的画出简单几何体的三视图。 【考点分类】 考点一：常见的几何体 1、常见的几何体： 、 和 ； 2、柱体：柱体分为 和 。在棱柱中，相邻两个面的交线叫做 ,相邻两个侧面的交线叫做 ，棱柱的所有侧棱长都 ，棱柱的上、下底面的形状 ，侧面的形状都是 。根据底面图形的 将棱柱分为 、 、 ……。棱柱又可以分为 和 ，直棱柱的侧面是 ，初中主要学习直棱柱（简称棱柱），长方体、正方体都是 柱。 3、欧拉公式：在凸多面体中， ＋ － ＝2。 【例1】（2023秋•潮南区期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是　　 A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【例2】（2023秋•台江区校级期末）转动自行车的轮子，轮子上的辐条会形成一个圆面，用数学知识可以解释为　　 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交成线 【例3】（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为　　 A． B． C． D． 【例4】（2024秋•崂山区期末）如图所示，将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是　　 A． B． C． D． 【例5】（2024秋•凤翔区月考） 追本溯源：（1）如图1，已知长方形的长为、宽为．分别绕着这个长方形的长和宽旋转，可以得到两个不同的圆柱．这两个圆柱的侧面积有什么关系？ 知识应用：（2）一张长方形纸片的长为，宽为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留 拓展延伸：（3）如图2，直角梯形的上底为，下底为，高为，以该直角梯形的底为轴，将梯形旋转一周，得到的甲、乙两个立体图形．求甲与乙的体积比． 【例6】（2021秋•沂源县期中）如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． （1）四棱柱有 　　个顶点，　　条棱，　　个面； （2）五棱柱有 　　个顶点，　　条棱，　　个面； （3）那么棱柱有 　　个顶点，　　条棱，　　个面． 【变式训练】 1．（2024秋•成都月考）下列几何体中，是三棱柱的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•秦淮区期末）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•建邺区校级期末）将如图所示的长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•扶绥县期末）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•金乡县期末）如图所示，在长方形中，，，且，将长方形绕边所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形绕边所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为、．下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．不确定 6．（2024秋•南海区校级月考）欧拉，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 4 　　 　　 　　 棱数 6 　　 　　 　　 面数 4 　　 　　 　　 （2）分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为： ；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是　　； （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱．请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？ 考点二：展开图 正方体展开图（有11种展开图）： （1）“一四一”型：中间四连方，两侧各有一个，共 种： （2）“二三一”型：中间三连方，两侧各有一、二个，共 种： （3）“三三”型：两排各有 3 个，也只有 种： （4）“二二二”型：中间二连方，两侧各有二个，只有 种： 注意：不能出现“ ”字和“ ”字形。 【例1】（2020•陕西模拟）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是　　 A． B． C． D． 【例2】（2024秋•句容市期末）图中的长方体展开图来自选项中的哪个长方体　　 A． B． C． D． 【例3】（2024•从江县校级二模）下列图形中不能作为正方体的展开图的是　　 A． B． C． D． 【例4】（2024秋•青羊区校级月考）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“爱”相对面上的汉字是 　　． 【例5】（2024秋•肥城市期末）如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为倒数，则的值为　　． 【例6】（2024秋•武侯区校级期中）如图，是一个正方体纸盒的展开图，按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则　　． 【变式训练】 1．（2025春•成武县期中）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是　　 A． B． C． D． 2．（2021秋•孝昌县期末）如图是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 　　． 3．（2024秋•肥城市期末）下列属于如图所示正方体的展开图的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•龙口市期末）下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是　　 A． B． C． D． 5．（2021秋•船山区期末）将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形是　　 A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥ 6．（2023秋•藁城区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则　　． 7．（2024秋•温江区校级期中）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是　　 A． B． C．5 D． 考点三：三视图 从正面看到的是物体的 和 ，从上面看到的是物体的 和 ，从左面看到的是物体的 和 。在画图时， 看得见部分的轮廓线要画成 ，看不见部分的轮廓线要画成 。 【例1】（2021秋•泰和县期末）下列立体图形中，从正面看，看到的图形是三角形的是　　 A． B． C． D． 【例2】（2022•温州二模）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是 　　 A． B． C． D． 【例3】（2024秋•青羊区校级月考）用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． （1）画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； （2）若每个小正方体棱长为1，请计算该几何体的表面积． 【例4】（2024秋•双流区校级月考）一个圆锥形零件从不同的角度观察如图，图中每个小正方形的边长是1厘米．这个圆锥形零件的高是 　　厘米，体积是 　　立方厘米． 【例5】（2024秋•高州市月考）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则　　． 【变式训练】 1．（2022秋•石狮市期末）如图所示的几何体的俯视图是　　 A． B． C． D． 2．（2019•荆州）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是　　 A．该几何体是长方体 B．该几何体的高是3 C．底面有一边的长是1 D．该几何体的表面积为18平方单位 3．（2023•乐东县一模）用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是　　 A． B． C． D． 4．（2023•自贡）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有　　碗． A．8 B．9 C．10 D．11 5．（2019秋•郑州期末）一个小立方块的六个面分别标有字母、、、、、，从三个不同方向看到的情形如图所示，其中、、、、、分别代表数字、、0、1、2、3，则三个小立方块的下底面所标字母代表的数字的和为　　． 6．（2023秋•金乡县期末）一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每个相对面上的两个数字之和相等，如图你能看到的数为7，10，11，则这六个整数的和可能为　　 A．51 B．53 C．55 D．57 7．（2021秋•丹棱县期末）图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 　　． 8．（2024秋•金牛区校级期中）如图所示，是由12个相同的小正方体组合而成的几何体． （1）请画出该几何体的三种视图； 主视图： 左视图： 俯视图： （2）若小正方体的棱长为，将这个几何体组合体的表面（露出部分不含底面）喷红色漆，求这个几何体需要喷红漆的面积． 9．（2024秋•广饶县期末）一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． （1）请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； （2）求该几何体的表面积． 10．（2024秋•温江区校级期中）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要　　个小立方块，最少要　　个小立方块． 11．（2024秋•武侯区校级期中）一个几何体是由若干个棱长为的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图如图所示： （1）该几何体最少由　　个小立方体组成，最多由　　个小立方体组成． （2）当该几何体的体积最大时，求它的表面积． 12．（2017秋•双流区校级期中）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）．（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第5个叠放的图形中，小正方体木块个数应是　　个．第100个叠放的图形中，小正方体木块个数应有　　个． 13．（2023秋•汝州市月考）用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色． ①②③ （1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体．观察其中三面被涂色的有个，如图①，那么等于 　　； （2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．如图②，观察其中三面被涂色的有个，各面都没有涂色的有个，那么　　； （3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．如图③，观察其中两面被涂色的有个，各面都没有涂色的有个，那么　　． 考点四：截面 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫截面。 （1）正方体只有六个面，所以截面最多是 。 （2）用平面去截圆柱体，可以得到 、 、 或 ，无法截出 或 。 【例1】（2021秋•黔江区期末）用一个平面去截下列的几何体，可以得到长方形截面的几何体有 　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2022秋•宁阳县期末）用一个平面去截一个如图的圆柱体，截面不可能是　　 A． B． C． D． 【例3】（2023秋•高明区期末）用一个平面去截一个三棱柱，截面边数最多为　　条． A．3 B．4 C．5 D．6 【例4】（2019秋•青川县期末）正方体的截面不可能是　　 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【例5】（2023秋•桦南县期末）下列说法正确的是　　 A．长方体的截面形状一定是长方形 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线” D．圆柱的截面一定是圆形 【变式训练】 1．（2022•兴庆区校级二模）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是　　 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2024秋•金牛区校级期中）用平面去截一个长方体，不能截出的截面是　　 A．椭圆 B．长方形 C．梯形 D．六边形 3．（2013秋•平顶山期末）下列说法上正确的是　　 A ． 长方体的截面一定是长方形 B ． 正方体的截面一定是正方形 C ． 圆锥的截面一定是三角形 D ． 球体的截面一定是圆 4．（2023秋•天桥区校级月考）如图，在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是　　 A． B． C． D． 【过关精练】 1．（2024秋•林州市期末）如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是　　 A． B． C． D． 2．（2022•双辽市二模）下列图形中不是正方体的表面展开图的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•船营区校级期末）下面选项中可能是单孔纸箱的展开图是　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•淄博期末）计算机体层成像技术的工作原理与几何体的切截相似，病人的患病器官是“几何体”，射线是“刀”，如图，用一个平面去截长方体，则截得的形状应为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•新抚区期末）如图，要使图中表面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数之积为12，则　　． 6．（2024秋•武侯区校级月考）如图1，是一个棱长为的小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． （1）请你在如图2表格中画出它从正面和从左面看得到的平面图形． （2）该几何体的体积为 　　． 7．（2022秋•郸城县期末）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要　　个小立方块． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 丰富的图形世界 【学习目标】 1、熟悉生活中常见的立体图形； 2、掌握常见的柱体、锥体和台体的展开与折叠； 3、能够正确的画出简单几何体的三视图。 【考点分类】 考点一：常见的几何体 1、常见的几何体： 柱体 、 锥体 和 球体 ； 2、柱体：柱体分为 棱柱 和 圆柱 。在棱柱中，相邻两个面的交线叫做 棱 ,相邻两个侧面的交线叫做 侧棱 ，棱柱的所有侧棱长都 相等 ，棱柱的上、下底面的形状 相同 ，侧面的形状都是 平行四边形 。根据底面图形的 边数 将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面是长方形（侧棱与底面垂直），初中主要学习直棱柱（简称棱柱），长方体、正方体都是四棱柱。 3、欧拉公式：在凸多面体中，顶点数＋面数－棱数＝2。 【例1】（2023秋•潮南区期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是　　 A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【解答】解：、流星划过夜空，属于点动成线，本选项符合题意． 、打开折扇，属于线动成面，本选项不符合题意． 、汽车雨刷的转动，属于线动成面，本选项不符合题意． 、旋转门的旋转，属于面动成体，本选项不符合题意， 故选：． 【例2】（2023秋•台江区校级期末）转动自行车的轮子，轮子上的辐条会形成一个圆面，用数学知识可以解释为　　 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交成线 【解答】解：轮子上的辐条可以近似的看作“线段”， 轮子转动轮子上的辐条会形成一个圆面，就形成“线动成面”， 故选：． 【例3】（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为　　 A． B． C． D． 【解答】解：是圆柱； 是圆锥； 是三棱锥，也叫四面体； 是球体，简称球； 故选：． 【例4】（2024秋•崂山区期末）如图所示，将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，旋转一周，可以得到的立体图形上面是圆锥，下面是圆柱的组合体． 故选：． 【例5】（2024秋•凤翔区月考） 追本溯源：（1）如图1，已知长方形的长为、宽为．分别绕着这个长方形的长和宽旋转，可以得到两个不同的圆柱．这两个圆柱的侧面积有什么关系？ 【解答】（1）图中圆柱的侧面积为，圆柱的侧面积为，这两个圆柱的侧面积相等； 知识应用：（2）一张长方形纸片的长为，宽为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留 【解答】解：（2）绕长方形的长所在直线旋转一周：， 绕长方形的宽所在直线旋转一周：， 拓展延伸：（3）如图2，直角梯形的上底为，下底为，高为，以该直角梯形的底为轴，将梯形旋转一周，得到的甲、乙两个立体图形．求甲与乙的体积比． 【解答】解：（3）甲：， 乙：， 体积比为：． 【例6】（2021秋•沂源县期中）如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． （1）四棱柱有 　8　个顶点，　　条棱，　　个面； （2）五棱柱有 　　个顶点，　　条棱，　　个面； （3）那么棱柱有 　　个顶点，　　条棱，　　个面． 【解答】解：由棱柱的形体特征可知： （1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面； （2）5棱柱有10个顶点，15条棱，7个面； （3）棱柱有个顶点，条棱，个面； 故答案为：（1）8，12，6；（2）10，15，7；（3），，． 【变式训练】 1．（2024秋•成都月考）下列几何体中，是三棱柱的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．该几何体是三棱柱，．该几何体是圆锥，．该几何体是三棱锥，．该几何体是正方体， 故选：． 2．（2024秋•秦淮区期末）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是　　 A． B． C． D． 【解答】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体． 故选：． 3．（2023秋•建邺区校级期末）将如图所示的长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是　　 A． B． C． D． 【解答】解：一个长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，得到的几何体是如下： 故选：． 4．（2023秋•扶绥县期末）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示的立体图形是由内凹，且上面大，下面小的平面图形绕虚线旋转一周得到的， 故选：． 5．（2022秋•金乡县期末）如图所示，在长方形中，，，且，将长方形绕边所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形绕边所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为、．下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．不确定 【解答】解：，， ， ， ， 故选：． 6．（2024秋•南海区校级月考）欧拉，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 4 　6　 　　 　　 棱数 6 　　 　　 　　 面数 4 　　 　　 　　 （2）分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：　　；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是　　； （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱．请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？ 【解答】解：（1）三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数是5； 正方体的顶点数是8，棱数是12，面数是6； 正八面体的顶点数是6，棱数是12，面数是8； 故答案为：6，9，5；8，12，6；6，12，8； （2）推论为：， ，，， ， ， 故答案为：，20； （3）设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个， 有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ， ． ． 个数之和是26． 考点二：展开图 正方体展开图（有11种展开图）： （1）“一四一”型：中间四连方，两侧各有一个，共 6 种： （2）“二三一”型：中间三连方，两侧各有一、二个，共 3 种： （3）“三三”型：两排各有 3 个，也只有 1 种： （4）“二二二”型：中间二连方，两侧各有二个，只有 1 种： 注意：不能出现“田”字和“凹”字形。 【例1】（2020•陕西模拟）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：可以围成四棱柱，可以围成五棱柱，可以围成三棱柱，选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱． 故选：． 【例2】（2024秋•句容市期末）图中的长方体展开图来自选项中的哪个长方体　　 A． B． C． D． 【解答】解：由展开图的知识可知，有小三角形的两个面是对面，故错误； 有圆圈的两个面是对面，故错误； 有两个圆圈的面与有三角形阴影的面相邻，相邻处是有阴影的部分，故错误，正确； 故选：． 【例3】（2024•从江县校级二模）下列图形中不能作为正方体的展开图的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：正方体展开图的11种情况可分为“型”6种，“型”3种，“型”1种，“型”1种， 因此选项符合题意， 故选：． 【例4】（2024秋•青羊区校级月考）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“爱”相对面上的汉字是 　数　． 【解答】解：将展开图折成正方体后，与汉字“爱”相对面上的汉字是数， 故答案为：数． 【例5】（2024秋•肥城市期末）如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为倒数，则的值为　1　． 【解答】解：该正方体相对面上的两个数互为倒数， ，，， ． 故答案为：1． 【例6】（2024秋•武侯区校级期中）如图，是一个正方体纸盒的展开图，按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则　1　． 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间，端是对面”可知，，，的对面分别是1，，2， 相对面上的两个数互为相反数， ，，所表示的数分别是，4，． ． 故答案为：1． 【变式训练】 1．（2025春•成武县期中）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：选项和带颜色的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项能折叠成原几何体的形式； 选项无法折叠成几何体． 故选：． 2．（2021秋•孝昌县期末）如图是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 　　． 【解答】解：四边形是正方形， ， 立方体的高为：， ， 原长方体的体积是：． 故答案为：． 3．（2024秋•肥城市期末）下列属于如图所示正方体的展开图的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据正方体表面三角形和长方形的位置关系，逐项分析判断如下： 、选项两个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 、选项当三角形所在面为正面时，其中一个长方形所在面为左面，不符合题意； 、选项经过折叠得到题图几何体，符合题意； 、选项三角形所在面和其中一个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 故选：． 4．（2023秋•龙口市期末）下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、符合“”型，能折叠成正方体，故此选项不符合题意； 、符合“”型，能折叠成正方体，故此选项不符合题意； 、符合“”型，能折成正方体，故此选项不符合题意； 、不能折成正方体，故此选项符合题意． 故选：． 5．（2021秋•船山区期末）将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形是　　 A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥ 【解答】解：．若减去②③，则余下的部分图形恰好能折成一个正方体，符合题意； ．若减去①⑥，则余下的部分图形不能折成一个正方体，不符合题意； ．若减去①⑦，则余下的部分图形不能折成一个正方体，不符合题意； ．若减去②⑥，则余下的部分图形不能折成一个正方体，不符合题意； 故选：． 6．（2023秋•藁城区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则　0　． 【解答】解：“”所在面与“3”所在面相对，“”所在面与“”所在面相对，“”所在面与“8”所在面相对， 则，，， 解得：，，． 故． 故答案为：0． 7．（2024秋•温江区校级期中）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是　　 A． B． C．5 D． 【解答】解：如图是这个正方体的表面展开图，那么图中的值是3，， 故选：． 考点三：三视图 从正面看到的是物体的长和高，从上面看到的是物体的长和宽，从左面看到的是物体的高和宽。在画图时， 看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线。 【例1】（2021秋•泰和县期末）下列立体图形中，从正面看，看到的图形是三角形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．圆锥从正面看到的形状为等腰三角形，符合题意； ．正方体从正面看到的形状为正方形，不符合题意； ．圆柱从正面看到的形状为矩形，不符合题意； ．长方体的主视图是矩形，不合题意； 故选：． 【例2】（2022•温州二模）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是　　 A． B． C． D． 【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选：． 【例3】（2024秋•青羊区校级月考）用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． （1）画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； （2）若每个小正方体棱长为1，请计算该几何体的表面积． 【解答】解：（1）画图如下： （2）小正方形面积为1， 该几何体的表面积为． 【例4】（2024秋•双流区校级月考）一个圆锥形零件从不同的角度观察如图，图中每个小正方形的边长是1厘米．这个圆锥形零件的高是 　6　厘米，体积是 　　立方厘米． 【解答】解：这个圆锥形零件的高是6厘米，体积是（立方厘米）， 故答案为：6，． 【例5】（2024秋•高州市月考）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则　26　． 【解答】解：由从上面看到的形状图可知，组成这个几何体的底面小正方体有7个， 由从正面看到的形状图可知，第二层最少有2个，最多有6个；第三层最少有1个，最多有3个， 组成这个几何体最多要个小立方块，最少要个小立方块， ， 故答案为：26． 【变式训练】 1．（2022秋•石狮市期末）如图所示的几何体的俯视图是　　 A． B． C． D． 【解答】解：这个几何体的俯视图为： 故选：． 2．（2019•荆州）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是　　 A．该几何体是长方体 B．该几何体的高是3 C．底面有一边的长是1 D．该几何体的表面积为18平方单位 【解答】解：、该几何体是长方体，正确； 、该几何体的高为3，正确； 、底面有一边的长是1，正确； 、该几何体的表面积为：平方单位，故错误， 故选：． 3．（2023•乐东县一模）用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：在俯视图标出相应位置摆放小立方体的个数，如图所示： 则这个几何体可能是． 故选：． 4．（2013•自贡）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有　　碗． A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗． 故选：． 5．（2019秋•郑州期末）一个小立方块的六个面分别标有字母、、、、、，从三个不同方向看到的情形如图所示，其中、、、、、分别代表数字、、0、1、2、3，则三个小立方块的下底面所标字母代表的数字的和为　　． 【解答】解：由图形可知：与、、、是邻面，故和为对面； 则与、、、是邻面，故和为对面； 故和为对面； 则三个小立方块的下底面所标字母代表的数字的和为． 故答案为：． 6．（2023秋•金乡县期末）一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每个相对面上的两个数字之和相等，如图你能看到的数为7，10，11，则这六个整数的和可能为　　 A．51 B．53 C．55 D．57 【解答】解：六个面上分别写着六个连续的整数， 看不见的三个面上的数必定有8，9， 若另一个面上数是6，则11与7是相对面， 所以，另一面上的数是12， 此时7与12相对， 8与11相对， 9与10相对， 所以，这六个整数的和为． 故选：． 7．（2021秋•丹棱县期末）图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 　国　． 【解答】解：由图1可知： 中与的是相对面，国与我是相对面，梦与梦是相对面， 所以，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是：国， 故答案为：国． 8．（2024秋•金牛区校级期中）如图所示，是由12个相同的小正方体组合而成的几何体． （1）请画出该几何体的三种视图； 主视图： 左视图： 俯视图： （2）若小正方体的棱长为，将这个几何体组合体的表面（露出部分不含底面）喷红色漆，求这个几何体需要喷红漆的面积． 【解答】解：（1）该几何体的三种视图，如图即为所求； （2）几何体需要喷红漆的面积为：． 9．（2024秋•广饶县期末）一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． （1）请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； （2）求该几何体的表面积． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：， 这个几何体的表面积为． 10．（2024秋•温江区校级期中）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要　15　个小立方块，最少要　　个小立方块． 【解答】解：由从上面看到的形状图可知，组成这个几何体的底面小正方体有7个， 由从正面看到的形状图可知，第二层最多有5个，第三层最多有3个， 组成这个几何体最多要（个小立方块， 第二层最少有2个，第三层最少有1个， 组成这个几何体最少要（个小立方块， 故答案为：15，10． 11．（2024秋•武侯区校级期中）一个几何体是由若干个棱长为的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图如图所示： （1）该几何体最少由　7　个小立方体组成，最多由　　个小立方体组成． （2）当该几何体的体积最大时，求它的表面积． 【解答】解：（1）观察图象可知：最少的情形有个小正方体， 最多的情形有个小正方体， 故答案为7，9； （2）体积最大时从不同方向看几何体的形状图如下： 棱长为， 每个小正方形的面积为， 因此这个组合体的表面积为， 答：当该几何体的体积最大时，它的表面积为． 12．（2017秋•双流区校级期中）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）．（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第5个叠放的图形中，小正方体木块个数应是　45　个．第100个叠放的图形中，小正方体木块个数应有　　个． 【解答】解：第1叠放的图形中，小正方体木块个数有1个； 第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个； 第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个； 第个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个， 第5个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个； 第100个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个． 故答案为：45，19900． 13．（2023秋•汝州市月考）用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色． ①②③ （1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体．观察其中三面被涂色的有个，如图①，那么等于 　8　； （2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．如图②，观察其中三面被涂色的有个，各面都没有涂色的有个，那么　　； （3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．如图③，观察其中两面被涂色的有个，各面都没有涂色的有个，那么　　． 【解答】解：（1）三面被涂色的小正方体有8个，故； （2）三面被涂色的小正方体有8个，各面都没有涂色的小正方体有1个，； （3）两面被涂色的小正方体有24个，各面都没有涂色的小正方体有8个，， 故答案为：（1）8；（2）9；（3）32． 考点四：截面 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫截面。 （1）正方体只有六个面，所以截面最多是六边形。 （2）用平面去截圆柱体，可以得到圆、椭圆、长方形或正方形，无法截出三角形或梯形。 【例1】（2021秋•黔江区期末）用一个平面去截下列的几何体，可以得到长方形截面的几何体有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：球、圆锥不可能得到长方形截面， 故能得到长方形截面的几何体有：圆柱、三棱柱，一共有2个． 故选：． 【例2】（2022秋•宁阳县期末）用一个平面去截一个如图的圆柱体，截面不可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：本题中用平面截圆柱，横切就是圆，竖切就是长方形，斜切是椭圆，唯独不可能是梯形． 故选：． 【例3】（2023秋•高明区期末）用一个平面去截一个三棱柱，截面边数最多为　　条． A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：三棱柱有5个面，若截面均经过这5个面，因此截面的边数最多是5边形， 故选：． 【例4】（2019秋•青川县期末）正方体的截面不可能是　　 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形， 故选：． 【例5】（2023秋•桦南县期末）下列说法正确的是　　 A．长方体的截面形状一定是长方形 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线” D．圆柱的截面一定是圆形 【解答】解：长方体的截面形状可能是长方形也可能是正方形， 故选项不符合题意， 棱柱侧面的形状是长方形或正方形， 故选项不符合题意， “天空划过一道流星”能说明“点动成线”，说法正确， 故选项符合题意， 圆柱的截面还可以是长方形， 故选项不符合题意， 故选：． 【变式训练】 1．（2022•兴庆区校级二模）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是　　 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【解答】解：如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形， 故选：． 2．（2024秋•金牛区校级期中）用平面去截一个长方体，不能截出的截面是　　 A．椭圆 B．长方形 C．梯形 D．六边形 【解答】解：、用平面去截一个长方体，不能出现曲线，故不能截出椭圆，该选项符合题意； 、用平面去截一个长方体，能截出长方形； 、用平面去截一个长方体，能截出梯形； 、用平面去截一个长方体，能截出六边形； 故选：． 3．（2013秋•平顶山期末）下列说法上正确的是　　 A ． 长方体的截面一定是长方形 B ． 正方体的截面一定是正方形 C ． 圆锥的截面一定是三角形 D ． 球体的截面一定是圆 【解答】解：、长方体的截面还可能是三角形， 故本选项错误； 、正方体的截面还可能是三角形， 故本选项错误； 、圆锥的截面为与圆有关的或与三角形有关的形状， 故本选项错误； 、球体的截面一定是圆， 故本选项正确 ． 故选：． 4．（2023秋•天桥区校级月考）如图，在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是七边形． 故选：． 【过关精练】 1．（2024秋•林州市期末）如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是圆台． 故选：． 2．（2022•双辽市二模）下列图形中不是正方体的表面展开图的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，，，选项可以拼成一个正方体，而选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图， 故选：． 3．（2023秋•船营区校级期末）下面选项中可能是单孔纸箱的展开图是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为这是一个单孔纸箱， 所以选项不符合要求． 又单孔面和阴影面是邻面， 所以选项不符合要求． 故选：． 4．（2024秋•淄博期末）计算机体层成像技术的工作原理与几何体的切截相似，病人的患病器官是“几何体”，射线是“刀”，如图，用一个平面去截长方体，则截得的形状应为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，用一个平面去截长方体，则截得的形状应为矩形． 故选：． 5．（2022秋•新抚区期末）如图，要使图中表面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数之积为12，则　0　． 【解答】解：由题意得： 2与是相对面，4与是相对面， ，， ，， ， 故答案为：0． 6．（2024秋•武侯区校级月考）如图1，是一个棱长为的小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． （1）请你在如图2表格中画出它从正面和从左面看得到的平面图形． （2）该几何体的体积为 　9　． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由题意可知，组成该几何体的小正方体的个数为：（个， ， 即该几何体的体积为． 故答案为：9． 7．（2022秋•郸城县期末）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要　9　个小立方块． 【解答】解：观察图象可知：这样的几何体最少需要个小立方块． 故答案为：9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$