精品解析：陕西省西安中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

西安中学2026届高二第二学期第二次月考 数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】分三类计数相加即可得解. 【详解】分三类： 第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种； 第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种； 第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种， 根据分类加法计数原理得共有种不同的选法. 故选：B 2. 若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合的性质即可得出结果. 【详解】由， 得， ； 故选：C. 3. 已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设事件表示“第一次抽到语文题”，事件表示“第二次抽到数学题”， 则，，故. 4. 设随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以， 所以. 故选：A 5. 最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【详解】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D 6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为， 由，则， 令， 解得或（舍去）， 故点P的坐标为， 故点P到直线的最小值为：. 故选：A. 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2，……，第n()行的第3个数字为，则（ ） A. 220 B. 186 C. 120 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】由杨辉三角与二项式系数的关系及组合数性质可解. 【详解】解： . 故选:A. 8. 某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】若最大，则，解出的范围，代入数值. 【详解】因为 ，若最大，则 ，化简得： ， . 代入已知数值得： ，所以 时最大. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每题5分，共15分.在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（ ） A. r的取值范围是 B. r的取值范围是 C. 越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D. 越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 【答案】AC 【解析】 【分析】利用相关系数的取值范围判断AB；利用相关系数的意义判断CD. 【详解】对于AB，样本相关系数r的取值范围是，A正确，B错误； 对于CD，越大，越接近于1，两变量的线性相关程度越强， 越小，越接近于0，两变量的线性相关程度越弱，C正确，D错误. 故选：AC 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. C. 的期望 D. 的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可知服从超几何分布，可取，再分别求出对应概率，计算期望及方差进行判断即可． 【详解】由题可知，总候选人，甲班候选人，抽取名，为甲班人数， 所以服从超几何分布，且可取，故A正确， ，，，，故B正确； 则的分布列为： 0 1 2 3 ， ， 故C错误，D正确． 11. 定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数 既有极大值又有极小值 C. 函数 有三个零点 D. 对任意 ，都有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A，根据导数研究其极值可判定B，结合B项结论及零点存在性定理可判定C，利用函数解析式取特殊值可判定D. 【详解】由题意可知，， 而，故A正确； 此时，， 显然或时，，则在上单调递增， 时，，即在上单调递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，故B正确； 易知， 结合B结论及零点存在性定理可知在存在一个零点，故C错误； 易知，故D错误. 故选：AB 三、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分） 12. 函数的单调递减区间是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，求解可得单减区间. 【详解】由的定义域为，， 令，解得， 当，则，所以的单调递减区间为． 故答案为： 13. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）． 【答案】390 【解析】 【详解】用2色涂格子有种方法, 用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种, 所以涂色方法种方法, 故总共有390种方法. 故答案为:390 14. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得； 【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以 ，即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时； 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 学考过后，学校对课表进行了调整.一天的课表有7节课，其中上午5节，下午2节，要排语文，数学，外语，体育，化学，生物，物理7节课.（本题结果均用数字作答） （1）数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ （2）体育课不排在第1节课，数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ （3）数学课与体育课必须相邻，共有多少种不同的排课方法？ 【答案】（1）4320 （2）3720 （3）1440 【解析】 【分析】（1）先排数学课，然后其他课全排即可； （2）分体育课排在第7节课和排在中间5节课两种情况，结合排列数求解； （3）先对数学课与体育课进行捆绑，再将此整体和其他课全排即可． 【小问1详解】 先排数学课，然后其他课全排，共有种； 【小问2详解】 当体育课排在第7节课时有种排法， 当体育课排在中间5节课时，有5种排法，数学课也有5种排法， 其余五节课全排列，有种排法， 之后应用分类加法计数原理，有种. 【小问3详解】 数学课与体育课进行捆绑，有种， 再将此整体和其他5个科目全排，共有种． 16. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题． 已知（），若的展开式中，______. （1）求n的值； （2）求的系数； （3）求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即， 所以. 选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得， 所以. 选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中项为：， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 当时，， 所以. 17. 某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在天里的销售记录，绘制了以下频数分布表： 日销售量单位：个 频数 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求在未来连续天里，有连续天的日销量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率； （2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列、均值和方差． 【答案】（1） （2）分布列见解析，E()=0.9，D()=0.63 【解析】 【分析】（1）直接根据频率分布表及古典概率进行解答即可得到答案； （2）可能取的值为0，1，2，3，然后由二项分布求出其相应的概率，则均值与方差根据公式求解. 【小问1详解】 根据频数分布表知，日销售量不低于100个的概率为=0.6，日销售量低于50个的概率为． 设事件A：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”， 则． 【小问2详解】 由频数分布表知，日销售量不低于150个的概率为=0.3， 可取0，1，2，3，依题意知~B(3，0.3)． P(=0)=×=0.343， P(=1)=0.3=0.441， P(=2)=0.（1-0.3）=0.189， ． 的分布列为 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 E()=30.3=0.9，D()=30.30.7=0.63． 18. 已知（e为自然对数的底数） （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）设，若对任意，总存在．使得，求实数a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值； （Ⅱ）问题转化为，即在恒成立，分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】（Ⅰ），， 令，解得；令，解得， 在单调递增，在单调递减， ； （Ⅱ）对任意，总存在．使得等价于， 由（Ⅰ）， 则问题转化为在恒成立，化得， 令，则， 当时，，得，在单调递增， ，则，即， 故的取值范围为 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，即在恒成立. 19. 数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. （1）求； （2）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解； （2）（i）因为第1秒向右，且第6秒末第一次回到原点，所以第1秒到第5秒的位置始终大于0，第6秒位置为0。这要求第6步必须向左，因此第2到第5步中包含2个+1和2个−1，且其任意前k项和均非负，可利用题干给出的卡特兰数相关的组合结论计算符合条件的路径数，再结合概率公式求解； （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位，根据，结合的定义，即可求解 【小问1详解】 第6秒末粒子回到原点，则说明向右移动和向左移动的次数相等，均为3次， 因为每次向左移动和向右移动的概率均为， 所以. 【小问2详解】 （i）第一步确定向右，要第一次回到原点在第6秒，需满足： ①第6步必为向左（总位移为0），去掉首尾两步后，中间第2~5步共4步，包含2个向右、2个向左； ②任意前步和都大于0，等价于中间部分任意前缀和非负，根据卡特兰数列结论，符合条件的排列数为第2个卡特兰数， 第一步已确定向右，剩余5步总共有种可能，因此所求概率为：. （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位. 所以， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为，以下仅考虑事件AB. 设第秒末粒子的运动方式为，其中； 设粒子第秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1） 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右、右、左、左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知数列的前项中有个1和个. 因为，所以， 所以粒子在余下秒中运动的位置满足， 即，， 所以粒子在余下秒中运动方式的总数为， 所以， 又因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2026届高二第二学期第二次月考 数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种 2. 若，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2，……，第n()行的第3个数字为，则（ ） A. 220 B. 186 C. 120 D. 96 8. 某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题（本题共3小题，每题5分，共15分.在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（ ） A. r的取值范围是 B. r的取值范围是 C. 越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D. 越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. C. 的期望 D. 的方差 11. 定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数 既有极大值又有极小值 C. 函数 有三个零点 D. 对任意 ，都有 三、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分） 12. 函数的单调递减区间是___________． 13. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）． 14. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______． 四、解答题（本题共5小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 学考过后，学校对课表进行了调整.一天的课表有7节课，其中上午5节，下午2节，要排语文，数学，外语，体育，化学，生物，物理7节课.（本题结果均用数字作答） （1）数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ （2）体育课不排在第1节课，数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ （3）数学课与体育课必须相邻，共有多少种不同的排课方法？ 16. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题． 已知（），若的展开式中，______. （1）求n的值； （2）求的系数； （3）求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17. 某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在天里的销售记录，绘制了以下频数分布表： 日销售量单位：个 频数 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求在未来连续天里，有连续天的日销量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率； （2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列、均值和方差． 18. 已知（e为自然对数的底数） （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）设，若对任意，总存在．使得，求实数a的取值范围． 19. 数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. （1）求； （2）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $