精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

玉溪一中2025—2026学年下学期高二月考三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. 2 D. -2 4. 双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（ ） A. x2－y2=96 B. y2－x2=160 C. x2－y2=80 D. y2－x2=24 5. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 7. 设函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选）已知双曲线 的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则等于__________． 13. 已知平面平面，球O与直线l相切于点A，平面与平面分别截球O所得截面圆的半径为1，．若二面角的大小为，则球O的半径为______． 14. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．若第一个人发送信号0和1给第二个人，第二个人将接收到的信号发送给第三个人，依次类推，则第六个人收到的信号为0和1的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 16. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值 的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3． （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程． 18. 如图，在四边形中， ，，为的中点，点在上，，， ，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 19. 已知函数 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： （3）当 时，设，且满足 ，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高二月考三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合即得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求运算结果. 【详解】， 故选：C. 4. 双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（ ） A. x2－y2=96 B. y2－x2=160 C. x2－y2=80 D. y2－x2=24 【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆焦点可得双曲线焦点，根据渐近线可得 ，即可建立关系求出，得出方程. 【详解】由椭圆=1得其焦点坐标为，∴双曲线的焦点在y轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y=－x，∴a=b，而，，， ，∴双曲线的方程为y2－x2=24. 故选：D. 5. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥底面半径为，由题意可得：， 解得， 如图，作出图形的轴截面，其中分别为圆台的上下底面圆的圆心， 则， 可得， . 故选：C. 6. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】将人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.然后利用分步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数. 【详解】人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种.所以本题选A. 【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较复杂的计数问题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算.在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法数. 7. 设函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又 ，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 8. 已知函数及其导数的定义域均为在 上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，故， 又在 上单调递增，所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又因为，则 .① 在①式中令，可得，故， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 由于，故上式等号不成立，则， 又，所以，即，即， 同理可得 ，所以， 所以，即. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【详解】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11. （多选）已知双曲线 的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，即可判断AB；利用圆的弦长公式求出，即可判断CD. 【详解】由题意可得，设，则， 所以圆的圆心为，半径长为， 双曲线的渐近线方程为 ，即 ，故A错误，B正确； 圆心A到渐近线的距离， 所以弦长， 可得是边长为的等边三角形，即有 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和求导公式计算即可得答案. 【详解】∵， ∴ 令得，解得. 故答案为：. 13. 已知平面平面，球O与直线l相切于点A，平面与平面分别截球O所得截面圆的半径为1，．若二面角的大小为，则球O的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和余弦定理即可列方程求解. 【详解】根据题意以及球的对称性可得图形的剖面图如下： 设分别为与球所截得的圆的半径，不妨设， ，球的半径为, 故，解得， 故, 故答案为：， 14. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．若第一个人发送信号0和1给第二个人，第二个人将接收到的信号发送给第三个人，依次类推，则第六个人收到的信号为0和1的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式，依次递推求解即可. 【详解】法一：设第个人收到0和0为事件，收到0和1为事件，收到1和0为事件，收到1和1为事件， 则 故, , , 同理可得：, , , 且, , , 故第六个人收到的信号为0和1的概率：. 法二：设第个人收到0和0为事件，收到0和1为事件，收到1和0为事件，收到1和1为事件， 则， ， 即，两式相减得：，且， 故是首项为1，公比为的等比数列， 故， 故， 则 ，且， ，故是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出 ，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，，得， 整理得，即， 而 ，解得，又，所以或. 【小问2详解】 由（1）及角C为锐角，得， 在 中，由正弦定理得，而， 则，， 因此， 所以的面积为. 16. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值 的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）分布列见解析， （3）无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算； （2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望； （3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得； 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分的上四分位数位于区间中， 所以上四分位数为：； 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为， 所以内抽取人数为，内抽取人数为， 故 人中评分等级为良好的有人， 由题意可知，的可取值为 ， ，，， 所以的分布列为： 数学期望； 【小问3详解】 青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人， 由上可得如下列联表， 青年游客 老年游客 总计 评分等级良好 评分等级非良好 总计 零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关， 由表中数据可得， 根据小概率值 的独立性检验，可知零假设成立， 即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 17. 已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3． （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程． 【答案】（1）抛物线C的方程为 ，准线方程为；（2）存在直线或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程. （2）设出直线的方程 ，联立直线的方程和抛物线的方程，消去 后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程. 【详解】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得 , 所以 ， 即准线方程为. （2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为 , . 联立得，消去 得. 由,解得. 所以且. 由韦达定理得, . 直线的方程为, 又,所以,所以, 因为,所以直线与直线的斜率相等 又,所以. 整理得,即, 化简得,,即. 所以,整理得, 解得. 经检验,符合题意. 所以存在这样的直线,直线的方程为或． 18. 如图，在四边形中， ，，为的中点，点在上，，， ，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图所示，过作交于，连接， 因为， ，且， 所以四边形为矩形，四边形 为矩形， 所以，且 ，，且 ，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面， 因为， 平面， 平面，所以平面， 又因为，平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）过作连接，证得四边形和 为矩形，进而证得平面和平面，得到平面平面，利用面面平行的性质，即可得到平面． （2）根据二面角的定义，得到和，过点作，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为， 所以即为平面与平面所成的二面角， 所以，同理可得， 过点作交于点， 因为 ，，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，以和过点且平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令 ，可得，所以， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 可得， 则，即平面与平面所成的二面角的正弦值. 19. 已知函数 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： （3）当 时，设，且满足 ，求证：. 【答案】（1） 在为增函数； 在为减函数； （2）由 ，解得 ， 又因为 ，则 ， 所以切线方程为 ， 设 ，则 ， 令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 可知 在 为增函数， 在 为减函数， 故 ，所以 ； （3）由（1）可知 ， ①若 ，则 ， 不符合题意； 所以 ， ②若 ，则， ③若 ， ，又因为 在为减函数， 所以 ，所以， 综上所述， 又因为 ，由， 所以 ， 即 ，即， 设， 所以 ， 方法一：设 ，所以， 因为 在为单调递增， 当时， ，， ， 所以存在，使得 ，即 ， 又因为 ， ，即 在 为减函数； 又因为 ， ，即 在 为增函数； 所以 ， 又因为，则有 ， 又因为 ， ， 所以 ，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设 ，因为在单调递增， 又因为 所以 所以 ，即在为增函数， 又因为，所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间； （2）求出切线方程，构造函数，利用导数求最值，即可得证； （3）分类讨论证明，结合条件不等式可转化为，构造函数，求导后，利用不同方法证明在为增函数，即可得证. 【小问1详解】 ， 由 ， 当时， ，即 在为增函数； 当时， ，即 在为减函数. 所以 的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $